Dieses Buch behandelt ausführlich die klassischen Themenstränge, die den Algebraunterricht durchziehen: Variablen – Terme – Funktionen – Gleichungen. Für diese Themen werden jeweils die fachlichen und didaktischen Grundlagen dargestellt, es werden zentrale didaktische Handlungsfelder identifiziert und unterrichtspraktische Überlegungen anhand vieler inner- und außermathematischer Beispiele aufgezeigt. Im Vordergrund steht dabei die Entwicklung eines tragfähigen Verständnisses grundlegender Begriffe in diesen vier Themensträngen. Darüber hinaus wird analysiert, wie algebraisches Denken und der verständige Umgang mit der Formelsprache so entwickelt werden kann, dass Lernende befähigt werden, für Phänomene ihrer Lebenswelt einen spezifisch mathematischen Zugang gewinnen zu können.
In dieser umfassend überarbeiteten Neuauflage wird der Übergang von der Arithmetik zur Algebra und somit vom arithmetischen zum algebraischen Denken von der Primar- zur Sekundarstufe stärker betont. Weiterhin erfolgt eine Orientierung an den grundlegenden Ideen der KMK-Standards bzw. den allgemeinen Kompetenzen und Leitideen. Die Entwicklung des Begriffsverständnisses wird für jedes Thema aus der Perspektive der Grundvorstellungen charakterisiert. Der Einsatz digitaler Technologien ist heute selbstverständlich, er wird aber stets hinsichtlich seines didaktischen Potentials kritisch reflektiert. Die einzelnen Kapitel werden jeweils durch Übungsaufgaben abgeschlossen, die eine eigenständige Wiederholung der Inhalte ermöglichen.
Das Buch baut auf aktuellen Erkenntnissen über das Lehren und Lernen von Algebra auf und diskutiert sowohl traditionelle als auch neuere Konzepte und Vorschläge im Hinblick auf ihre Umsetzung im Algebraunterricht. Die Autoren dieses Buches fühlen sich dabei dem Grundprinzip eines verständnisorientierten Algebraunterrichts verpflichtet.
Author(s): Hans-Georg Weigand, Alexander Schüler-Meyer, Guido Pinkernell
Series: Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II
Edition: 4., vollständig überarbeitete Auflage
Publisher: Springer Spektrum
Year: 2022
Language: German
Commentary: Publisher PDF | Published: 25 October 2022
Pages: xviii, 342
City: Berlin, Heidelberg
Tags: Algebra; Beweis; Funktion; Gleichung; Lehre Schule; Lehrer Algebra; Mathematik Schule; Mathematikunterricht; Problemlösen; Algebraunterricht; Schule Algebra
