Лекции по вычислительной математике : учеб. пособие

Обложка ......Page 1
Титульная страница ......Page 2
Аннотация и выходные данные ......Page 3
О проекте ......Page 4
Об авторах ......Page 5
Оглавление ......Page 6
Предисловие ......Page 14
Лекция 1. Предмет вычислительной математики. Обусловленность задачи, устойчивость алгоритма, погрешности вычислений. Задача численного дифференцирования ......Page 16
1.1. Обусловленность задачи ......Page 18
1.2. Влияние выбора вычислительного алгоритма на результаты вычислений ......Page 20
1.3. Экономичность вычислительного метода ......Page 22
1.4. Погрешность метода ......Page 23
1.5. Элементы теории погрешностей ......Page 24
1.6. Задача численного дифференцирования ......Page 25
1.7. Задачи ......Page 29
1.8. Задачи для самостоятельного решения ......Page 31
Литература ......Page 32
2.1. Постановка задачи ......Page 33
2.2. Согласованные нормы векторов и матриц ......Page 35
2.3. Обусловленность СЛАУ. Число обусловленности матрицы ......Page 37
2.4. Прямые методы решения СЛАУ ......Page 40
2.4.1. Метод исключения Гаусса ......Page 41
2.4.2. Модификация метода Гаусса для случая линейных систем с трехдиагональными матрицами --- метод прогонки ......Page 45
2.4.3. LU-разложение ......Page 46
2.4.4. Метод Холецкого (метод квадратного корня) ......Page 47
2.5.1. Метод простой итерации ......Page 49
2.5.2. Влияние ошибок округления на результат численного решения ......Page 51
2.5.3. Методы Якоби, Зейделя, верхней релаксации ......Page 52
2.6.1. Связь между вариационной задачей и задачей решения СЛАУ ......Page 55
2.6.3. Метод минимальных невязок ......Page 57
2.6.4. Метод сопряженных градиентов ......Page 58
2.7. О спектральных задачах ......Page 59
Литература ......Page 71
3.1. Пример использования метода наименьших квадратов (МНК) ......Page 73
3.2. Понятие о методах решения плохо обусловленных СЛАУ ......Page 80
3.3. Задачи ......Page 81
3.4. Задачи для самостоятельного решения ......Page 83
Литература ......Page 84
4.1. Поиск безусловного минимума функции ......Page 86
4.2.1. Метод покоординатного спуска ......Page 92
4.2.3. Метод наискорейшего спуска ......Page 97
4.3. Задачи математического программирования ......Page 99
4.4. Задачи ......Page 102
4.5. Задачи для самостоятельного решения ......Page 103
Литература ......Page 104
5.1. Сжимающие отображения. Итерации. Метод простых итераций(МПИ) ......Page 105
5.2. Метод Ньютона ......Page 109
5.4. Метод Чебышёва построения итерационных процессов высшего порядка ......Page 113
5.5. Разностные отображения в нелинейной динамике ......Page 114
5.6. Задачи ......Page 125
5.7. Задачи для самостоятельного решения ......Page 132
Литература ......Page 133
6.1. Постановка задачи интерполяции ......Page 134
6.2. Кусочно-линейная интерполяция ......Page 135
6.3. Интерполяция обобщенными полиномами ......Page 136
6.4. Полиномиальная (алгебраическая) интерполяция ......Page 137
6.5. Теорема об остаточном члене интерполяции ......Page 138
6.6.1. Разделенные и конечные разности ......Page 140
6.7. Многочлены Чебышёва и минимизация остаточного члена интерполяции ......Page 142
6.8. Обусловленность задачи интерполяции. Постоянная Лебега ......Page 143
6.9. Интерполяция с кратными узлами ......Page 144
6.10. Кусочно-многочленная глобальная интерполяция(сплайны) ......Page 146
6.11. В-сплайны ......Page 152
6.12. Интерполяция функций двух переменных ......Page 155
6.13. Задачи ......Page 156
6.14. Задачи для самостоятельного решения ......Page 160
Литература ......Page 161
7.1. Квадратурные формулы интерполяционного типа (формулы Ньютона—Котеса) ......Page 163
7.2. Оценка погрешности квадратурных формул ......Page 167
7.3. Кратные интегралы ......Page 169
7.4. Квадратурные формулы Гаусса ......Page 170
