Книга посвящена разделу теории случайных процессов, возникшему в последние годы в связи с потребностями теории управляемых систем. Изучаются свойства таких процессов на выходе нелинейных систем, параметры которых подвержены случайным флуктуациям, процесс же, поступающий на вход, также может быть случайным. В первой части книги исследуются условия устойчивости и существования стационарных и периодических режимов на выходе изучаемых систем.
Во второй части более подробно изучаются системы, флуктуации в которых представляют собой процессы типа «белого шума». Излагается, в частности, теория устойчивости стохастических дифференциальных уравнений. Изучаются вопросы о сохранении устойчивости при малых случайных возмущениях параметров, об устойчивости по первому приближению, об устойчивости линейных систем со случайными параметрами. Полученные результаты применяются также к исследованию возможности стабилизации управляемых стохастических систем и к изучению свойств процедуры стохастической аппроксимации.
Author(s): Хасьминский Р.З.
Publisher: Наука
Year: 1969
Language: Russian
Pages: 370
City: Москва
Tags: Математика;Дифференциальные уравнения;
П редисловие.................................................................................................................... 7
Основные обозначения................................................................................................. 14
Г Л А В А I
Ограниченность по вероятности
и устойчивость случайных процессов,
определяемых дифференциальными уравнениями
§ 1. Краткая сводка необходимых сведений из теории
вероятностей ............................................................................................ 15
§ 2 . Диссипативность систем дифференциальных уравнений 19
§ 3. Случайный процесс как решение дифференциального
у р а в н е н и я ................................................................................................. 26
§ 4. Ограниченность по вероятности случайных процессов,
определяемых системой дифференциальных уравнений 31
§ 5. У стой ч и вость............................................................................................ 42
§ 6 . Устойчивость детерминированных систем при случайных возм ущ ениях................................................................................... 48
§ 7. Оценка одного функционала от гауссовского процесса 54
§ 8 . Линейные с и с т е м ы .............................................................................. 60
г л А в А II
Стационарные и периодические решения
дифференциальных уравнений -
§ 1. Стационарные и периодические случайные процессы.
Сходимость случайных п р о ц е с с о в ............................................ 69
§ 2. Условия существования стационарных и периодических реш ений....................................................................................... 73
1*
§ 3. Условия существования стационарных и периодических решений (п р о д о л ж е н и е )................................................ 80
§ 4. Условия сходимости к периодическому решению . . . . 85
Г Л А В А III
Марковские процессы и стохастические
дифференциальные уравнения
§ 1. Определение марковского п р о ц е с с а ....................................... 91
§ 2 . Стационарные и периодические марковские процессы 97
§ 3. Стохастическое дифференциальное уравнение . . . . 102
§ 4. Условия регулярности р е ш е н и я ......................................................112
§ 5. Стационарные и периодические решения стохастического дифференциального уравнен и я....................................... 119
§ 6 . Стохастические уравнения и дифференциальные уравнения с частными п р о и зв о д н ы м и .................................................124
§ 7. Условия возвратности и конечности среднего времени
до возвращ ения............................................................................................130
§ 8 . Условия возвратности и конечности среднего времени
до возвращения (п р о д о л ж е н и е )..................................................... 135
Г Л А В А I V
Эргодические свойства решений
стохастических уравнений
§ 1. Колмогоровская классификация цепей Маркова со
счетным числом возможных с о с т о я н и й ........................ 143
§ 2. Возвратность и невозвратность.......................................... 146
§ 3. Положительный и нулевой п р о ц есс.................... . . . 151
§ 4. Существование стационарного распределения . . . . 153
§ 5. Усиленный закон больших ч и с е л ..................................... 157
§ 6. Некоторые вспомогательные р е з у л ь т а т ы .................. 161
§ 7. Существование предела переходной функции . . . . 167
§ 8. Некоторые о б о б щ е н и я ............................................... . . . . 170
§ 9. Стабилизация решения задачи Коши для параболического у р а в н е н и я ........................................................................ 174
§ 10. Предельные соотношения для нулевого процесса . . 180
§ 11. Предельные соотношения для нулевого процесса
(продолж ени е)..................................................................................186
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Г Л А В А V
Устойчивость систем
стохастических уравнений
§ 1. Постановка з а д а ч и .................................................................................. 197
§ 2. Некоторые вспомогательные р е зу л ь т а т ы ..................................201
§ 3. Устойчивость по в е р о я т н о с т и .......................................................... 206
§ 4. Асимптотическая устойчивость по вероятности и неустойчивость ...............................................................................•. . . 210
§ 5. П р и м ер ы .......................................................................................................... 216
§ 6. Дифференцируемость решений стохастических уравнений по начальным у с л о в и я м ..................................................... 224
§ 7. Экспоненциальная р-устойчивость и ^-неустойчивость 231
§ 8 . Экспоненциальная устойчивость с вероятностью 1 . . 236
г л А в А VI
Системы линейных
стохастических уравнений
§ 1. Одномерная с и с т е м а ............................................................................. 238
§ 2. Уравнения для м ом ен тов....................................................................245
§ 3. Экспоненциальная p-устойчивость и ^-неустойчивость 247
§ 4. Экспоненциальная p-устойчивость и (7-неустойчивость
(продолж ение)............................................................................................253
§ 5. Равномерная устойчивость в ц е л о м ........................................... 257
§ 6 . Устойчивость произведения независимых матриц . . 260
§ 7. Асимптотическая устойчивость линейных систем с постоянными коэф ф и ци ен там и .......................................................... 266
§ 8 . Системы с постоянными коэффициентами (продолжение) ..........................................................................................................274
§ 9. Д ва п р и м е р а ........................................................................................... 279
§ 10. Уравнение п -го п о р я д к а ....................................................................286
§ II. Стохастическая устойчивость в сильном и слабом
с м ы с л е ..........................................................................................................294
Г Л А В А VII
Некоторые задачи теории устойчивости
стохастических систем
§ 1. Устойчивость по первому приближ ению ................................. 298
§ 2. Неустойчивость по первому приближению............................. 301
ОГЛАВЛЕНИЕ б
§ 3. Д ва п р и м е р а ....................................................................................304
§ 4. Устойчивость при затухаю щ их случайных возмущениях 307
§ 5. Приложение к методу стохастической аппроксимации 310
§ 6. Метод стохастической аппроксимации в случае....нескольких корней уравнения р е гр е с с и и 313
§ 7. Некоторые обобщ ения.................................................................321
Г Л А В А VIII
Стабилизация управляемых
стохастических систем
§ 1. Предварительные зам еч ан и я..................................................329
§ 2. Принцип В е л л м а н а ..................................................................... 331
§ 3. Линейные системы . . ; .......................................................335
§ 4. Метод последовательных п р и б л и ж е н и й .....................338
§ 5. Случай уравнения и-го порядка.............................. ........ 345
Л и т е р а т у р а ...................................................................................................................354
Предметный ук азател ь .................................................................................... 366