Vorwort zur 4. Auflage
Einleitung
Inhaltsverzeichnis
1 Algebra in der Schule
1.1 Was ist Algebra in der Schule?
1.1.1 Algebra als Formelsprache
1.1.2 Algebra als Werkzeug
1.1.2.1 Geometrische Problemstellungen analytisch darstellen
1.1.2.2 Lösen von Alltagsproblemen
1.1.2.3 Physikalische Probleme mathematisch lösen
1.1.3 Algebra als Denkweise
1.2 Warum Algebra in der Schule?
1.2.1 Lernziele, Kompetenzen und Leitideen
1.2.2 Allgemeine Ziele des Algebraunterrichts
1.2.2.1 Algebra als beziehungshaltige und anwendungsorientierte Wissenschaft
1.2.2.2 Algebra als System zur Erkenntnisgewinnung
1.2.2.3 Algebra als heuristisches Hilfsmittel
1.3 Inhalte der Schulalgebra
1.4 Algebra unterrichten
1.4.1 Begriffsverständnis
1.4.2 Prinzip der Vielfalt und Vernetzung der Darstellungsformen (insbesondere das „E-I-S-Prinzip“)
1.4.3 Prinzip der Orientierung an Grundvorstellungen
1.4.4 Prinzip der Anwendungsorientierung
1.4.5 Prinzip des adäquaten Einsatzes digitaler Technologien
1.5 Zusammenfassung
1.6 Aufgaben
2 Variablen
2.1 Fachliche Analyse
2.1.1 Der Variablenbegriff in der Algebra zu Beginn der Sekundarstufe
2.1.2 Grundvorstellungen des Variablenbegriffs
2.1.3 Historisch-genetische Entwicklung der Algebra
2.1.4 Was kennzeichnet den Übergang von der Arithmetik zur Algebra?
2.2 Variablen verstehen
2.2.1 Den Grundbegriff Variable erwerben
2.2.2 Zentrale Entwicklungslinien beim Aufbau eines Variablenverständnisses
2.2.2.1 Die Variable als ein eigenständiges Objekt nutzen
2.2.2.2 Variable als Mittel zum Ausdrücken von Allgemeinheit
2.2.2.3 Stufen der Entwicklung des Variablenverständnisses
2.2.3 Zusammenfassung
2.3 Zentrale didaktische Handlungsfelder
2.3.1 Aufbau von Variablenvorstellungen nach dem genetischen Prinzip bzw. dem Prinzip des inhaltlichen Denkens vor Kalkül
2.3.2 Darstellungsvernetzung und -verkürzung nach dem E-I-S-Prinzip
2.3.3 Formalisierung nach dem Prinzip der fortschreitenden Schematisierung
2.3.4 Zusammenfassung
2.4 Variablenvorstellungen im Unterricht anbahnen
2.4.1 Die Variable als Unbestimmte verstehen
2.4.1.1 Die Unbestimmte aus bestimmten Zahlen entwickeln
2.4.1.2 Die Unbestimmte durch operatives Durcharbeiten und Darstellungsvernetzung entwickeln
2.4.1.3 Die Unbestimmte aus geometrischen Kontexten entwickeln
2.4.2 Die Variable als Unbekannte verstehen
2.4.2.1 Die Unbekannte durch das Boxenmodell anbahnen
2.4.2.2 Die Unbekannte durch das Waagemodell anbahnen
2.4.3 Die Variable als Veränderliche verstehen
2.4.3.1 Die Veränderliche-Vorstellung durch analytisches Handeln mit Mustern anbahnen
2.4.3.2 Die Veränderliche durch das Verallgemeinern von Mustern anbahnen
2.4.3.3 Grenzen von Musterfolgen für die Anbahnung der Variablenvorstellung der Veränderlichen
2.4.4 Zusammenfassung
3 Terme
3.1 Fachliche Analyse
3.1.1 Die Formelsprache als formale Sprache
3.1.2 Die Relevanz von Termen oder: „Wozu sind Terme da?“
3.1.3 Regeln und Regelhierarchien
3.1.4 Anschaulichkeit und Abstraktion bei Termen
3.1.5 Terme und ihre Entwicklung im historischen Überblick
