Ce vol. III expose la théorie classique de Cauchy dans un esprit orienté bien davantage vers ses innombrables utilisations que vers une théorie plus ou moins complète des fonctions analytiques. On montre ensuite comment les intégrales curvilignes à la Cauchy se généralisent à un nombre quelconque de variables réelles (formes différentielles, formules de type Stokes). Les bases de la théorie des variétés sont ensuite exposées, principalement pour fournir au lecteur le langage "canonique" et quelques théorèmes importants (changement de variables dans les intégrales, équations différentielles). Un dernier chapitre montre comment on peut utiliser ces théories pour construire la surface de Riemann compacte d'une fonction algébrique, sujet rarement traité dans la littérature non spécialisée bien que n'éxigeant que des techniques élémentaires. Un volume IV exposera, outre,l'intégrale de Lebesgue, un bloc de mathématiques spécialisées vers lequel convergera tout le contenu des volumes précédents: séries et produits infinis de Jacobi, Riemann, Dedekind, fonctions elliptiques, théorie classique des fonctions modulaires et la version moderne utilisant la structure de groupe de Lie de SL(2,R).
Author(s): Roger Godement
Edition: 1
Publisher: Springer
Year: 2001
Language: French
Pages: 350
Table des matières du volume III......Page 6
VIII - La Théorie de Cauchy......Page 12
i) Le théorème fondamental (TF) du calcul différentiel et intégral......Page 14
ii) Calcul différentiel dans R2......Page 15
iii) Fonctions holomorphes......Page 18
i) Primitives locales d'une fonction holomorphe......Page 19
ii) Intégration le long d'un chemin. Chemins admissibles......Page 21
iii) L'intégrale le long d'un chemin comme intégrale de Stieltjes......Page 23
iv) Une condition nécessaire et suffisante d'existence d'une primitive......Page 25
v) Cas d'un domaine contractile......Page 28
i) Chemins homotopes......Page 30
ii) Différentiation par rapport à un chemin......Page 32
iii) Effet d'une homotopie linéaire sur une intégrale......Page 34
iv) Le théorème d'invariance par homotopie......Page 36
i) Intégrales en 1/z......Page 43
ii) Longueur d'un chemin......Page 45
iii) La formule intégrale de Cauchy pour un cercle......Page 47
iv) Modes de convergence des fonctions holomorphes......Page 48
v) Analyticité des fonctions holomorphes......Page 52
vi) Série de Laurent......Page 53
i) La formule des résidus......Page 55
ii) Formule intégrale de Cauchy: cas général......Page 59
iii) Nombre de zéros et de pôles d'une fonction......Page 60
iv) Résidus à l'infini......Page 62
v) Invariance du résidu par représentation conforme......Page 64
vi) Fonctions sur la sphère de Riemann......Page 67
6 - Le théorème de Dixon......Page 69
7 - Intégrales dépendant holomorphiquement d'un paramètre......Page 73
§3. Quelques applications de la méthode de Cauchy......Page 77
i) Intégrales absolument convergentes de fonctions rationnelles......Page 79
ii) Intégrales semi-convergentes de fonctions rationnelles......Page 82
iii) Transformées de Fourier absolument convergentes......Page 83
iv) Transformées de Fourier semi-convergentes......Page 87
9 - Formules sommatoires......Page 90
i) La fonction gamma......Page 93
ii) Transformée de Fourier de e(-x)x(+,s-1)......Page 96
iii) L'intégrale de Hankel......Page 97
11 - Le problème de Dirichlet pour le demi-plan......Page 100
i) Généralités......Page 109
ii) Un théorème de Paley-Wiener......Page 112
iii) Fonctions holomorphes intégrables une bande......Page 113
iv) Fonctions holomorphes intégrables dans un demi-plan......Page 117
i) Questions de convergence......Page 119
ii) Prolongement analytique d'une transformée de Mellin......Page 121
iii) Exemple: la fonction zêta de Riemann......Page 124
iv) Un théorème de type Paley-Wiener......Page 126
