Гравитация

Предисловие редакторов перевода ......Page 21
Предисловие авторов к русскому изданию ......Page 24
Предисловие авторов ......Page 25
От авторов ......Page 31
Часть I. Физика пространства-времени ......Page 33
§ 1.1. Притча о яблоке ......Page 35
§ 1.2. Пространство-время с координатами и без них ......Page 38
Дополнение 1.1. Математические обозначения событий, координат и векторов ......Page 47
§ 1.3. Невесомость ......Page 48
Дополнение 1.2. Вещества, имеющие совершенно различный состав, падают с одним и тем же ускорением («стандартная мировая линия») ......Page 54
Дополнение 1.3. Локально лоренцева геометрия и локально эвклидова геометрия (с координатами и без них) ......Page 56
§ 1.5. Время ......Page 60
Дополнение 1.4. Время сегодня ......Page 66
§ 1.6. Кривизна ......Page 67
Дополнение 1.5. Как проверить, является ли пространство-время плоским? ......Page 73
Дополнение 1.6. Кривизна чего? ......Page 74
Дополнение 1.7. Уравнение движения в гравитационном поле и уравнение движения в электромагнитном поло: сходства и различия ......Page 76
Дополнение 1.8. Геометрические единицы ......Page 77
§ 1.7. Воздействие материи на геометрию ......Page 78
Дополнение 1.9. Галилео Галилей ......Page 81
Дополнение 1.10. Исаак Ньютон ......Page 82
Дополнение 1.11. Альберт Эйнштейн ......Page 84
Часть II. Физика в плоском пространстве-времени ......Page 87
§ 2.1. Общие замечания ......Page 89
§ 2.2. Геометрические объекты ......Page 90
§ 2.3. Векторы ......Page 91
Дополнение 2.1. Прощай ict ......Page 94
§ 2.4. Метрический тензор ......Page 95
§ 2.5. Дифференциальные формы ......Page 96
§ 2.6. Градиенты и производные по направлениям ......Page 102
§ 2.7. Координатное представление геометрических объектов ......Page 103
Дополнение 2.3. Дифференциалы ......Page 106
§ 2.8. Центрифуга и фотон ......Page 107
§ 2.9. Преобразования Лоренца ......Page 110
Дополнение 2.4. Преобразования Лоренца ......Page 111
§ 2.10. Столкновения ......Page 113
§ 3.1. Сила Лоренца и тензор электромагнитного поля ......Page 115
Дополнение 3.1. Определение поля и предсказание движения по формуле Лоренца ......Page 117
§ 3.2. Тензоры в самом общем виде ......Page 118
Дополнение 3.2. Метрика на разных языках ......Page 122
§ 3.3. Геометрическая точка зрения в сравнении с точкой зрения 3+1 ......Page 123
§ 3.4. Уравнения Максвелла ......Page 125
§ 3.5. Операции над тензорами ......Page 127
Дополнение 3.3. Техника «жонглирования индексами» ......Page 135
§ 4.1. Внешнее исчисление ......Page 137
Дополнение 4.1. Дифференциальные формы и внешнее исчисление в кратком изложении ......Page 138
§ 4.2. Электромагнитная 2-форма и сила Лоренца ......Page 145
Дополнение 4.2. Как абстрагируясь от понятия «сотоподобной структуры» прийти к понятию 2-формы; случай 3-пространства и пространства-времени ......Page 149
§ 4.3. Формы позволяют лучше понять электромагнетизм, а электромагнетизм позволяет лучше понять формы ......Page 151
Дополнение 4.3. Дуальность 2-форм в пространстве-времени ......Page 156
§ 4.4. Поле излучения ......Page 157
§ 4.6. Внешняя производная и замкнутые формы ......Page 161
Дополнение 4.4. Последовательность форм и внешних производных ......Page 162
§ 4.7. Действие на расстоянии как следствие локального закона ......Page 166
Дополнение 4.5. Сравнение и противопоставление метрической структуры и гамильтониана, или «спмплектической структуры» ......Page 175
Дополнение 4.6. История появления теоремы Стокса ......Page 176
§ 5.1. Предварительные замечания, относящиеся к курсу 1 ......Page 178
Дополнение 5.1. Резюме главы 5 ......Page 179
§ 5.2. Трехмерные объемы и определение тензора энергии-импульса ......Page 180
Дополнение 5.2. Трехмерные объемы ......Page 183
§ 5.3. Компоненты тензора энергии-импульса ......Page 185
§ 5.4. Тензор энергии-импульса роя частиц ......Page 187
§ 5.5. Тензор энергии-импульса идеальной жидкости ......Page 188
§ 5.6. Электромагнитный тензор энергии-импульса ......Page 189
§ 5.7. Симметрия тензора энергии-импульса ......Page 190
§ 5.8. Сохранение 4-импульса: интегральная формулировка ......Page 192
Дополнение 5.3. Интегралы по объему, интегралы по поверхности и теорема Гаусса в компонентных обозначениях ......Page 197