7.5. Вычисление интегралов от функций с особенностями ......Page 174
7.6. Идея метода Монте-Карло ......Page 175
7.7. Задачи ......Page 176
7.8. Задачи для самостоятельного решения ......Page 179
Литература ......Page 181
8.1. Базовые понятия ......Page 182
8.2. Методы Рунге-Кутты ......Page 187
8.3. Методы Адамса ......Page 198
8.4.1. Автоматический выбор шага интегрирования ......Page 201
8.5. Устойчивость методов Рунге-Кутты ......Page 203
8.6. Задачи ......Page 208
8.7. Задачи для самостоятельного решения ......Page 213
Литература ......Page 217
9.1. Явление жесткости. Предварительные сведения ......Page 219
9.2. Сингулярно-возмущенные задачи ......Page 225
9.3. Решение линейных ЖС ОДУ и вычисление матричной экспоненты ......Page 230
9.4. Численные методы решения ЖС ОДУ. Семейства неявных методов Рунге-Купы и Розенброка ......Page 231
9.5. Формулы дифференцирования назад и методы Гира. Представление Нордсика ......Page 237
9.6. Задачи для самостоятельного решения ......Page 240
Литература ......Page 246
10.1. Краевая задача для линейной системы ОДУ первого порядка ......Page 248
10.2. Метод дифференциальной прогонки. Понятие о жестких краевых задачах ......Page 251
10.3. Краевая разностная задача Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка ......Page 254
10.4. Пятиточечная прогонка ......Page 258
10.5. Матричная прогонка ......Page 259
10.6.1. Метод стрельбы ......Page 260
10.6.3. Аппроксимация граничных условий ......Page 261
10.7. Краевые задачи на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений ......Page 264
10.8. Решение краевой задачи методом Фурье ......Page 265
10.9. Задачи ......Page 267
10.10 Задачи для самостоятельного решения ......Page 271
Литература ......Page 275
11.1. Постановка некоторых задач для уравнений математической физики ......Page 276
11.2.1. Основные определения ......Page 280
11.2.2. Необходимое условие сходимости разностной схемы Куранта, Фридрихса, Леви (условие КФЛ) ......Page 286
11.3. Элементы теории устойчивости разностных схем ......Page 288
11.4. Задачи ......Page 303
11.5. Задачи для самостоятельного решения ......Page 306
Литература ......Page 308
12.1. Постановки задач для уравнений параболического типа ......Page 309
12.2.2. Схема с нелинейностью на верхнем слое ......Page 313
12.3. Разностные схемы для численного решения многомерного уравнения теплопроводности ......Page 316
12.4. Исследование сходимости разностных схем для многомерного уравнения теплопроводности ......Page 319
12.5. Задачи ......Page 321
12.6. Задачи для самостоятельного решения ......Page 326
Литература ......Page 331
13.1. Простейшее линейное уравнение переноса ......Page 333
13.2. Квазилинейные уравнения гиперболического типа. Характеристики квазилинейных уравнений ......Page 335
13.3. Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа на примере линейного уравнения переноса ......Page 337
13.4. Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа для квазилинейного уравнения переноса ......Page 343
13.5. Методы регуляризации численных решений с большими градиентами ......Page 348
13.6. Гибридные схемы (метод Р. П. Федоренко) ......Page 351
13.7. Схемы с уменьшением полной вариации (Total Variation Diminishing, схемы Хартена) ......Page 352
13.8. Идеи построения сеточно-характеристических методов и анализ разностных схем в пространстве неопределенных коэффициентов ......Page 355
13.9. Задачи ......Page 363
13.10 Задачи для самостоятельного решения ......Page 375
Литература ......Page 380
14.1. Формы записи одномерных уравнений газовой динамики ......Page 382
14.2. Методы Лакса-Вендроффа и Мак-Кормака ......Page 386
14.3. Сеточно-характеристический метод для численного решения уравнений газовой динамики (М.-К. М. Магомедова-А. С. Холодова) ......Page 387
