Книга знакомит с такими важными понятиями современной математики, как группа, инвариант, симметрия дифференциального уравнения, которые объясняются на доступных примерах в связи с общей темой геометрических преобразований плоскости. Показано единство трех основных математических дисциплин: алгебры, геометрии и анализа. Изложение сопровождается большим количеством упражнений, среди которых немало задач олимпиадного характера.
Для студентов, учащихся старших классов, всех, кто любит математику.
Author(s): Дужин, Сергей В.; Чеботаревский, Борис Д.
Series: Мир занимат. науки
Publisher: Вышэйш. шк
Year: 1988
Language: Russian
Pages: 257
City: Минск
К читателю 4
ВВЕДЕНИЕ 6
ПЛОСКОСТЬ 10
Клетчатая Флатландия 11
Сложение точек 13
Умножение точки на число 17
Центр тяжести 19
Координаты 22
Умножение точек 25
Комплексные числа 30
ДВИЖЕНИЯ 38
Параллельный перенос 40
Отражения 41
Поворот 44
Функции комплексной переменной 47
Композиция движений 51
Скользящее отражение 58
Классификация движений 60
Ориентация 63
Исчисление инволюций 65
ГРУППЫ 71
Перекатывание треугольника 72
Понятие группы преобразований 74
Классификация конечных групп движений 77
Сопряженные преобразования 81
Порождающие элементы 87
Образующие и соотношения 91
Общее понятие группы 99
Изоморфизм 108
Теорема Лагранжа 123
ОРНАМЕНТЫ 134
Гомоморфизмы 135
Фактор-группа 139
Действия групп и орбиты 144
Перечисление орбит 147
Инварианты 154
Кристаллографические группы 159
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 177
Рисование 178
Гомотетия 183
Спиральные подобия 184
Инверсия 189
Дробно-линейные преобразования 193
Плоскость Лобачевского 197
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 201
Обыкновенные дифференциальные уравнения 201
Замена переменных 208
Уравнение Бернулли 210
Однопараметрические группы 220
Симметрии дифференциальных уравнений 224
Интегрирование дифференциальных уравнений с известной группой симметрий 227
ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ЗАДАЧ 237
ВМЕСТО ЗАКЛЮЧЕНИЯ 239
Ответы и указания к задачам 241
Рекомендуемая литература 251
