Csoportelmélet

A ​középiskola jelenlegi tantervében nagyon kevés algebra szerepel. Tulajdonképpen az elsőfokú egyenletek, egyenletrendszerek, a másodfokú egyenletek, első- és másodfokú egyenlőtlenségek megoldásán kívül néhány algebrai azonosság sorolható e témakörbe. Az exponenciális, trigonometrikus stb. egyenletek, azonosságok tulajdonképpen már nem algebrai kérdések. Ez a kijelentés nyilvánvalóan ellentétben van a középiskolai szintű közfelfogással, amely szerint – egy kis túlzással – a matematika algebrára és geometriára oszlik. Ezt a felfogást az analízis elemeinek, a kombinatorikának és valószínűségszámításnak a bevezetése bizonyára módosította. Felmerül a kérdés, mit neveznek algebrának. Erre a kérdésre véleményem szerint érdemi feleletet csak úgy lehet adni, ha betekintést nyújtunk az algebra problémakörébe, módszereibe. Itt csupán azt jegyezem meg, hogy a fent vázolt problémakör – algebrai egyenletek, egyenletrendszerek, azonosságok – ma már az algebrának csupán kis részét jelentik. A modern algebra számos fejezetre oszlik. Ezek mindegyikének, vagy akár a legalapvetőbb fejezeteknek a bemutatása túl sok helyet és munkát igényelne. Többet ér egy fejezet kicsit részletesebb bemutatása, mint sok kérdés felületes tárgyalása. A részletek megismerése egyes esetekben több munkát igényel, de mélyebb ismeretet nyújt. Ennek a füzetnek a célja a csoportelmélet elemeinek megmutatása. A csoportelmélet tanulmányozásával megismerjük az absztrakt algebra lényegét. Azt is állíthatjuk, hogy a csoportelmélet elemeinek elsajátításával, közel jutunk a modern matematika módszereinek megismeréséhez. Ugyanakkor –, mint a felépítés menetéből kiderül – a középiskolai tananyagban sok alkalmat találunk a csoportelmélet alapfogalmainak kialakítására. Ez lehetővé teszi, hogy az új gondolatokat fokozatosan ismertessük, s ezzel az igazi tartalmi megértést elősegítsük. E füzet felépítését a fenti célkitűzések szabták meg. A könyv öt fejezetre oszlik. Ez a felépítés lehetővé teszi, hogy aki nem akar elmélyedni a témában, az a fejezetek alkalmas részeit átdolgozva szintén összefüggő anyagrészt találjon. Ezekre a részekre az alábbiakban – a fejezetek tartalmának rövid ismertetése során – utalás történik. Az apró betűvel szedett megjegyzések a probléma elmélyítését szolgálják, a továbbiak megértéséhez nem föltétlenül szükségesek. Elolvasásuk mégis célszerű, mert sok aprónak tűnő, de lényeges kérdésre adnak választ. Bizonyára lesznek olyanok, akik maguk is felvetik e kérdéseket.