Dieses Lese- und Lernbuch vermittelt ein lebendiges Bild der Algebra und stellt sie kompakt und verständlich dar. Es ist sowohl für das Fachstudium als auch das gymnasiale Lehramtsstudium gedacht.
Im Zentrum stehen die algebraischen Strukturen der Gruppen, Ringe und Körper und ihre Bedeutung für das Lösen von Gleichungen, die Galoistheorie und die algebraische Zahlentheorie. Diese Anwendungen helfen auch dabei, das Dickicht an Begriffen und Abstraktionen in der modernen Algebra zu lichten.
Exkurse zu weiterführenden Themen und das Layout mit vielen Randbemerkungen tragen dazu bei, den Text auf das Wesentliche zu konzentrieren und trotzdem Raum für Anregungen und historische Zusammenhänge zu lassen. Der Text wird in regelmäßigen Abständen von kurzen Aufgaben unterbrochen und ist dadurch auch für das Selbststudium besonders geeignet.
Author(s): Daniel Plaumann
Edition: 1
Publisher: Springer Spektrum
Year: 2023
Language: German
Commentary: Publisher PDF | Published: 28 April 2023
Pages: viii, 242
City: Berlin, Heidelberg
Tags: Gruppen; Ringe; Körper; Galois-Theorie; Homomorphismen
Vorwort
Inhalt
Einführung
0.1 Was ist Algebra?
0.2 Gruppen, Ringe, Körper
0.3 Leitfaden
1 Ringe und Teilbarkeit
1.1 Einführung
1.2 Ganze Zahlen und Kongruenzen
1.3 Irreduzible und prime Elemente
1.4 Polynome
1.5 Exkurs: Monoid-Algebren
1.6 Der euklidische Algorithmus
1.7 Exkurs: Das RSA-Kryptosystem
1.8 Lineare Gleichungssysteme
1.9 Übungsaufgaben zu Kapitel 1
2 Homomorphismen und Ideale
2.1 Ringhomomorphismen
2.2 Ideale
2.3 Faktorringe und Homomorphiesätze
2.4 Exkurs: Allgemeine Form des chinesischen Restsatzes
2.5 Exkurs: Ideale in Zahlbereichen
2.6 Exkurs: Das Zornsche Lemma und maximale Ideale
2.7 Körper und Quotientenkörper
2.8 Übungsaufgaben zu Kapitel 2
3 Gruppen
3.1 Einführung
3.2 Permutationen und die symmetrische Gruppe
3.3 Untergruppen und Nebenklassen
3.4 Exkurs: Freie Gruppen und Cayley-Graphen
3.5 Homomorphismen
3.6 Normalteiler
3.7 Faktorgruppen und Homomorphiesätze
3.8 Zyklische und abelsche Gruppen
3.9 Exkurs: Erzeuger und Relationen
3.10 Exkurs: Zyklische Untergruppen und Periodizität
3.11 Übungsaufgaben zu Kapitel 3
4 Operationen und Struktur von Gruppen
4.1 Bahnen, Fixpunkte und Stabilisatoren
4.2 Bahnen zählen
4.3 Exkurs: Symmetrien der platonischen Körper
4.4 Gruppen von Primpotenzordnung
4.5 Exkurs: Semidirekte Produkte
4.6 Exkurs: Die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen
4.7 Übungsaufgaben zu Kapitel 4
5 Polynome
5.1 Nullstellen
5.2 Irreduzible Polynome
5.3 Exkurs: Symmetrische Polynome und symbolische Nullstellen
5.4 Exkurs: Faktorialität von Polynomringen
5.5 Übungsaufgaben zu Kapitel 5
6 Zahlentheorie
6.1 Quadratische Reziprozität
6.2 Pythagoreische Tripel und die Fermatsche Vermutung
6.3 Exkurs: Diophantische Gleichungen
6.4 Übungsaufgaben zu Kapitel 6
7 Algebraische Körpererweiterungen
7.1 Einführung
7.2 Exkurs: Algebraische und transzendente Zahlen
7.3 Eigenschaften endlicher Körpererweiterungen
7.4 Nullstellenkörper
7.5 Zerfällungskörper
7.6 Exkurs: Der algebraische Abschluss
7.7 Endliche Körper
7.8 Der Satz vom primitiven Element
7.9 Exkurs: Separable Körpererweiterungen
7.10 Übungsaufgaben zu Kapitel 7
8 Galoistheorie
8.1 Galoiserweiterungen und die Galoisgruppe
8.2 Exkurs: Einbettungen von Körpererweiterungen
8.3 Kreisteilungskörper
8.4 Der Hauptsatz der Galoistheorie
8.5 Der Fundamentalsatz der Algebra
8.6 Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen
8.7 Exkurs: Mehr über Auflösbarkeit
8.8 Übungsaufgaben zu Kapitel 8
9 Moduln
9.1 Moduln
9.2 Freie Moduln, Basen und Erzeugende
9.3 Exkurs: Exakte Sequenzen
9.4 Matrizen und Determinanten
9.5 Moduln über Hauptidealringen
9.6 Moduln über Polynomringen in einer Variablen
9.7 Noethersche Ringe und der Hilbertsche Basissatz
9.8 Übungsaufgaben zu Kapitel 9
Literatur
Bildnachweis
Personenverzeichnis
Index
