В работе развивается теория гиперболических уравненийв частных производных с операторами Бесселя, а также конструируются и обращаются гиперболические потенциалы, порожденные
многомерным обобщенным сдвигом. В первойг лаве приведены необходимые обозначения, определения, вспомогательные факты и утверждения. Во второй главе изучены некоторые весовые обобщенные
функции, связанные с квадратичной формой, которые в дальнейшем применяются для построения
дробных степеней гиперболических операторов, а также решений гиперболических уравнений с операторами Бесселя. Объектом исследования третьей главы являются гиперболические потенциалы,
порожденные многомерным обобщенным сдвигом, реализующие отрицательные вещественные степени сингулярного волнового оператора, т. е. волнового оператора, где вместо вторых производных
действует оператор Бесселя. Исследуются вопросы ограниченности такого оператора, его свойства,
а также строится обратный к нему оператор. Кроме того, в этой главе изучен гиперболический
B-потенциал Рисса. В четвертой главе рассмотрены различные методы решения общего уравнения
Эйлера—Пуассона—Дарбу. Получены решения задач Коши для однородного и неоднородного уравнений указанного типа. В заключении приведены сведения об общих методах решения задач для
произвольных сингулярных операторов.
Author(s): Шишкина Э.Л.
Series: Современная математика. Фундаментальные направления. Том 65, № 2
Publisher: Российский университет Дружбы Народов
Year: 2019
Language: Russian
Pages: 157-338
City: Москва
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Глава 1. Классы функций иоператоры преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
1. Специальные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
1.1. Гамма-функция, бета-функция, символ Похгаммера и функция ошибок . . . . . . . 163
1.2. Функции Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
1.3. Функции гипергеометрического типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2. Классы функций ,оператор Пуассона и преобразование Ханкеля . . . . . . . . . . . . . 167
2.1. Пространства Cm
ev, Lγp
и Sev. Весовые обобщенные функции . . . . . . . . . . . . . 167
2.2. Оператор преобразования Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
2.3. Преобразование Ханкеля и обобщение пространства Лизоркина—Самко . . . . . . 173
2.4. Дробные интегралы и производные Римана—Лиувилля и Лиувилля . . . . . . . . . 175
3. Обобщенный сдвиг и весовое сферическое среднее . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.1. Обобщенныйс двиг и обобщенная свертка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.2. Интегралы по части сферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.3. Весовое сферическое среднее . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Глава 2. Весовые обобщенные функции, связанные с квадратичными формами . . . . . . . 193
4. Весовая обобщенная функции, сосредоточенная на части конуса . . . . . . . . . . . . . 193
4.1. B-ультрагиперболический оператор и квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . 193
4.2. Весовая обобщенная функции, сосредоточенная на части конуса . . . . . . . . . . . 194
4.3. Представления производных весовойобоб щеннойф ункции δγ(P) . . . . . . . . . . 196
5. Весовые обобщенные функции, реализующие степени квадратичных форм . . . . . . . . 200
5.1. Весовые обобщенные функции Pλ
γ,± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.2. Весовые обобщенные функции Pλ
γ и (P ± i0)λγ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6. Другие весовые обобщенные функции, связанные с квадратичнойфо рмой . . . . . . . . 211
6.1. Функции (w2 − |x|2)λ
+,γ и (c2 + P ± i0)λγ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6.2. Общие весовые обобщенные функции, связанные с квадратичнойфо рмой . . . . . 212
7. Преобразование Ханкеля весовых обобщенных функций, связанных с квадратичной
формой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.1. Преобразование Ханкеля функций Pλ
γ , (P ± i0)λγ
и Pλ
γ,± . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.2. Преобразование Ханкеля функций (w2 − |x|2)λ
+,γ и (c2 + P ± i0)λγ
. . . . . . . . . . 215
Глава 3. Гиперболические B-потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8. Ограниченность гиперболического B-потенциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.1. Краткая история теории потенциалов как дробных степеней операторов . . . . . . . 219
8.2. Определения гиперболических B-потенциалов и их абсолютная сходимость . . . . 222
8.3. Ограниченность, полугрупповые свойства гиперболического B-потенциала . . . . . 224
9. Свойства гиперболических B-потенциалов и примеры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.1. Полугрупповые свойства гиперболических B-потенциалов . . . . . . . . . . . . . . 230
9.2. Примеры гиперболических B-потенциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
10. Обращение гиперболических B-потенциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
10.1.Метод аппроксимативных обратных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
10.2.Общее ядро Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.3.Представление ядра ∓gα
ε,δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
10.4. Теоремы об обращении гиперболического B-потенциала Рисса . . . . . . . . . . . . 250
11. Гиперболический B-потенциал Рисса и его аналитическое продолжение . . . . . . . . . 252
11.1.Замена переменных в пространстве Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
11.2.Тождественный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
11.3. Аналитическое продолжение гиперболического B-потенциала Рисса Iα
γ
. . . . . . 261
11.4.Примеры гиперболических B-потенциалов Рисса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Глава 4. Методы решения гиперболических уравнений соператором Бесселя . . . . . . . . 270
12. B-ультрагиперболическое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
12.1. Фундаментальное решение итерированного B-ультрагиперболического уравнения . 273
12.2.B-ультрагиперболическое уравнение и обобщение теоремы Асгейрссона . . . . . . 274
13. Общее уравнение Эй лера—Пуассона—Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
13.1.Метод операторов преобразования решения задачи Коши для общего уравнения
Эй лера—Пуассона—Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
13.2.Преобразования Ханкеля и задача Коши для общего уравнения Эйлера—
Пуассона—Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
13.3.Метод спуска для общего уравнения Эй лера—Пуассона—Дарбу . . . . . . . . . . . 288
13.4.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
14. Уравнение Эй лера—Пуассона—Дарбу со спектральным параметром . . . . . . . . . . . . 298
14.1. Решение задачи Коши для уравнения Эйлера—Пуассона—Дарбу со спектральным
параметром применением преобразования Ханкеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
14.2. Классическое решение уравнения Эйлера—Пуассона—Дарбу со спектральным па-
раметром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
14.3.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
15. Метод потенциалов Рисса решения неоднородных уравненийтип а Эйлера—Пуассона—
Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
15.1.Общее неоднородное уравнение Эй лера—Пуассона—Дарбу . . . . . . . . . . . . . . 309
15.2.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
Список литературы . . .
