Calculus - Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra lineal

PRÓLOGO ÍNDICE ANALÍTICO I. INTRODUCCIÓN ····Parte 1. Introducción histórica ········I 1.1 Los dos conceptos básicos del Cálculo ········I 1.2 Introducción histórica ········I 1.3 El método de exhaución para el área de un segmento de parábola ········*I 1.4 Ejercicios ········I 1.5 Análisis crítico del método de Arquímedes ········I 1.6 La introducción al Cálculo que se utiliza en este libro ····Parte 2. Conceptos básicos de la teoría de conjuntos ········I 2.1 Introducción a la teoría de conjuntos ········I 2.2 Notaciones para designar conjuntos ········I 2.3 Subconjuntos ········I 2.4 Reuniones, intersecciones, complementos ········I 2.5 Ejercicios ····Parte 3. Un conjunto de axiomas para el sistema de números reales ········I 3.1 Introducción ········I 3.2 Axiomas de cuerpo ········*I 3.3 Ejercicios ········I 3.4 Axiomas de orden ········*I 3.5 Ejercicios ········I 3.6 Números enteros y racionales ········I 3.7 Interpretación geométrica de los números reales como puntos de una recta ········I 3.8 Cota superior de un conjunto, elemento máximo, extremo superior ········I 3.9 Axioma del extremo superior (axioma de completitud) ········I 3.10 La propiedad arquimediana del sistema de los números reales ········I 3.11 Propiedades fundamentales del extremo superior ········*I 3.12 Ejercicios ········*I 3.13 Existencia de raíces cuadradas de los números reales no negativos ········*I 3.14 Raíces de orden superior. Potencias racionales ········*I 3.15 Representación de los números reales por medio de decimales ····Parte 4. Inducción matemática, símbolos sumatorios y cuestiones relacionadas ········I 4.1 Ejemplo de demostración por inducción matemática ········I 4.2 El principio de la inducción matemática ········*I 4.3 El principio de buena ordenación ········I 4.4 Ejercicios ········*I 4.5 Demostración del principio de buena ordenación ········I 4.6 El símbolo sumatorio ········I 4.7 Ejercicios ········I 4.8 Valor absoluto y desigualdad triangular ········I 4.9 Ejercicios ········*I 4.10 Ejercicios varios referentes al método de inducción 1. LOS CONCEPTOS DEL CÁLCULO INTEGRAL ····1.1 Las ideas básicas de la Geometría cartesiana ····1.2 Funciones. Ideas generales y ejemplos ····*1.3 Funciones. Definición formal como conjunto de pares ordenados ····1.4 Más ejemplos de funciones reales ····1.5 Ejercicios ····1.6 El concepto de área como función de conjunto ····1.7 Ejercicios ····1.8 Intervalos y conjuntos de ordenadas ····1.9 Particiones y funciones escalonadas ····1.10 Suma y producto de funciones escalonadas ····1.11 Ejercicios ····1.12 Definición de integral para funciones escalonadas ····1.13 Propiedades de la integral de una función escalonada ····1.14 Otras notaciones para las integrales ····1.15 Ejercicios ····1.16 La integral de funciones más generales ····1.17 Integrales superior e inferior ····1.18 El área de un conjunto de ordenadas expresada como una integral ····1.19 Observaciones relativas a la teoría y técnica de la integración ····1.20 Funciones monótonas y monótonas a trozos. Definiciones y ejemplos ····1.21 Integrabilidad de funciones monótonas acotadas ····1.22 Cálculo de la integral de una función monótona acotada ····1.23 Cálculo de la integral ∫₀ᵇ xᵖ dx siendo p entero positivo ····1.24 Propiedades fundamentales de la integral ····1.25 Integración de polinomios ····1.26 Ejercicios ····1.27 Demostraciones de las propiedades fundamentales de la integral 2. ALGUNAS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN ····2.1 Introducción ····2.2 El área de una región comprendida entre dos gráficas expresada como una integral ····2.3 Ejemplos resueltos ····2.4 Ejercicios ····2.5 Las funciones trigonométricas ····2.6 Fórmulas de integración para el seno y el coseno ····2.7 Descripción geométrica de las funciones seno y coseno ····2.8 Ejercicios ····2.9 Coordenadas polares ····2.10 La integral para el área en coordenadas polares ····2.11 Ejercicios ····2.12 Aplicación de la integración al cálculo de volúmenes ····2.13 Ejercicios ····2.14 Aplicación de la integración al concepto de trabajo ····2.15 Ejercicios ····2.16 Valor medio de