Examina la noción de divisibilidad y aborda las propiedades elementales de las congruencias; estudia la existencia de raíces y las congruencias cuadráticas, para concluir con el estudio de algunas ecuaciones diofantinas de grado 2 y 3, además de la llamada ecuación de Pell. El autor se centra en el tema de la criptografía.
Author(s): Felipe Zaldivar
Edition: 1
Publisher: Fondo de Cultura Económica
Year: 2014
Language: Spanish
Pages: 198
City: Mexico City
Portada
Autor
Índice general
Prólogo
Matemáticos cuyos trabajos se han citado en el libro
Lista de símbolos más usados
I. El teorema fundamental de la aritmética
I.1 Divisibilidad
I.1.1 El algoritmo de la división
I.1.2 Máximo común divisor
Ejercicios
I.2 Primos y factorización única
I.2.1 Factorización única
I.2.2 La criba de Eratóstenes
I.2.3 Infinitud del conjunto de primos
Ejercicios
I.3 El algoritmo de Euclides
I.3.1 El mínimo común múltiplo
Ejercicios
I.4 Ecuaciones diofantinas lineales
Ejercicios
II. Congruencias y criptografía
II.1 Congruencias y aritmética modular
II.1.1 Congruencias lineales
Ejercicios
II.2 Los teoremas de Fermat y Euler
Ejercicios
II.3 Criptografía
II.3.1 Cifradores de substitución
II.3.2 Criptoanálisis
Ejercicios
II.4 El criptosistema RSA
II.4.1 Un algoritmo para calcular potencias y raíces
II.4.2 Un algoritmo para escribir un decimal en binario
II.4.3 Eficiencia de algunos algoritmos
II.4.4 Eficiencia del algoritmo de Euclides
II.4.5 Eficiencia del cálculo de potencias y raíces módulo n
II.4.6 Firmas digitales
Ejercicios
III. Números perfectos y funciones multiplicativas
III.1 Primos de Mersenne y números perfectos
Ejercicios
III.2 Funciones multiplicativas
III.2.1 Divisores y la función φ de Euler
III.2.2 El número de divisores de un entero
III.2.3 La función μ de Möbius
Ejercicios
IV. Raíces primitivas y logaritmos discretos
Ejercicios
IV.1 Raíces primitivas
Ejercicios
IV.1.1 Raíces primitivas para primos
El exponente de U(Z/n)
Ejercicios
IV.1.2 Raíces primitivas para potencias de primos
Raíces primitivas para potencias de 2
Ejercicios
IV.1.3 Raíces primitivas en el caso general
Resumen
Ejercicios
IV.2 Logaritmos discretos
Ejercicios
IV.3 El intercambio de claves de Diffie-Hellman
IV.4 El criptosistema de ElG
IV.4.1 Firmas digitales usando ElGamal
Ejercicios
V. Residuos cuadráticos
V.1 Residuos cuadráticos y raíces primitivas módulo p
V.1.1 ¿Cuándo es −1 un RC módulo p?
V.1.2 ¿Cuándo es 2 un RC módulo p?
Ejercicios
V.2 La ley de reciprocidad cuadrática
V.2.1 Congruencias cuadráticas en general
V.2.2 Primos de la forma ak + b
Ejercicios
V.3 El símbolo de Jacobi
Ejercicios
V.4 El criptosistema de Rabin
Ejercicios
VI. Sumas de potencias
VI.1 Ternas Pitagóricas
VI.1.1 Una excursión por la geometría
Ejercicios
VI.2 La conjetura de Fermat
Ejercicios
VI.3 Sumas de dos cuadrados
Ejercicios
VI.4 Sumas de cuatro cuadrados
VI.4.1 Sumas de tres cuadrados
Ejercicios
VI.4.2 Un poco de historia
VII. La ecuación de Pell y aproximaciones diofantinas
VII.1 La ecuación de Pell: un caso particular
VII.1.1 El problema del ganado de Arquímedes
VII.1.2 El caso particular de la ecuación de Pell
Ejercicios
VII.2 La ecuación de Pell: el caso general
Ejercicios
VII.3 Aproximación diofantina y la ecuación de Pell
VII.3.1 La existencia de soluciones de la ecuación de Pell
Ejercicios
VIII. Números congruentes y curvas elípticas
VIII.1 Números congruentes
VIII.1.1 Puntos racionales en ciertas cúbicas
Ejercicios
VIII.2 Curvas elípticas
VIII.2.1 La operación de grupo
VIII.2.2 El teorema de Mordell
VIII.2.3 Reducción módulo
Ejercicios
VIII.3 La función L de Hasse-Weil de una curva elíptica
Bibliografía
Índice analítico y onomástico