14.4. Разностная схема И.М. Гельфанда для численного решения одномерной системы уравнений газовой динамики ......Page 389
14.5. Метод частиц в ячейках Харлоу (PIC method:Purticle-In-Cell) ......Page 391
14.6. Задачи для самостоятельного решения ......Page 396
Литература ......Page 398
15.1. Потоковая форма представления разностных схем ......Page 400
15.2. Гибридные схемы ......Page 401
15.3. Гибридные схемы и пространство неопределенных коэффициентов ......Page 402
15.4. Метод коррекции потоков Бориса-Бука ......Page 405
15.5. TVD-схемы ......Page 406
15.6. ENO-схемы ......Page 409
15.7. Разностные схемы для квазилинейного уравнения переноса ......Page 411
15.8. Однопараметрическое семейство неявных схем ......Page 413
15.9. TVD-схемы для квазилинейного уравнения с антидиффузией ......Page 414
15.1O TVD-схемы для линейных систем уравнений гиперболического типа ......Page 416
15.11 Шетод С. К. Годунова ......Page 418
Литература ......Page 421
16.1. Постановка задачи. Простейшая разностная схема <<крест>>. Устойчивость схемы <<крест>> ......Page 425
16.2. Методы решения сеточных уравнений ......Page 429
16.2.1. Метод простых итераций ......Page 430
16.2.2. Метод простых итераций с оптимальным параметром ......Page 431
16.2.3. Чебышёвское ускорение метода простых итераций ......Page 435
16.2.4. Метод переменных направлений ......Page 438
16.2.5. Методы Якоби, Зейделя, верхней релаксации ......Page 441
16.3. Попеременно-треугольный итерационный метод ......Page 443
16.4. Сводка результатов по итерационным методам решения сеточных уравнений ......Page 446
16.5. Основные идеи многосеточного метода Р. П. Федоренко ......Page 447
16.6. Построение разностных схем для эллиптических уравнений на нерегулярных сетках. Монотонные схемы (подход А.С. Холодова) ......Page 449
16.7. Задачи ......Page 452
16.8. Задачи для самостоятельного решения ......Page 453
Литература ......Page 459
Лекция 17. Понятие о методах конечных элементов ......Page 460
17.1. Вариационный подход Ритца ......Page 461
17.2. Общая схема метода Ритца ......Page 463
17.3. Формулировка проекционного метода Галеркина ......Page 466
17.4. Пример построения схемы конечных элементов ......Page 468
17.5. Построение базисных функций ......Page 470
17.6. МКЭ для нестационарных уравнений ......Page 475
17.7. Решение нелинейных уравнений с помощью МКЭ ......Page 478
Литература ......Page 479
18.1. Понятие о методах расщепления ......Page 480
18.2.1. Локально-одномерные схемы ......Page 481
18.2.3. Общая формулировка методов расщепления ......Page 483
18.2.4. Схемы расщепления для уравнения теплопроводности ......Page 484
18.3. Методы двуциклического покомпонентного расщепления ......Page 485
18.4.1. Факторизованная схема расщепления ......Page 490
18.4.2. Неявная схема расщепления с приближенной факторизацией ......Page 491
18.4.3. Метод <<предиктор-корректор>> ......Page 492
Литература ......Page 494
19.1. Пример использования принципа наименьшего действия (Гамильтона) ......Page 495
19.2. Вариационные схемы для решения задач газовой динамики ......Page 499
19.3. Вариационная схема для уравнения теплопроводности на криволинейной сетке ......Page 503
19.4. Задачи для самостоятельного решения ......Page 508
Литература ......Page 510
1. Введение ......Page 511
2. Расчет электрического поля установки РС-20 с использованием кластера из персональных компьютеров ......Page 513
3. Математическая модель и выбор численного метода ......Page 514
4. Модели организации параллельных вычислений для комплексов с распределенной памятью ......Page 515
Потоковая модель ......Page 516
Статическая модель ......Page 517
5. Выбор модели организации параллельных вычислений ......Page 518
5.1. Потоковая модель ......Page 519
5.3. Статическая модель ......Page 520
6. Заключение ......Page 522
Литература ......Page 523