una función ····2.17 Ejercicios ····2.18 La integral como función del límite superior. Integrales indefinidas ····2.19 Ejercicios 3. FUNCIONES CONTINUAS ····3.1 Idea intuitiva de continuidad ····3.2 Definición de límite de una función ····3.3 Definición de continuidad de una función ····3.4 Teoremas fundamentales sobre límites. Otros ejemplos de funciones continuas ····3.5 Demostraciones de los teoremas fundamentales sobre límites ····3.6 Ejercicios ····3.7 Funciones compuestas y continuidad ····3.8 Ejercicios ····3.9 Teorema de Bolzano para las funciones continuas ····3.10 Teorema del valor intermedio para funciones continuas ····3.11 Ejercicios ····3.12 El proceso de inversión ····3.13 Propiedades de las funciones que se conservan por la inversión ····3.14 Inversas de funciones monótonas a trozos ····3.15 Ejercicios ····3.16 Teorema de los valores extremos para funciones continuas ····3.17 Teorema de la continuidad uniforme ····3.18 Teorema de integrabilidad para funciones continuas ····3.19 Teoremas del valor medio para funciones continuas ····3.20 Ejercicios 4. CÁLCULO DIFERENCIAL ····4.1 Introducción histórica ····4.2 Un problema relativo a velocidad ····4.3 Derivada de una función ····4.4 Ejemplos de derivadas ····4.5 Álgebra de las derivadas ····4.6 Ejercicios ····4.7 Interpretación geométrica de la derivada como una pendiente ····4.8 Otras notaciones para las derivadas ····4.9 Ejercicios ····4.10 Regla de la cadena para la derivación de funciones compuestas ····4.11 Aplicaciones de la regla de la cadena. Coeficientes de variación ligados y derivación implícita ····4.12 Ejercicios ····4.13 Aplicaciones de la derivación a la determinación de los extremos de las funciones ····4.14 Teorema del valor medio para derivadas ····4.15 Ejercicios ····4.16 Aplicaciones del teorema del valor medio a propiedades geométricas de las funciones ····4.17 Criterio de la derivada segunda para los extremos ····4.18 Trazado de curvas ····4.19 Ejercicios ····4.20 Ejemplos resueltos de problemas de extremos ····4.21 Ejercicios ····*4.22 Derivadas parciales ····*4.23 Ejercicios 5. RELACIÓN ENTRE INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN ····5.1 La derivada de una integral indefinida. Primer teorema fundamental del cálculo ····5.2 Teorema de la derivada nula ····5.3 Funciones primitivas y segundo teorema fundamental del cálculo ····5.4 Propiedades de una función deducidas de propied ades de su derivada ····5.5 Ejercicios ····5.6 La notación de Leibniz para las primitivas ····5.7 Integración por sustitución ····5.8 Ejercicios ····5.9 Integración por partes ····5.10 Ejercicios ····5.11 Ejercicios de repaso 6. FUNCIÓN LOGARITMO, FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS ····6.1 Introducción ····6.2 Definición del logaritmo natural como integral ····6.3 Definición de logaritmo. Propiedades fundamentales ····6.4 Gráfica del logaritmo natural ····6.5 Consecuencias de la ecuación funcional L(ab) = L(a) + L(b) ····6.6 Logaritmos referidos a una base positiva b≠1 ····6.7 Fórmulas de derivación e integración en las que intervienen logaritmos ····6.8 Derivación logarítmica ····6.9 Ejercicios ····6.10 Polinomios de aproximación para el logaritmo ····6.11 Ejercicios ····6.12 La función exponencial ····6.13 Exponenciales expresadas como potencias de e ····6.14 Definición de eˣ para x real cualquiera ····6.15 Definición de aˣ para a>0 y x real ····6.16 Fórmulas de derivación e integración en las que intervienen exponenciales ····6.17 Ejercicios ····6.18 Funciones hiperbólicas ····6.19 Ejercicios ····6.20 Derivadas de funciones inversas ····6.21 Inversas de las funciones trigonométricas ····6.22 Ejercicios ····6.23 Integración por fracciones simples ····6.24 Integrales que pueden transformarse en integrales de funciones racionales ····6.25 Ejercicios ····6.26 Ejercicios de repaso 7. APROXIMACIÓN DE FUNCIONES POR POLINOMIOS ····7.1 Introducción ····7.2 Polinomios de Taylor engendrados por una función ····7.3 Cálculo con polinomios de Taylor ····7.4 Ejercicios ····7.5 Fórmula de Taylor con resto ····7.6 Estimación del error en la fórmula de Taylor ····*7.7 Otras formas de la fórmula de Taylor con resto ····7.8 Ejercicios ····7.9 Otras observaciones sobre el error en la fórmula de Taylor. La notación o ····7.10 Aplicaciones a las formas indeterminadas ····7.11 Ejercicios ····7.12 Regla de L'Hôpital para la forma indeterminada 0/0 ····7.13 Ejercicios ····7.14 Los símbolos +∞ y -∞. Extensión de la regla de L'Hôpital ····7.15 Límites infinitos ····7.16 Comportamiento de log x y eˣ para valores grandes de x ····7.17 Ejercicios 8. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ····8.1 Introducción ····8.2 Terminología y notación ····8.3 Ecuación diferencial de primer orden para la función exponencial ····8.4 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden ····8.5 Ejercicios ····8.6 Algunos problemas físicos que conducen a ecuaciones diferenciales de primer orden ····8.7 Ejercicios ····8.8 Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes ····8.9 Existencia de soluciones de la ecuación y″ + by = 0 ····8.10 Reducción de la ecuación general al caso particular y″ + by = 0 ····8.11 Teorema de unicidad para la ecuación y″ + by = 0 ····8.12 Solución completa de la ecuación y″ + by = 0 ····8.13 Solución completa de la ecuación y″ + ay′ + by = 0 ····8.14 Ejercicios ····8.15 Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes ····8.16 Métodos particulares para la determinación de una solución particular de la ecuación no homogénea y″ + ay′ + by = R ····8.17 Ejercicios ····8.18 Ejemplos de problemas físicos que conducen a ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes ····8.19 Ejercicios ····8.20 Observaciones relativas a las ecuaciones diferenciales no lineales ····8.21 Curvas integrales y campos direccionales ····8.22 Ejercicios ····8.23 Ecuaciones separables de primer orden ····8.24 Ejercicios ····8.25 Ecuaciones homogéneas de primer orden ····8.26 Ejercicios ····8.27 Algunos problemas físicos y geométricos que conducen a ecuaciones de primer orden ····8.28 Ejercicios de repaso 9. NÚMEROS COMPLEJOS ····9.1 Introducción histórica ····9.2 Definiciones y propiedades ····9.3 Los números complejos como una extensión de los números reales ····9.4 La unidad imaginaria i ····9.5 Interpretación geométrica. Módulo y argumento ····9.6 Ejercicios ····9.7 Exponenciales complejas ····9.8 Funciones complejas ····9.9 Ejemplos de fórmulas de derivación e integración ····9.10 Ejercicios 10. SUCESIONES, SERIES, INTEGRALES IMPROPIAS ····10.1 La paradoja de Zenón ····10.2 Sucesiones ····10.3 Sucesiones monótonas de números reales ····10.4 Ejercicios ····10.5 Series infinitas ····10.6 Propiedad de linealidad de las series convergentes ····10.7 Series telescópicas ····10.8 Serie geométrica ····10.9 Ejercicios ····*10.10 Ejercicios con expresiones decimales ····10.11 Criterios de convergencia ····10.12 Criterios de comparación para series de términos no negativos ····10.13 El criterio integral ····10.14 Ejercicios ····10.15 Criterios de la raíz y del cociente para series de términos no negativos ····10.16 Ejercicios ····10.17 Series alternadas ····10.18 Convergencia condicional y absoluta ····10.19 Criterios de convergencia de Dirichlet y Abel ····10.20 Ejercicios ····*10.21 Reordenación de series ····10.22 Ejercicios varios de repaso ····10.23 Integrales impropias ····10.24 Ejercicios 11. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES ····11.1 Convergencia puntual de sucesiones de funciones ····11.2 Convergencia uniforme de sucesiones de funciones ····11.3 Convergencia uniforme y continuidad ····11.4 Convergencia uniforme e integración ····11.5 Una condición suficiente para la convergencia uniforme ····11.6 Series de potencias. Círculo de convergencia ····11.7 Ejercicios ····11.8 Propiedades de las funciones representadas por series reales de potencias ····11.9 Serie de Taylor generada por una función ····11.10 Condición suficiente para la convergencia de una serie de Taylor ····11.11 Desarrollos en serie de potencias de las funciones exponencial y trigonométricas ····*11.12 Teorema de Bernstein ····11.13 Ejercicios ····11.14 Series de potencias y ecuaciones diferenciales ····11.15 La serie binómica ····11.16 Ejercicios 12. ÁLGEBRA VECTORIAL ····12.1 Introducción histórica ····12.2 El espacio vectorial de las n-plas de números