М.: Физматлит, 2005. - 256 с.
Описаны точные аналитические методы решения нелинейных уравнений математической физики. Наряду с классическими методами представлены также новые методы, которые интенсивно развивались в последнее время (неклассический метод поиска симметрии, прямой метод Кларксона-Крускала, метод дифференциальных связей, метод обобщенного разделения переменных и другие). Во всех разделах рассматриваются примеры использования методов для построения точных решений конкретных нелинейных дифференциальных уравнений. Исследуются уравнения тепло- и массопереноса, гидродинамики, теории волн, нелинейной акустики, теории
горения, нелинейной оптики и др. Приведены многочисленные задачи и упражнения, позволяющие получить практические навыки применения рассматриваемых методов.
Для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, инженеров, аспирантов и студентов, специализирующихся в различных областях прикладной математики, механики и физики. Ее теоретический материал и упражнения могут быть использованы в курсах лекций по уравнениям математической физики, для чтения спецкурсов и для проведения практических занятий.
Оглавление:
Предисловие.
Некоторые обозначения и замечания.
Классификация полулинейных уравнений с частными производными второго порядка.
Типы уравнений. Уравнения характеристик.
Канонический вид уравнений параболического типа.
Канонический вид уравнений гиперболического типа.
Канонический вид уравнений эллиптического типа.
Преобразования уравнений математической физики.
Точечные преобразования.
Преобразование годографа.
Контактные преобразования. Преобразования Лежандра и Эйлера.
Преобразования Беклунда.
Дифференциальные подстановки.
Решения типа бегущей волны и автомодельные решения. Метод подобия.
Предварительные замечания.
Решения типа бегущей волны.
Автомодельные решения. Метод подобия.
Уравнения, инвариантные относительно комбинаций преобразований сдвига и растяжения, и их решения.
Обобщенно-автомодельные решения.
Метод обобщенного разделения переменных.
Введение.
Структура решений с обобщенным разделением переменных.
Упрощенная схема построения точных решений, основанная на априорном задании одной системы координатных функций.
Решение функционально-дифференциальных уравнений методом дифференцирования.
Решение функционально-дифференциальных уравнений методом расщепления.
Метод Титова—Галактионова.
Метод функционального разделения переменных.
Структура решений с функциональным разделением переменных.
Решения с функциональным разделением переменных специального вида.
Метод дифференцирования.
Метод расщепления. Редукция к функциональному уравнению с двумя переменными.
Решения некоторых нелинейных функциональных уравнений и их приложения в математической физике.
Прямой метод Кларксона — Крускала.
Поиск точных решений специального вида.
Поиск точных решений общего вида.
Некоторые модификации и обобщения.
Классический метод исследования симметрии дифференциальных уравнений.
Однопараметрические преобразования и их локальные свойства.
Симметрии нелинейных уравнений второго порядка. Условие инвариантности.
Использование симметрии уравнения для поиска точных решений. Инвариантные решения.
Некоторые обобщения. Уравнения старших порядков.
Симметрии систем уравнений математической физики.
Неклассический метод исследования симметрии дифференциальных уравнений.
Описание метода. Условие инвариантной поверхности.
Конкретные примеры: уравнение Фитц-Хью — Нагумо и нелинейное волновое уравнение.
Метод дифференциальных связей.
Описание метода.
Дифференциальные связи первого порядка.
Дифференциальные связи второго и старших порядков.
Использование нескольких дифференциальных связей.
Связь между методом дифференциальных связей и другими методами.
Тест Пенлеве для нелинейных уравнений математической физики.
Подвижные особенности решений обыкновенных дифференциальных уравнений.
Решения уравнений с частными производными, имеющие подвижный полюс. Описание метода.
Примеры применения теста Пенлеве и усеченных разложений для анализа нелинейных уравнений математической физики.
Построение решений нелинейных уравнений, не удовлетворяющих тесту Пенлеве, с помощью усеченных разложений.
Методы обратной задачи рассеяния (теория солитонов).
Метод, основанный на использовании пар Лакса.
Метод, использующий условие совместности систем линейных уравнений.
Метод, основанный на использовании линейных интегральных уравнений.
Решение задачи Коши методом обратной задачи.
Законы сохранения и интегралы движения.
Основные определения и примеры.
Уравнения, допускающие вариационную формулировку. Нётеровы симметрии.
Уравнения Пенлеве.
Первое уравнение Пенлеве.
Второе уравнение Пенлеве.
Третье уравнение Пенлеве.
Четвертое уравнение Пенлеве.
Пятое уравнение Пенлеве.
Шестое уравнение Пенлеве.
Квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка.
Характеристическая система. Общее решение.
Задача Коши. Теорема существования и единственности.
Качественные особенности и разрывные решения квазилинейных уравнений.
Обобщенные решения квазилинейных уравнений.
Нелинейные уравнения общего вида с частными производными первого порядка.
Методы решения.
Задача Коши. Теорема существования и единственности.
Обобщенные вязкие решения и их приложения.
Решение некоторых функциональных уравнений.
Метод дифференцирования по параметру.
Метод дифференцирования по независимым переменным.
Решение функциональных уравнений методом исключения аргумента.
Список литературы.
