Eine verständliche, konzise und immer flüssige Einführung in die Algebra, die insbesondere wegen ihrer sorgfältigen didaktischen Aufbereitung bei vielen Studierenden beliebt ist.
Zwei Schwerpunkte werden miteinander kombiniert: Zum einen geht es um die Theorie fundamentaler algebraischer Objekte wie z. B. Gruppen, Ringe und Körper, also von Begriffsbildungen, die weit über die Algebra hinaus in der Mathematik von Bedeutung sind. Den zweiten Schwerpunkt bildet die Galois-Theorie mit ihren Anwendungen. Ausgangspunkt dieser Theorie ist das Problem der Auflösung algebraischer Gleichungen, ein Problem, das nach mannigfachen vergeblichen Versuchen zum Auffinden von Lösungsformeln für Gleichungen höheren Grades seine umfassende Klärung durch die brillanten Ideen von E. Galois fand.
Das Buch bietet neben zahlreichen Übungsaufgaben (mit Lösungshinweisen) sowie motivierenden Kapiteleinführungen auch Ausblicke auf neuere Entwicklungen. Auch selten im Lehrbuch behandelte Themen wie Resultanten, Diskriminanten, Kummer-Theorie und Witt-Vektoren werden angesprochen. Die berühmten Formeln aus dem 16. Jahrhundert zur Auflösung von Gleichungen dritten und vierten Grades werden ausführlich erläutert und in den Rahmen der Galois-Theorie eingeordnet.
In der vorliegenden Neuauflage wurde unter dem Aspekt Lernkontrolle und Prüfungsvorbereitung erstmals eine textbegleitende Anleitung zur eigenständigen Überprüfung des Lernerfolgs und zur Einstimmung auf Prüfungssituationen realisiert. Nicht zuletzt im Hinblick auf diese Neuerung wurde der gesamte Text optimiert und nochmals einer gründlichen Revision unterzogen.
Ein klares, modernes und inhaltsreiches Lehrbuch, das für das Studium der Algebra unentbehrlich ist
Author(s): Siegfried Bosch
Series: Spektrum Lehrbuch
Edition: 10
Publisher: Springer-Verlag GmbH Germany
Year: 2023
Language: German
Pages: 508
Tags: Algebra, Gruppentheorie, Ringe, Körpererweiterungen, Galois-Theorie
Vorwort
Inhalt
Einführung
1. Elementare Gruppentheorie
1.1 Gruppen
1.2 Nebenklassen, Normalteiler, Faktorgruppen
1.3 Zyklische Gruppen
2. Ringe und Polynome
2.1 Ringe, Polynomringe einer Variablen
2.2 Ideale
2.3 Ringhomomorphismen, Faktorringe
2.4 Primfaktorzerlegung
2.5 Polynomringe in mehreren Variablen
2.6 Nullstellen von Polynomen
2.7 Der Satz von Gauß
2.8 Irreduzibilitätskriterien
2.9 Elementarteilertheorie*
3. Algebraische Körpererweiterungen
3.1 Die Charakteristik eines Körpers
3.2 Endliche und algebraische Körpererweiterungen
3.3 Ganze Ringerweiterungen*
3.4 Algebraischer Abschluss eines Körpers
3.5 Zerfällungskörper
3.6 Separable Körpererweiterungen
3.7 Rein inseparable Körpererweiterungen
3.8 Endliche Körper
3.9 Anfänge der Algebraischen Geometrie*
4. Galois-Theorie
4.1 Galois-Erweiterungen
4.2 Proendliche Galois-Gruppen*
4.3 Die Galois-Gruppe einer Gleichung
4.4 Symmetrische Polynome, Diskriminante, Resultante*
4.5 Einheitswurzeln
4.6 Lineare Unabhängigkeit von Charakteren
4.7 Norm und Spur
4.8 Zyklische Erweiterungen
4.9 Multiplikative Kummer-Theorie*
4.10 Allgemeine Kummer-Theorie, Witt-Vektoren*
4.11 Galois-Descent*
5. Fortführung der Gruppentheorie
5.1 Gruppenaktionen
5.2 Sylow-Gruppen
5.3 Permutationsgruppen
5.4 Auflösbare Gruppen
6. Anwendungen der Galois-Theorie
6.1 Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen
6.2 Algebraische Gleichungen vom Grad 3 und 4*
6.3 Der Fundamentalsatz der Algebra
6.4 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
7. Transzendente Erweiterungen
7.1 Transzendenzbasen
7.2 Tensorprodukte*
7.3 Separable, primäre und reguläre Erweiterungen*
7.4 Kalkül der Differentiale*
Anhang
Literatur
Symbolverzeichnis
Namen- und Sachverzeichnis
