「本書は一言で表すと,まったく美しくない微分幾何のテキストである. 」 (「まえがき」より)
微積分と線形代数の知識だけを出発点に、微分幾何の基礎から応用まで学ぶ入門書。
抽象的で「美しい」記述よりも、直観的な説明と豊富な図、具体的な計算を中心に据えているので、着実に理解しながら読み進めることができます。
微分幾何の舞台となる多様体から始めて、微分形式やリー群、ファイバー束やリーマン幾何を経て、ゲージ理論と一般相対性理論まで到達します。数学的な理論として広く学べるだけでなく、微分幾何が電磁気や重力といった身の回りの物理現象をどのように説明するのかがわかります。
はじめて学ぶ方はもちろん、ほかの本では難しいと感じた方にもおすすめの一冊です。
◆電子版が発行されました
◆詳細は、森北出版Webサイトにて
【目次】
第1章 多様体
1.1 多様体
1.2 接ベクトルと接ベクトル束
第2章 微分形式
2.1 線素,面積素,体積素
2.2 外積と外微分
2.3 微分形式の積分
2.4 ド・ラームコホモロジー
2.5 押し出しと引き戻し
第3章 リー微分とリー群
3.1 積分曲線とベクトル場の流れ
3.2 リー微分
3.3 リー群とリー代数
3.4 線形リー群
第4章 ファイバー束
4.1 接ベクトル束TM
4.2 ファイバー束
4.3 ベクトル束
4.4 ベクトル束の接続
4.5 ベクトル束の曲率
第5章 主束
5.1 主束P の構成
5.2 同伴ベクトル束
5.3 押し出しと引き戻しの復習
5.4 接続の幾何学的構成
5.5 エーレスマン接続とゲージ場(接続1-形式)
第6章 ゲージ理論
6.1 RD における計量とホッジ作用素
6.2 解析力学
6.3 場の作用
6.4 ゲージ理論—場の理論の対称性から
6.5 マクスウェル理論:U(1) ゲージ理論
6.6 ヤン– ミルズ理論の解(インスタントン)
6.7 特性類
第7章 リーマン幾何
7.1 部分多様体
7.2 平行移動と共変微分
7.3 部分多様体M _ RN の接続
7.4 リーマン多様体の接続と曲率(局所標構場を用いて)
7.5 リーマン多様体の接続と曲率(一般の座標で)
第8章 一般相対性理論
8.1 解析力学と保存則
8.2 重力場中の質点の軌跡と測地線
8.3 重力場の方程式
8.4 球対称解
8.5 球対称な空間の物理
問題解答
参考文献
索引