3.1.6 Zusammenfassung
3.2 Terme verstehen
3.2.1 Ziele beim Lernen der Formelsprache
3.2.2 Grundvorstellungen zum Termbegriff
3.2.2.1 Die Modell-Grundvorstellung
3.2.2.2 Die Bauplan-Grundvorstellung
3.2.3 Termumformungen
3.2.3.1 Die semantische Sicht bei Termumformungen
3.2.3.2 Die syntaktische Sicht des Termumformens
3.2.4 Termumformungen und digitale Technologien
3.2.4.1 Termumformungen mit CAS
3.2.4.2 Termumformungen mit Lehr-Lern-Apps
3.3 Zentrale didaktische Handlungsfelder
3.3.1 Konstrukt des Struktursehens
3.3.1.1 Prozessmodell des Struktursehens
3.3.1.2 Strukturen wiedererkennen
3.3.1.3 Angemessene Umformungsschritte wählen und vollziehen
3.3.2 Fehler und das didaktische Prinzip des Lernens aus Fehlern
3.3.2.1 Fehler in der Formelsprache
3.3.2.2 Ursachen von Fehlern in der Formelsprache
3.3.2.3 Zum konstruktiven Umgang mit Fehlern
3.3.3 Produktive Übungsaufgaben für Termumformungen
3.4 Die Formelsprache im Unterricht
3.4.1 Zugang zu Termen durch inhaltliches Denken
3.4.1.1 Zugang über Musterfolgen
3.4.1.2 Zugang über geometrische Figuren
3.4.1.3 Zugang über „Zahlentricks“
3.4.1.4 Zugang über Zählverfahren
3.4.2 Anbahnen von Termumformungen
3.4.2.1 Lerngelegenheiten für das Struktursehen
3.4.2.2 Lerngelegenheiten für Rechengesetze
3.4.2.3 Lerngelegenheiten für das Wiedererkennen von Strukturen
3.4.3 Erweiterung der Formelsprache
3.4.3.1 Bruchterme
3.4.3.2 Terme mit Wurzeln
3.4.3.3 Potenzrechnung
4 Funktionen
4.1 Fachliche Analyse
4.1.1 Darstellungen von Funktionen
4.1.2 Die Vielfalt der Funktionen im Mathematikunterricht
4.1.3 Die historische Entwicklung des Funktionsbegriffs
4.1.4 Aspekte des Funktionsbegriffs
4.2 Funktionen verstehen
4.2.1 Ein Lernmodell zum Funktionsbegriff
4.2.2 Grundvorstellungen zum Funktionsbegriff
4.2.3 Beziehung zwischen Aspekten und Grundvorstellungen beim Lernen
4.2.4 Funktionales Denken
4.2.5 Das operative Prinzip und das funktionale Denken
4.2.6 Zusammenfassung
4.3 Zentrale didaktische Handlungsfelder
4.3.1 Zugänge zum Funktionsbegriff
4.3.2 Entdecken neuer Funktionstypen
4.3.3 Modellbilden mit Funktionen
4.3.4 Umkehrfunktionen
4.3.5 Funktionen und Relationen
4.3.6 Mit Funktionen operieren
4.3.7 Funktionen dynamisch analysieren
4.3.8 Werte annähern – Regressionskurven
4.3.8.1 Regressionsgeraden
4.3.8.2 Exponentielle Regressionskurve
4.3.8.3 Trigonometrische Regressionskurve
4.3.9 Funktionen mehrerer Veränderlicher
4.4 Funktionen unterrichten
4.4.1 Proportionale und antiproportionale Funktionen
4.4.2 Lineare Funktionen
4.4.2.1 Intuitive Zugänge
4.4.2.2 Eigenschaften linearer Funktionen
4.4.2.3 Dynamik erleben – Geradenscharen
4.4.2.4 Modellieren mit linearen Funktionen
4.4.2.5 Problemlösen mit linearen Funktionen
4.4.3 Quadratische Funktionen
4.4.3.1 Normalparabel
4.4.3.2 Allgemeine quadratische Funktion
4.4.3.3 Entdeckungen mit Parabeln
4.4.3.4 Parabeln und Extremwertprobleme
4.4.3.5 Quadratische Funktionen als mathematische Modelle
4.4.3.6 Parabeln in Geometrie und Algebra