II. Теорема Гаусса на языке форм ......Page 200
§ 5.10. Примеры применения уравнения Delta T=0 ......Page 202
Дополнение 5.5. Обзор ньютоновской гидродинамики ......Page 204
§ 5.11. Момент импульса ......Page 206
Дополнение 5.6. Момент импульса ......Page 210
§ 6.1. Ускоренные наблюдатели могут быть изучены в рамках специальной теории относительности ......Page 213
Дополнение 6.2. Ускоренные наблюдатели (краткое изложение) ......Page 214
§ 6.2. Гиперболическое движение ......Page 216
§ 6.3. Ограничения на размеры ускоренной системы отсчета ......Page 219
§ 6.4. Тетрада, переносимая равномерно ускоренным наблюдателем ......Page 221
§ 6.5. Тетрада, переносимая переносом Ферми — Уолкера наблюдателем с произвольным ускорением ......Page 222
§ 6.6. Локальная система координат ускоренного наблюдателя ......Page 224
§ 7.1. Попытки объединить теорию тяготения и специальную теорию относительности ......Page 230
Дополнение 7.1. Попытка описать гравитацию с помощью поля симметричного тензора в плоском пространстве-времени (решение упражнения 7.3) ......Page 235
§ 7.2. Вывод гравитационного красного смещения из закона сохранения энергии ......Page 242
§ 7.3. Из гравитационного красного смещения следует кривизна пространства-времени ......Page 243
§ 7.4. Обоснование принципа эквивалентности с помощью гравитационного красного смещения ......Page 245
§ 7.5. Локально плоское, глобально искривленное пространство-время ......Page 246
Часть III. Математическая теория искривленного пространства-времени ......Page 249
§ 8.1. Краткий обзор части III ......Page 251
Дополнение 8.1. Книги по дифференциальной геометрии ......Page 252
§ 8.2. Сравнение курса 1 с курсом 2: различный кругозор, различные возможности ......Page 253
§ 8.3. Геометрия в трех аспектах: на чертежах, в абстрактной форме, в компонентных обозначениях ......Page 254
Дополнение 8.2. Эли Картан ......Page 256
Дополнение 8.3. Три уровня дифференциальной геометрии ......Page 257
§ 8.4. Тензорная алгебра в искривленном пространстве-времени ......Page 258
Дополнение 8.4. Тензорная алгебра в фиксированном событии в произвольном базисе ......Page 263
§ 8.5. Параллельный перенос, ковариантная производная, коэффициенты связности, геодезические ......Page 265
§ 8.6. Локально лоренцевы системы: математическое рассмотрение ......Page 277
§ 8.7. Отклонение геодезических и тензор кривизны Римана ......Page 279
Дополнение 8.5. Георг Фридрих Бернхард Риман ......Page 283
Дополнение 8.6. Ковариантное дифференцирование и кривизна: основные соотношения ......Page 284
§ 9.1. Геометрические объекты в пространстве-времени без метрики и без геодезических ......Page 287
§ 9.2. Результат уточнения понятий «вектора» и «производной по направлению»— понятие «касательного вектора» ......Page 288
Дополнение 9.1. Касательные векторы и касательное пространство ......Page 292
§ 9.3. Базисы, компоненты и законы преобразования векторов ......Page 293
§ 9.4. 1-формы ......Page 295
§ 9.5. Тензоры ......Page 297
§ 9.6. Коммутаторы и методы наглядного представления ......Page 299
Дополнение 9.2. Коммутатор в качестве замыкающего четырехсторонники ......Page 303
§ 9.7. Многообразия и дифференциальная топология ......Page 304
§ 10.1. Геодезические и принцип эквивалентности ......Page 309
Дополнение 10.1. Геодезические ......Page 311
§ 10.2. Параллельный перенос и ковариантная производная: наглядное представление ......Page 312
Дополнение 10.2. От геодезических к параллельному переносу, от параллельного переноса к ковариантиому дифференцированию, от ковариантного дифференцирования к геодезическим ......Page 315
§ 10.3. Параллельный перенос и ковариантная производная: абстрактный подход ......Page 318
Дополнение 10.3. Ковариантная производная, трактуемая как машина, а коэффициенты связности — как ее компоненты ......Page 322
§ 10.4. Параллельный перенос и ковариантная производная: компонентное представление ......Page 325
§ 10.5. Уравнение геодезических ......Page 331
§ 11.1. Кривизна, наконец-то! ......Page 334
§ 11.2. Относительное ускорение соседних геодезических ......Page 335
Дополнение 11.1. Отклонение геодезических и риманова кривизна в кратком изложении ......Page 337
Дополнение 11.2. Отклонение геодезических, представленное в виде стрелки ......Page 338