14 - La formule de Stirling pour la fonction gamma......Page 134
15 - La transformée de Fourier de l/cos hpix......Page 142
i) Espaces vectoriels de dimension finie......Page 150
ii) Les notations tensorielles......Page 152
i) Fonctions différentiables......Page 165
ii) Dérivation des fonctions composées......Page 168
iii) Différentielles partielles......Page 170
iv) Difféomorphismes......Page 172
i) Difféomorphismes et cartes locales......Page 174
ii) Repères mobiles et champs de tenseurs......Page 176
iii) Dérivées covariantes dans un espace cartésien......Page 180
4 - Formes différentielles de degré 1......Page 186
i) Existence : calcul en coordonnées......Page 188
ii) Existence des primitives locales : formules intrinsèques......Page 190
i) Intégrales d'une forme différentielle......Page 192
ii) Image réciproque d'une forme différentielle......Page 194
i) Différentiation par rapport à un chemin......Page 196
ii) Effet d'une homotopie sur une intégrale......Page 198
iii) L'espace de Banach C1/2(I;E)......Page 200
i) L'analyse vectorielle des physiciens......Page 203
ii) Formes différentielles de degré 2......Page 204
iii) Formes de degré p......Page 207
9 - Intégrales étendues à un chemin de dimension 2......Page 212
i) La dérivée extérieure comme intégrale infinitésimale......Page 214
ii) La formule de Stokes pour un chemin de dimension 2......Page 216
iii) Intégrale d'une image réciproque......Page 219
iv) Un exemple dans le plan......Page 220
v) Version classique......Page 222
10 - Changement de variables dans une intégrale multiple......Page 225
i) Cas où phi est linéaire......Page 226
ii) Lemmes d'approximation......Page 230
iii) La formule du changement de variables......Page 235
iv) Formule de Stokes pour un chemin de dimension p......Page 237
i) La sphère dans R3......Page 241
ii) La notion de variété de classe Cr et de dimension d......Page 242
iii) Quelques exemples......Page 244
iv) Applications différentiables......Page 247
i) Vecteurs et espaces vectoriels tangents......Page 249
ii) Vecteur tangent à une courbe......Page 252
iii) Différentielle d'une application......Page 253
iv) Différentielles partielles......Page 257
v) La variété des vecteurs tangents......Page 258
13 - Sous-variétés et subimmersions......Page 259
i) Sous-variétés......Page 260
ii) Sous-variétés définies par une subimmersion......Page 263
iii) Les sous-groupes à un paramètre d'un tore......Page 266
iv) Sous-variétés d'un espace cartésien: vecteurs tangents......Page 271
v) Espaces de Riemann......Page 273
14 - Champs de vecteurs et opérateurs différentiels......Page 275
15 - Champs de vecteurs et équations différentielles......Page 277
i) Réduction à une équation intégrale......Page 278
ii) Existence des solutions......Page 279
iii) Unicité de la solution......Page 280
iv) Dépendance des conditions initiales......Page 281
v) Exponentielle d'une matrice......Page 284
16 - Formes différentielles sur une variété......Page 286
i) Variétés orientables......Page 288
ii) Intégrales de formes différentielles......Page 292
18 - La formule de Stokes......Page 295
1 - Surfaces de Riemann......Page 300
2 - Fonctions algébriques......Page 306
i) Définition des revêtements......Page 311
ii) Sections d'un revêtement......Page 313
iii) Relèvements d'un chemin......Page 314
iv) Revêtements d'un espace simplement connexe......Page 318
v) Revêtements d'un disque pointé......Page 322
i) Branches uniformes globales......Page 323
ii) Définition de la surface de Riemann ^X......Page 324
iii) La fonction algébrique F(z) comme fonction méromorphe sur ^X......Page 327
iv) Connexité de ^X......Page 330
v) Fonctions méromorphes sur ^X......Page 332
vi) Le point de vue purement algébrique......Page 333
Index......Page 338
Table des matières du volume I......Page 342
Table des matières du volume II......Page 346
