Линейная алгебра и многомерная геометрия

Введение......Page 7
1. Аксиомы линейного пространства......Page 10
2. Примеры линейных пространств......Page 13
3. Простейшие следствия из аксиом линейного пространства......Page 20
4. Линейная комбинация. Линейная зависимость......Page 22
5. Лемма о базисном миноре......Page 25
6. Основная лемма о двух системах векторов......Page 28
7. Ранг матрицы......Page 30
8. Конечномерные и бесконечномерные пространства. Базис......Page 32
9. Линейные операции в координатах......Page 35
10. Изоморфизм линейных пространств......Page 37
11. Соответствие между комплексными и действительными пространствами......Page 40
12. Линейное подпространство......Page 42
13. Линейная оболочка......Page 45
14. Сумма подпространств. Прямая сумма......Page 49
1. Сокращенная запись суммирования......Page 55
2. Линейное преобразование переменных. Произведение линейных преобразований переменных и произведение матриц......Page 58
3. Квадратные матрицы и невырожденные преобразования......Page 62
4. Ранг произведения матриц......Page 68
5. Преобразование координат при изменении базиса......Page 70
1. Аффинное пространство......Page 74
2. Аффинные координаты......Page 76
3. Плоскости......Page 78
4. Системы уравнений Первой степени......Page 82
5. Однородные системы......Page 87
6. Неоднородные системы......Page 94
7. Взаимное расположение плоскостей......Page 98
8. Системы линейных неравенств и выпуклые многогранники......Page 106
1. Линейные формы......Page 117
2. Билинейные формы......Page 122
3. Матрица билинейной формы......Page 126
4. Квадратичные формы......Page 129
5. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа......Page 132
6. Нормальный вид квадратичной формы......Page 135
7. Закон инерции квадратичных форм......Page 136
8. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби......Page 138
9. Положительно определенные и отрицательно определенные квадратичные формы......Page 141
10. Определитель Грама. Неравенство Коши—Буняковского......Page 144
11. Нулевое подпространство билинейной и квадратичной формы......Page 147
12. Нулевой конус квадратичной формы......Page 150
13. Простейшие примеры нулевых конусов квадратичных форм......Page 151
1. Взаимные базисы. Контравариантные и ковариантные векторы......Page 155
2. Тензорное произведение линейных пространств......Page 164
3. Базис в тензорном произведении. Координаты тензора......Page 168
4. Тензоры билинейных форм......Page 174
5. Многовалентные тензоры. Произведение тензоров......Page 178
6. Координаты многовалентных тензоров......Page 182
7. Полилинейные формы и их тензоры......Page 184
8. Симметрирование и альтернирование. Косые формы......Page 186
9. Второй вариант изложения понятия тензорного произведения двух линейных пространств......Page 190
1. Группы и подгруппы. Распределение базисов на классы по данной подгруппе матриц. Ориентация......Page 197
2. Группы преобразований. Изоморфизм и гомоморфизм групп......Page 204
3. Инварианты. Осевые инварианты. Псевдоинварианты......Page 210
4. Тензорные величины......Page 217
5. Ориентированный объем параллелепипеда. Дискриминантный тензор......Page 222
1. Общие сведения......Page 228
2. Линейное преобразование как тензор......Page 231
3. Геометрический смысл ранга и определителя линейного преобразования. Группа невырожденных линейных преобразований......Page 235
4. Инвариантные подпространства......Page 238
5. Примеры линейных преобразований......Page 240
6. Собственные векторы и характеристический многочлен преобразования......Page 247
7. Основные теоремы о характеристическом многочлене и собственных векторах......Page 250
8. Нильпотентные преобразования. Общая структура вырожденных преобразований......Page 253
9. Канонический базис нильпотентного преобразования......Page 257
10. Приведение матрицы преобразования к жордановой нормальной форме......Page 268
11. Преобразования простой структуры......Page 274
12. Эквивалентность матриц......Page 276
13. Формула Гамильтона—Кэли......Page 279
1. Скалярное произведение......Page 281
2. Норма вектора......Page 283
3. Ортонормированные базисы......Page 285
4. Ортогональная проекция. Ортогонализация......Page 287
5. Метрический изоморфизм......Page 293
6. k-ортогональные матрицы и k-ортогональные группы......Page 295
7. Группа евклидовых поворотов......Page 299
8. Группа гиперболических поворотов......Page 308
9. Тензорная алгебра в пространствах с квадратичной метрикой......Page 318
10. Уравнение гиперплоскости в пространстве с квадратичной метрикой......Page 326
11. Евклидово пространство. Ортогональные матрицы. Ортогональная группа......Page 329
12. Нормальное уравнение гиперплоскости в евклидовом пространстве......Page 335
13. Объем параллелепипеда в евклидовом пространстве. Дискриминантный тензор. Векторное произведение......Page 337
1. Сопряженное преобразование......Page 342
2. Лемма о характеристических корнях симметричной матрицы......Page 345
3. Самосопряженные преобразования......Page 346
4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду в ортонормированием базисе......Page 353
5. Совместное приведение к каноническому виду двух квадратичных форм......Page 355
6. Кососопряженные преобразования......Page 359
7. Изометричные преобразования......Page 362
8. Канонический вид изометричного преобразования......Page 367
9. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой......Page 373
10. Кривизна и кручение пространственной кривой......Page 375
11. Разложение произвольного линейного преобразования в произведение самосопряженного и изометричного преобразований......Page 378
12. Приложения к теории упругости. Тензор деформаций и тензор напряжений......Page 381
1. Альтернация......Page 385
2. Поливекторы. Внешнее произведение......Page 391
3. Бивекторы......Page 397
4. Простые поливекторы......Page 408
5. Векторное произведение......Page 412
6. Внешние формы и действия над ними......Page 419
7. Внешние формы и ковариантные поливекторы......Page 423
8. Внешние формы в трехмерном евклидовом пространстве......Page 431
1. Общее уравнение гиперповерхности второго порядка......Page 436
2. Изменение левой части уравнения при переносе начала координат......Page 437
3. Изменение левой части уравнения при изменении ортонормированного базиса......Page 440
4. Центр гиперповерхности второго порядка......Page 443
5. Приведение к каноническому виду общего уравнения гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве......Page 445
6. Классификация гиперповерхностей второго порядка в евклидовом пространстве......Page 449
7. Аффинные преобразования......Page 457
8. Аффинная классификация гиперповерхностей второго порядка......Page 462
9. Пересечение прямой с гиперповерхностью второго порядка. Асимптотические направления......Page 463
10. Сопряженные направления......Page 466
1. Однородные координаты в аффинном пространстве. Бесконечно удаленные точки......Page 470
2. Понятие проективного пространства......Page 474
3. Связка плоскостей в аффинном пространстве......Page 485
4. Центральное проектирование......Page 494
5. Проективная эквивалентность фигур......Page 498
6. Проективная классификация гиперповерхностей второго порядка......Page 505
7. Пересечение гиперповерхности второго порядка и прямой. Поляры......Page 512
Приложение. Доказательство теоремы о классификации линейных величин......Page 522
Литература......Page 526