Дополнение 11.3. Отклонение геодезических: как от стрелки перейти ко второй ковариантной производной ......Page 339
§ 11.3. Приливные силы тяготения и тензор кривизны Римана ......Page 340
Дополнение 11.4. Относительное ускорение пробных частиц: геометрический анализ, выполненный по схеме ньютоновского анализа ......Page 343
Дополнение 11.5. Тензор кривизны Рпмана ......Page 345
§ 11.4. Параллельный перенос по замкнутому контуру ......Page 347
Дополнение 11.6. Отклонение геодезических и параллельный перенос по замкнутому контуру: два аспекта одного и того же построения ......Page 350
Дополнение 11.7. Закон параллельного переноса по замкнутому контуру ......Page 351
§ 11.5. Нулевая риманова кривизна эквивалентна тому, что многообразие плоское ......Page 353
§ 11.6. Нормальные римановы координаты ......Page 355
§ 12.1. Теория тяготения Ньютона в кратком изложении ......Page 360
§ 12.2. Расслоение ньютоновского пространства-времени ......Page 362
§ 12.3. Галилеевы системы координат ......Page 364
Дополнение 12.1. Отклонение геодезических в ньютоновском пространстве-времени ......Page 368
Дополнение 12.2. Пространство-время Ньютона, пространство-время Минковского и пространство-время Эйнштейна: сравнение и противопоставление ......Page 369
Дополнение 12.3. Ньютоновское тяготение в формулировке Картана и эйнштейновское тяготение: сравнение и противопоставление ......Page 371
§ 12.4. Геометрическая, свободная от координат формулировка теории тяготения Ньютона ......Page 372
Дополнение 12.4. Теория тяготения Ньютона: геометрическая формулировка в сравнении с классической формулировкой ......Page 374
§ 12.5. Геометрический подход в физике: критика ......Page 376
§ 13.1. Новые черты геометрии, обусловленные локальной справедливостью специальной теории относительности ......Page 378
§ 13.2. Метрика ......Page 379
Дополнение 13.1. Как извлечь метрику из расстояний ......Page 385
§ 13.3. Соответствие между геодезическими геометрии искривленного пространства-времени и прямыми линиями локально лоренцевой геометрии ......Page 387
§ 13.4. Геодезические — мировые линии с экстремальным собственным временем ......Page 391
Дополнение 13.3. «Динамический» вариационный принцип для геодезических ......Page 400
§ 13.5. Свойства R, обусловленные наличием метрики ......Page 402
§ 13.6. Собственная система отсчета ускоренного наблюдателя ......Page 405
§ 14.1. Кривизна — инструмент, который дает возможность понять физику ......Page 413
Дополнение 14.1. Ретроспективный взгляд на кривизну ......Page 415
Дополнение 14.2. Непосредственное вычисление кривизны (иллюстрируемое на примере глобуса) ......Page 420
Дополнение 14.3. Аналитические преобразования с помощью вычислительных машин ......Page 422
§ 14.2. Нахождение тензора Эйнштейна ......Page 423
§ 14.3. Более эффективные методы расчетов ......Page 424
§ 14.4. Метод геодезического лагранжиана ......Page 425
Дополнение 14.4. Метод геодезического лагранжиана в некоторых случаях сокращает вычисление кривизны ......Page 427
§ 14.5. 2-формы кривизны ......Page 429
§ 14.6. Вычисление кривизны с помощью внешних дифференциальных форм ......Page 436
Дополнение 14.5. Вычисление кривизны с помощью внешних дифференциальных форм (метрика космологической модели Фридмана) ......Page 443
§ 15.1. Кратко о тождествах Бианки ......Page 447
Дополнение 15.1. Граница границы равна нулю ......Page 448
§ 15.2. Тождество Бианки dR = 0 — проявление того, что «граница границы = 0» ......Page 454
§ 15.3. Момент поворота: ключ к пониманию свернутого тождества Бианки ......Page 456
§ 15.4. Нахождение момента поворота ......Page 457
§ 15.5. Сохранение момента поворота с точки зрения принципа «граница границы равна нулю» ......Page 460
§ 15.6. Сохранение момента поворота, выраженное в дифференциальной форме ......Page 461
Дополнение 15.2. Источник гравитации и момент поворота — две основные величины; их наиболее удобные математические представления ......Page 462
§ 15.7. От сохранения момента поворота к эйнштейновской геометродинамике: предварительный экскурс ......Page 463
Дополнение 15.3. Другие тождества, которым удовлетворяет кривизна ......Page 466
Литература ......Page 468
Предметный указатель ......Page 476