Valós analízis I.

Előszó......Page 9
Rövid történeti bevezetés......Page 12
Logikai alapfogalmak......Page 23
Bizonyítási módszerek......Page 27
Halmazok, függvények, sorozatok......Page 34
2. Valós számok......Page 41
Tizedestörtek. A számegyenes......Page 51
Korlátos számhalmazok......Page 57
Hatványozás......Page 63
Első függelék: A testaxiómák következményei......Page 66
Második függelék: A rendezési axiómák következményei......Page 67
3. Végtelen számsorozatok (I.)......Page 69
Konvergens és divergens számsorozatok......Page 71
Végtelenhez tartó sorozatok......Page 75
A határérték egyértelműsége......Page 78
Néhány konkrét sorozat határértéke......Page 80
4. Végtelen számsorozatok (II.)......Page 83
A határérték alaptulajdonságai......Page 84
Határérték és egyenlőtlenségek......Page 86
Határérték és műveletek......Page 88
Alkalmazások......Page 94
Monoton sorozatok......Page 99
A Bolzano–Weierstrass-tétel és a Cauchy-kritérium......Page 105
6. Végtelen sorok (I.)......Page 111
7. Megszámlálható halmazok......Page 121
Függvények és grafikonok......Page 127
Valós függvények globális tulajdonságai......Page 133
Függelék: A koordinátageometria alapfogalmai......Page 140
9. Függvények folytonossága és határértéke......Page 143
Függvény határértéke......Page 148
Az átviteli elv......Page 159
Határérték és műveletek......Page 165
Korlátos zárt intervallumban folytonos függvények......Page 174
Egyenletes folytonosság......Page 181
Monotonitás és folytonosság......Page 184
Konvexitás és folytonosság......Page 190
A függvénygrafikon ívhossza......Page 195
Függelék: A 9.80. Tétel bizonyítása......Page 200
Polinomfüggvények és racionális törtfüggvények......Page 201
Exponenciális függvények és hatványfüggvények......Page 205
Logaritmusfüggvények......Page 216
Trigonometrikus függvények......Page 222
A trigonometrikus függvények inverzei......Page 231
A hiperbolikus függvények és inverzeik......Page 233
Első függelék: Az addíciós képletek bizonyítása......Page 237
Második függelék: Néhány szó a komplex számokról......Page 238
A differenciálhatóság fogalma......Page 240
Differenciálási szabályok és az elemi függvények deriváltjai......Page 250
Magasabb rendű differenciálhányadosok......Page 264
A lokális tulajdonságok és a derivált kapcsolata......Page 270
Középértéktételek......Page 279
A differenciálható függvények vizsgálata......Page 284
A L'Hospital-szabály......Page 298
Polinomapproximáció......Page 302
A határozatlan integrál......Page 316
Differenciálegyenletek......Page 323
A láncgörbe......Page 332
A deriváltfüggvények tulajdonságai......Page 334
Első függelék: A 12.20. Tétel bizonyítása......Page 338
Második függelék: Még egyszer a trigonometrikus függvények értelmezé-séről......Page 340
A határozott integrál fogalmára vezető problémák......Page 343
A határozott integrál (Riemann-integrál) értelmezése......Page 348
Az integrálhatóság szükséges és elégséges feltételei......Page 355
A folytonos és a monoton függvények integrálhatósága......Page 368
Integrálhatóság és műveletek......Page 370
Függvények integrálhatóságára és az integrál értékére vonatkozó további tételek......Page 373
Az integrál értékére vonatkozó egyenlőtlenségek......Page 379
Az integrálás és a differenciálás kapcsolata......Page 387
A parciális integrálás szabálya......Page 395
A helyettesítéses integrálás......Page 402
Az elemi függvények integrálása......Page 406
Elemi függvények nem elemi integrállal......Page 415
Függelék: A határozott integrálokra vonatkozó integráltranszformációs formula (14.22. Tétel) bizonyítása......Page 421
15. Az integrálszámítás alkalmazásai......Page 424
A terület és térfogat általános fogalma......Page 426
Területszámítás......Page 429
Térfogatszámítás......Page 435
Ívhossz-számítás......Page 438
Polárkoordináták......Page 450
A forgási felületek felszíne......Page 454
16. Korlátos változású függvények......Page 459
17. A Stieltjes-integrál......Page 468
Az improprius integrál értelmezése és kiszámítása......Page 480
Az improprius integrálok konvergenciája......Page 493
Függelék: A 18.13. Tétel bizonyítása......Page 502
Megoldási ötletek......Page 505
Megoldások......Page 516
20.1. Bevezetés a Függelékhez......Page 538
20.3.1 . Sorozatok szemléltetése, határértéke......Page 543
20.3.2 . Egy rekurzió határértéke......Page 544
20.3.3 . Függvények ábrázolása......Page 545
20.4. Mit tud a Basic?......Page 546
20.4.1 . Sorösszegzéssel kapcsolatos programok......Page 549
20.4.2 . Rekurziók: A Newton-algoritmus......Page 550
20.4.3 . Rekurzió közelítésére......Page 551
20.4.4 . Stirling-formula......Page 553
20.4.5 . Függvények ábrázolása II.......Page 554
20.4.6 . Görbeseregek ábrázolása......Page 556
20.5. Rövid kirándulás a Pascal programnyelvbe.......Page 558
20.6. Maple: Első lépések......Page 559
20.6.1 . Szimbolikus számolások, algebrai műveletek......Page 561
20.6.3 . Függvényábrázolás a Maple segítségével I......Page 562
20.6.4 . Konvergenciasebesség II.......Page 565
20.6.5 . Rajzolás, függvényábrázolás Maple-lel II......Page 566
20.6.8 . Racionális törtfüggvények......Page 569
20.6.9 . A Maple, függvényábrázolás és az egyenlőtlenségek......Page 571
20.6.10 . Polinomközelítés (lokális)......Page 572
20.7.1 . Határozatlan integrál, primitív függvény......Page 574
20.7.3 . Implicitplot......Page 575
20.7.4 . Plot3d......Page 576
20.8.1 . Lehet-e Maple-ben programokat írni?......Page 577
20.8.2 . Globális polinomközelítés......Page 578
20.8.3 . A Lagrange interpoláció......Page 579
20.8.4 . Differenciálegyenletek megoldása......Page 580
Tárgymutató......Page 583
Jelölések......Page 589
Irodalomjegyzék......Page 592