Основы высшей математики: Учеб. пособие для втузов

Предисловие ......Page 6
§ 1. Множества и основные обозначения ......Page 8
§ 2. Вещественные числа и их основные свойства ......Page 10
§ 3. Наиболее употребительные числовые множества ......Page 15
§ 4. Грани числовых множеств ......Page 16
§ 5. Абсолютная величина числа ......Page 20
§ 6. Метод математической индукции ......Page 23
1. Факториал ......Page 25
2. Формула бинома Ньютона ......Page 26
§ 8. Контрольные задачи ......Page 29
1. Направленные отрезки и их величины. Основное тождество ......Page 30
2. Координаты на прямой. Числовая прямая ......Page 32
3. Прямоугольная (или декартова) система координат на плоскости ......Page 38
4. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости ......Page 39
5. Полярные координаты ......Page 43
1. Определение уравнения линии ......Page 45
2. Примеры на нахождение множеств точек ......Page 48
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом ......Page 53
3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки ......Page 55
4. Общее уравнение прямой ......Page 56
5. Неполное уравнение первой степени. Уравнение прямой «в отрезках» ......Page 57
7. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых ......Page 59
8. Расстояние от точки до прямой ......Page 60
9. Взаимное расположение двух прямых на плоскости ......Page 62
10. Примеры решения геометрических задач методом координат ......Page 63
1. Эллипс ......Page 77
2. Гипербола ......Page 82
3. Директрисы эллипса и гиперболы ......Page 89
4. Парабола ......Page 92
§ 5. Основные формулы и факты аналитической геометрии на плоскости ......Page 99
§ 6. Контрольные задачи ......Page 101
1. Числовые последовательности и арифметические действия над ними. Прогрессии ......Page 106
2. Ограниченные и неограниченные последовательности ......Page 115
3. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности ......Page 116
§ 2. Сходящиеся последовательности ......Page 121
1. Понятие сходящейся последовательности ......Page 122
2. Основные свойства сходящихся последовательностей ......Page 128
3. Предельный переход в неравенствах ......Page 139
1. Определение и признак сходимости монотонных-последовательностей ......Page 142
2. Число е ......Page 147
§ 4. Теорема о вложенных отрезках ......Page 150
§ 5. Контрольные задачи ......Page 152
1. Определение функции и основные понятия ......Page 154
2. Способы задания функций ......Page 157
3. Понятия сложной и обратной функций ......Page 160
4. Классификация функций ......Page 161
5. Построение графиков функций ......Page 163
1. Предел функции при х^х0 ......Page 180
2. Предел функции при х->хо_ и при jc-*jc0 + ......Page 186
3. Предел функции при jc -* оо, при jc-» — оо и при jc->-f-oo ......Page 189
§ 3. Теоремы о пределах функций ......Page 192
1. lim =1 (первый замечательный предел) ......Page 195
2. lim I 1 Ч— 1 =е (второй замечательный предел ......Page 197
1. Бесконечно малые функции ......Page 199
2. Бесконечно большие функции ......Page 201
§ 6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций ......Page 204
§ 7. Вычисление пределов функции ......Page 207
1. Определение непрерывности функции ......Page 210
2. Арифметические действия над непрерывными функциями ......Page 213
1. Непрерывность рациональных функций ......Page 214
2. Непрерывность тригонометрических функций ......Page 215
3. Непрерывность функции f(x) = |x| ......Page 216
4. Продолжение вычисления пределов функций ......Page 217
§ 10. Определение и классификация точек разрыва функции ......Page 223
§ 11. Теорема о непрерывности сложной функции ......Page 224
1. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции ......Page 225
2. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение ......Page 226
3. Теорема об ограниченности непрерывной функции на отрезке ......Page 228
4. Теорема о достижении функцией, непрерывной на отрезке, своих точных граней ......Page 230
5. Понятие равномерной непрерывности функции ......Page 232
6. Теорема о равномерной непрерывности функции ......Page 235
§ 13. Теорема о непрерывности обратной функции ......Page 239
1. Определение производной ......Page 243
2. Геометрический смысл производной ......Page 245
3. Физический смысл производной ......Page 247
4. Правая и левая производные ......Page 249
1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке ......Page 250
2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности ......Page 252
1. Определение и геометрический смысл дифференциала ......Page 253
2. Приближенные вычисления с помощью дифференциала ......Page 255
§ 4. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного ......Page 256
2. Производная степенной функции ......Page 258
3. Производные тригонометрических функций ......Page 259
4. Производная логарифмической функции ......Page 261
§ 6. Теорема о производной обратной функции ......Page 263
1. Производная показательной функции ......Page 264
2. Производные обратных тригонометрических функций ......Page 265
1. Правило дифференцирования сложной функции ......Page 267
2. Дифференциал сложной функции ......Page 270
1. Понятие логарифмической производной функции ......Page 271
2. Производная степенной функции с любым вещественным показателем ......Page 273
3. Таблица производных простейших элементарных функций ......Page 275
1. Понятие производной n-го порядка ......Page 277
2. n-е производные некоторых функций ......Page 278
3. Формула Лейбница для л-й производной произведения двух функций ......Page 280
4. Дифференциалы высших порядков ......Page 284
1. Параметрическое задание функции ......Page 286
2. Дифференцирование функции, заданной параметрически ......Page 288
§ 12. Основные теоремы дифференциального исчисления ......Page 290
§ 13. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя ......Page 296
1. Раскрытие неопределенности вида ......Page 297
2. Раскрытие неопределенности вида ......Page 300
3. Другие виды 00 неопределенностей и их раскрытие ......Page 301
1. Формула Тейлора ......Page 304
2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена ......Page 306
4. Разложение некоторых элементарных функций но формуле Маклорена ......Page 307
5. Использование формулы Маклорена для вычисления пределов ......Page 309
6. Вычисление числа е ......Page 310
1. Признак монотонности функции ......Page 311
2. Отыскание точек локального экстремума функции ......Page 312
3. Задачи на максимум и минимум ......Page 315
4. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции ......Page 318
5. Асимптоты графика функции ......Page 322
6. Схема исследования графика функции ......Page 326
§ 16. Контрольные задачи ......Page 337
1. Понятие первообразной функции ......Page 339
2. Неопределенный интеграл ......Page 341
§ 2. Основные свойства неопределенного интеграла ......Page 343
§ 3. Таблица основных интегралов ......Page 344
1. Непосредственное интегрирование ......Page 346
2. Метод подстановки ......Page 350
3. Метод интегрирования по частям ......Page 359
§ 5. Интегрирование рациональных функций ......Page 367
1. Определение определенного интеграла ......Page 375
2. Основные свойства определенного интеграла ......Page 379
3. Оценки интегралов. Формула среднего значения ......Page 381
4. Условия существования определенного интеграла ......Page 384
§ 7. Определенный интеграл с переменным верхним пределом ......Page 387
§ 8. Формула Ньютона — Лейбница ......Page 389
§ 9. Замена переменной в определенном интеграле ......Page 393
§ 10. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле ......Page 396
1. Площадь криволинейной трапеции ......Page 397
2. Площадь криволинейного сектора ......Page 405
3. Длина дуги кривой ......Page 407
4. Площадь поверхности вращения ......Page 412
5. Объем тела ......Page 416
6. Центр тяжести кривой и криволинейной трапеции ......Page 420
7. Работа переменной силы ......Page 428
§ 12. Контрольные задачи ......Page 430
Ответы, решения, указания к контрольным задачам ......Page 433
Предметный указатель ......Page 471