В настоящем пособии излагаются основные понятия, методы и алгоритмы классической высшей алгебры как науки о решении уравнений и систем уравнений.
Книга предназначена для студентов университетов, обучающихся по специальности “Прикладная математика и информатика”.
Author(s): Утешев А.Ю., Калинина Е.А.
Publisher: СОЛО
Year: 2007
Language: Russian
Pages: 246
City: Санкт-Петербург
Tags: Математика;Общая алгебра;
Обозначения и условные знаки 4
Основная задача алгебры 10
Вспомогательные результаты 11
§1. Метод математической индукции 11
§2. Элементы комбинаторики 12
Перестановки 12
Сочетания 13
Глава 1. Начала теории целых чисел 15
§1. Бином Ньютона 15
Треугольник Паскаля 16
§2. Наибольший общий делитель 17
Алгоритм Евклида 18
§3. Делимость чисел 25
Взаимно простые числа 25
Простые числа 27
Каноническое разложение числа 30
Признаки делимости 33
Факторизация 36
§4. Функция Эйлера 39
§5. Сравнения 42
Основные понятия 43
Алгоритм «квадрирования—умножения» для вычисления A^B (mod М) 48
Классы вычетов 49
Теоремы Ферма и Эйлера 51
§6. Решение линейных сравнений с одним неизвестным 59
Алгоритм нахождения числа, обратного A относительно умножения по модулю M 64
Глава 2. Комплексные числа 74
§1. Определение 75
§2. Тригонометрическая форма комплексного числа 81
Тригонометрическая форма. Формула Муавра 82
Неравенства для модуля 88
Выведение тригонометрических формул 89
§3. Извлечение корня из комплексного числа 94
Квадратный корень 94
Общий случай 96
Корни из единицы 101
Глава 3. Полиномы и рациональные функции 105
§1. Определения 105
§2. Основная теорема высшей алгебры. Формулы Виета 112
§3. Решение уравнений в радикалах 125
Решение уравнения третьей степени 126
Решение уравнения четвертой 129
Анализ формулы Кардано для полиномов с вещественными коэффициентами 136
Уравнения высших степеней 139
§4. Делимость полиномов 144
Наибольший общий делитель 147
Взаимно простые полиномы 151
§5. Формула Тейлора 158
§6. Выделение кратных корней 165
Установление кратности корня 165
Решение уравнений, имеющих кратные корни 169
§7. Корни полинома с вещественными коэффициентами 173
Приводимость 173
Границы расположения корней 176
Геометрия корней 179
Правило знаков Декарта 184
§8. Приводимость полийомрв в Q 191
§9. Численные методы нахождения корней полинома 197
Метод Руффини—Хорнера 198
Метод Лагранжа (непрерывных дробей) 199
Метод Ньютона (касательных) 203
Геометрический смысл метода Ньютона 206
Комментарии к методу Ньютона, фракталы 208
§10. Рациональные дроби 214
Определения 214
Разложение дроби на простейшие над A 216
Разложение дроби на простейшие над C 221
Разложение дроби на простейшие над R 224
§11. Полиномы от нескольких переменных 225
Основные определения 225
Способы представления полинома 233
Алгебраические уравнения 238
Подсказки и ответы к упражнениям 242
Литература 244
Предметный указатель 246