4.4.4 Potenz- und Exponentialfunktionen
4.4.5 Folgen – diskrete Funktionen
4.4.5.1 Didaktische Bedeutung von Folgen
4.4.5.2 Wachstumsprozesse – diskret betrachtet
4.4.6 Exponential- und Logarithmusfunktionen
4.4.6.1 Exponentialfunktion
4.4.6.2 Logarithmusfunktionen
4.4.7 Trigonometrische Funktionen
4.4.7.1 Die Sinusfunktion
4.4.7.2 Die allgemeine Sinusfunktion
4.4.7.3 Umkehrfunktionen
5 Gleichungen
5.1 Fachliche Analyse
5.1.1 Gleichungen in der Schulmathematik
5.1.2 Zum Begriff der Gleichung
5.1.3 Gleichungen als Aussage und Aussageform
5.1.4 Das Gleichheitszeichen
5.1.5 Definitions- und Lösungsmenge
5.1.6 Ungleichungen
5.1.7 Äquivalenz von Gleichungen und Äquivalenzumformungen
5.1.8 Äquivalenz von Ungleichungen und Äquivalenzumformungen
5.1.9 Gleichungen lösen
5.1.9.1 Algebraische Lösungsverfahren
5.1.9.2 Numerische Löseverfahren
5.1.9.3 Grafisches Lösen von Gleichungen
5.1.10 Ungleichungen lösen
5.1.10.1 Lösen durch Elementarumformungen
5.1.10.2 Grafisches Lösen
5.1.10.3 Lösung mithilfe einer Gleichung
5.1.11 Gleichungen in der Geschichte der Mathematik
5.2 Gleichungen verstehen
5.2.1 Das Gleichheitszeichen verstehen
5.2.2 Grundvorstellungen von Gleichungen
5.2.3 Das Lösen von Gleichungen verstehen
5.2.3.1 Lösen durch Operationsumkehr
5.2.3.2 Lösen durch Äquivalenzumformung
5.2.4 Verstehen im Kalkül
5.2.5 Das Lösen von Ungleichungen verstehen
5.3 Zentrale didaktische Handlungsfelder
5.3.1 Die Identität als eine relationale Sichtweise des Gleichheitszeichens entwickeln
5.3.2 Äquivalenzumformungen von Gleichungen anbahnen
5.3.2.1 Operationen am Zahlenstrahl im Kontext von Zahlenrätseln
5.3.2.2 Das Waagemodell
5.3.2.3 Elementare Äquivalenzumformungen mit einem Computeralgebrasystem üben
5.3.3 Verstehen im Kalkül anbahnen
5.3.3.1 Vielfalt anbahnen als Wissensgrundlage des Verstehens im Kalkül
5.3.3.2 Flexibilität anbahnen
5.3.3.3 Zur Bedeutung exakter Lösungen von Gleichungen
5.3.4 Gleichungen zielgerichtet aufstellen und Einsichten gewinnen
5.3.5 Schwierigkeiten beim Umgang mit Gleichungen und Ungleichungen
5.3.5.1 Schwierigkeiten beim Aufstellen von Gleichungen
5.3.5.2 Schwierigkeiten beim Umformen von Gleichungen
5.3.5.3 Schwierigkeiten beim Umgang mit Lösungen von Gleichungen
5.4 Gleichungen unterrichten
5.4.1 Lineare und quadratische Gleichungen
5.4.1.1 Verstehen im Kalkül und das Lösen von Gleichungen mit CAS
5.4.1.2 Gleichungen für Begründungen und Beweise nutzen
5.4.2 Gleichungssysteme
5.4.2.1 Gleichungssysteme mit einem CAS lösen
5.4.2.2 Lineare Gleichungssysteme in Anwendungs- und Modellierungsaufgaben
5.4.3 Bruchgleichungen
5.4.4 Ungleichungen
5.4.5 Wurzelgleichungen
5.4.6 Algebraische Gleichungen höheren Grades (≥ 3)
5.4.7 Exponentielle Gleichungen
5.4.7.1 Exponentielle Gleichungen umformen
5.4.7.2 Exponentielle Gleichungen in Anwendungs- und Modellierungsaufgaben
5.4.8 Trigonometrische Gleichungen
5.4.9 Aufstellen von Kurvengleichungen
Bisher erschienene Bände (Auswahl)
Mathematik
Literatur
Stichwortverzeichnis
