В монографии представлен вычислительно-математический инструментарий, предназначенный для численного моделирования орбит небесных тел. Рассматриваются широко используемые на практике численные методы для решения прямой и обратной задач орбитальной динамики. Исследуется их эффективность применительно к численному моделированию орбит малых тел Солнечной системы.
Для специалистов в области небесной механики, а также студентов и аспирантов астрономических специальностей.
Author(s): Авдюшев В.А.
Publisher: Издательский Дом Томского государственного университета
Year: 2015
Language: Russian
Pages: 336
City: Томск
ПРЕДИСЛОВИЕ
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ 13
ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ ОРБИТЫ 15
1.1 Терминология 15
1.2 Ошибки численного моделирования 19
1.3 Быстродействие численного моделирования 22
1.4 Эффективность численного моделирования 23
2 МОДЕЛИ СИЛ 25
2.1 Гравитация протяженного тела 26
2.2 Гравитация материальной точки 29
2.3 Радиационные силы 30
2.4 Реактивные силы 32
2.5 Атмосферное торможение 33
2.6 Релятивистские возмущения 34
2.7 Сравнительный анализ силовых факторов 35
3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОРБИТ 38
3.1 Линейные и регулярные уравнения 39
3.1.1 Уравнения в SB-переменных 43
3.1.2 Уравнения в KS-переменных 44
3.2 Сглаженные уравнения 48
3.3 Стабилизированные уравнения 53
3.3.1 Неустойчивость кеплеровского движения 57
3.3.2 Диссипативная стабилизация Баумгарте 59
3.3.3 Консервативная стабилизация Баумгарте 64
3.3.4 Стабилизация по времени 65
3.3.5 Стабилизация Накози 66
3.4 Уравнения в орбитальных элементах 66
3.4.1 Уравнения Роя 68
3.4.2 Уравнения в SB-элементах 69
3.4.3 Уравнения в KS-элементах 69
3.4.4 Уравнения в элементах Пайнса 70
3.5 Уравнения Энке 71
3.5.1 Классические уравнения Энке 73
3.5.2 Уравнения Энке в KS-переменных 75
3.5.3 Улучшение опорной орбиты 76
3.6 Гравицентрические системы координат
и уравнения синхронного слежения 79
3.6.1 Ошибки округления в кеплеровских членах. Задача двух тел 80
3.6.2 Ограниченная задача трех тел 84
3.6.3 Временн'ые ошибки 87
3.6.4 Метод синхронного слежения 91
3.6.5 Эффективность гравицентрических координатных систем 93
3.6.6 Влияние ошибок в положении планеты
на точность моделирования астероидной орбиты 97
3.7 Проблема короткопериодических возмущений
и усредненные уравнения 100
3.8 Сравнительный анализ эффективности уравнений 110
3.8.1 Численный эксперимент 110
3.8.2 Выбранные объекты 113
3.8.3 Численные результаты 115
4 МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 124
4.1 Терминология 126
4.2 Метод разложения в ряд Тейлора 127
4.3 Методы Рунге--Кутты 130
4.3.1 Явные методы Рунге--Кутты 130
4.3.2 Оценка погрешности и выбор шага 134
4.3.3 Вложенные методы Рунге--Кутты 142
4.3.4 Неявные методы Рунге--Кутты 144
4.3.5 Коллокационные методы 146
4.3.6 Методы Гаусса 150
4.3.7 Интегратор Эверхарта 152
4.3.8 Порядок и шаг интегрирования
при компьютерной реализации метода 161
4.3.9 Орбитальная устойчивость методов Рунге--Кутты 164
4.4 Экстраполяционные методы 166
4.4.1 Общий подход 166
4.4.2 Алгоритм Эйткена--Невилла 168
4.4.3 Метод Грэгга 169
4.4.4 Оценка локальной погрешности и выбор шага 170
4.5 Многошаговые методы 170
4.5.1 Методы Адамса 171
4.5.2 Формулы дифференцирования 173
4.5.3 Предиктор--корректор 174
4.5.4 Линейные многошаговые методы 175
4.5.5 Порядок многошаговых методов 176
4.5.6 Устойчивость многошаговых методов 178
4.5.7 Наивысший достижимый порядок для устойчивых методов 179
4.5.8 Оценка локальной погрешности 180
4.5.9 Выбор шага 180
4.5.10 Порядок и шаг интегрирования
при компьютерной реализации методов Адамса 183
4.6 Геометрические методы 185
4.6.1 Уравнения гармонического осциллятора 185
4.6.2 Методы Эйлера 186
4.6.3 Проекционный метод 189
4.6.4 Симплектические и симметричные методы 191
4.7 Сравнительный анализ эффективности методов 203
4.7.1 Численный эксперимент 204
4.7.2 Выбранные методы 205
4.7.3 Численные результаты 206
5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ ИЗ НАБЛЮДЕНИЙ 213
5.1 Обратная задача орбитальной динамики 213
5.2 Модельные представления наблюдений 216
5.3 Предварительное определение орбиты 217
5.4 Изохронные производные 220
5.5 Методы решения обратной задачи 223
5.5.1 Метод градиентного спуска 224
5.5.2 Метод Ньютона 224
5.5.3 Метод Гаусса--Ньютона 225
5.5.4 Демпфированный метод Гаусса--Ньютона 226
5.5.5 Метод Левенберга--Марквардта 226
5.5.6 Овражные методы 227
5.6 Сравнительный анализ эффективности методов 232
5.7 Проблема неоднозначного определения орбит 237
5.7.1 Наблюдения на длительном временном интервале 238
5.7.2 Наблюдения на короткой орбитальной дуге 253
6 ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ 258
6.1 Задача наименьших квадратов, ее геометрия и доверительное оценивание 259
6.2 Моделирование доверительной области 264
6.3 Моделирование возможных значений параметров 267
6.3.1 Линейные методы 267
6.3.2 Нелинейные методы 269
6.4 Взвешенная задача наименьших квадратов 272
6.5 Бутстрэп-метод 274
6.6 Показатели нелинейности 276
6.7 Сравнительный анализ эффективности методов 278
7 ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ОРБИТАЛЬНОЙ МОДЕЛИ 294
7.1 Временн'ой перенос доверительной области 295
7.2 Вычисление ляпуновских показателей 296
7.3 Оценивание вероятности попадания объекта в малый объем 298
7.4 Оценивание вероятности столкновения астероида с планетой 300
ПРИЛОЖЕНИЕ 303
ЛИТЕРАТУРА 314
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 328