reales ····12.3 Interpretación geométrica para n≤3 ····12.4 Ejercicios ····12.5 Producto escalar ····12.6 Longitud o norma de un vector ····12.7 Ortogonalidad de vectores ····12.8 Ejercicios ····12.9 Proyecciones. Ángulo de dos vectores en el espacio de n dimensiones ····12.10 Los vectores coordenados unitarios ····12.11 Ejercicios ····12.12 Envolvente lineal de un conjunto finito de vectores ····12.13 Independencia lineal ····12.14 Bases ····12.15 Ejercicios ····12.16 El espacio vectorial Vn(C) de n-plas de números complejos ····12.17 Ejercicios 13. APLICACIONES DEL ÁLGEBRA VECTORIAL A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA ····13.1 Introducción ····13.2 Rectas en el espacio n-dimensional ····13.3 Algunas propiedades sencillas de las rectas ····13.4 Rectas y funciones vectoriales ····13.5 Ejercicios ····13.6 Planos en el espacio euclídeo n-dimensional ····13.7 Planos y funciones vectoriales ····13.8 Ejercicios ····13.9 Producto vectorial ····13.10 El producto vectorial expresado en forma de determinante ····13.11 Ejercicios ····13.12 Producto mixto ····13.13 Regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales ····13.14 Ejercicios ····13.15 Vectores normales a planos ····13.16 Ecuaciones lineales cartesianas para planos ····13.17 Ejercicios ····13.18 Las secciones cónicas ····13.19 Excentricidad de las secciones cónicas ····13.20 Ecuaciones polares de las cónicas ····13.21 Ejercicios ····13.22 Cónicas simétricas respecto al origen ····13.23 Ecuaciones cartesianas de las cónicas ····13.24 Ejercicios ····13.25 Ejercicios varios sobre cónicas 14. CÁLCULO CON FUNCIONES VECTORIALES ····14.1 Funciones vectoriales de una variable real ····14.2 Operaciones algebraicas. Componentes ····14.3 Límites, derivadas e integrales ····14.4 Ejercicios ····14.5 Aplicaciones a las curvas. Tangencia ····14.6 Aplicaciones al movimiento curvilíneo. Vector velocidad, velocidad y aceleración ····14.7 Ejercicios ····14.8 Vector tangente unitario, normal principal y plano osculador a una curva ····14.9 Ejercicios ····14.10 Definición de longitud de un arco ····14.11 Aditividad de la longitud de arco ····14.12 Función longitud de arco ····14.13 Ejercicios ····14.14 Curvatura de una curva ····14.15 Ejercicios ····14.16 Los vectores velocidad y aceleración en coordenadas polares ····14.17 Movimiento plano con aceleración radial ····14.18 Coordenadas cilíndricas ····14.19 Ejercicios ····14.20 Aplicaciones al movimiento planetario ····14.21 Ejercicios de repaso 15. ESPACIOS LINEALES ····15.1 Introducción ····15.2 Definición de espacio lineal ····15.3 Ejemplos de espacios lineales ····15.4 Consecuencias elementales de los axiomas ····15.5 Ejercicios ····15.6 Subespacios de un espacio lineal ····15.7 Conjuntos dependientes e independientes, en un espacio lineal ····15.8 Bases y dimensión ····15.9 Ejercicios ····15.10 Productos interiores, espacios euclídeos. Normas ····15.11 Ortogonalidad en un espacio euclídeo ····15.12 Ejercicios ····15.13 Censtrucción de conjuntos ortogonales. Método de Gram-Schmidt ····15.14 Complementos ortogonales. Proyecciones ····15.15 Aproximación óptima de elementos de un espacio euclídeo por elementos de un subespacio de dimensión finita ····15.16 Ejercicios 16. TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES ····16.1 Transformaciones lineales ····16.2 Núcleo y recorrido ····16.3 Dimensión del núcleo y rango de la transformación ····16.4 Ejercicios ····16.5 Operaciones algebraicas con transformaciones lineales ····16.6 Inversas ····16.7 Transformaciones lineales uno a uno ····16.8 Ejercicios ····16.9 Transformaciones lineales con valores asignados ····16.10 Representación matricial de las transformaciones lineales ····16.11 Construcción de una representación matricial en forma diagonal ····16.12 Ejercicios ····16.13 Espacios lineales de matrices ····16.14 Isomorfismo entre transformaciones lineales y matrices ····16.15 Multiplicación de matrices ····16.16 Ejercicios ····16.17 Sistemas d e ecuaciones lineales ····16.18 Técnicas de cálculo ····16.19 Inversas d e matrices cuadradas ····16.20 Ejercicios ····16.21 Ejercicios varios sobre matrices Soluciones a los ejercicios Índice alfabético