Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen.. Theorie, Verfahren und Anwendungen

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Vorwort......Page 5
Inhaltsverzeichnis......Page 7
1.1 Was ist optimale Steuerung?......Page 11
1.2.1 Optimale station¨are Aufheizung......Page 12
1.2.2 Optimale instation¨are Randtemperatur......Page 14
1.2.3 Optimales Schwingen......Page 15
1.3.1 Aufgaben mit semilinearer elliptischer Gleichung......Page 16
1.3.2 Probleme mit semilinearer parabolischer Gleichung......Page 17
1.4.1 Endlichdimensionale Aufgabe der optimalen Steuerung......Page 18
1.4.2 Existenz optimaler Steuerungen......Page 19
1.4.3 Notwendige Optimalit¨atsbedingungen erster Ordnung......Page 20
1.4.4 Adjungierter Zustand und reduzierter Gradient......Page 21
1.4.5 Lagrangefunktion......Page 23
1.4.6 Diskussion der Variationsungleichung......Page 24
1.4.7 Formulierung als Karush-Kuhn-Tucker-System......Page 25
2.1 Lineare normierte R¨aume......Page 27
2.2.1 Lp-R¨aume......Page 29
2.2.3 Schwache Ableitungen und Sobolewr¨aume......Page 31
2.3.1 Poissongleichung......Page 34
2.3.2 Randbedingung dritter Art......Page 37
2.3.3 Differentialoperator in Divergenzform......Page 39
2.4.1 Lineare stetige Operatoren und Funktionale......Page 42
2.4.2 Schwache Konvergenz......Page 45
2.5.1 Optimale station¨are Temperaturquelle......Page 48
2.5.2 Optimale station¨are Randtemperatur......Page 52
2.5.3 Allgemeinere elliptische Gleichungen und Zielfunktionale *......Page 53
2.6 Differenzierbarkeit in Banachr¨aumen......Page 54
2.7 Adjungierte Operatoren......Page 57
2.8 Notwendige Optimalit¨atsbedingungen erster Ordnung......Page 59
2.8.1 Quadratische Optimierungsaufgabe im Hilbertraum......Page 60
2.8.2 Optimale station¨are Temperaturquelle......Page 61
2.8.3 Station¨are Temperaturquelle und Randbedingung dritter Art......Page 69
2.8.4 Optimale station¨are Randtemperatur......Page 70
2.9 Konstruktion von Testaufgaben......Page 73
2.9.1 Bang-Bang-Steuerung......Page 74
2.9.2 Verteilte Steuerung und Neumann-Randbedingung......Page 75
2.10 Das formale Lagrangeprinzip......Page 77
2.11.1 Differentialoperator in Divergenzform......Page 81
2.12 Numerische Verfahren......Page 82
2.12.1 Bedingtes Gradientenverfahren......Page 83
2.12.2 Gradienten-Projektionsverfahren......Page 86
2.12.3 ¨Uberf¨uhrung in ein endlichdimensionales quadratischesOptimierungsproblem......Page 87
2.12.4 Primal-duale Aktive-Mengen-Strategie......Page 90
2.13.1 Elliptische Gleichungen mit Daten aus V ∗......Page 95
2.13.2 Anwendung beim Beweis von Optimalit¨atsbedingungen......Page 96
2.13.3 Adjungierter Zustand als Multiplikator......Page 97
2.14.2 Sobolew-Slobodetskii-R¨aume......Page 99
2.14.3 H¨ohere Regularit¨at von L¨osungen......Page 100
2.15 Regularit¨at optimaler Steuerungen *......Page 101
2.16 ¨Ubungsaufgaben......Page 103
3.1 Einf¨uhrung......Page 105
3.2.1 Eindimensionale Modellprobleme......Page 109
3.2.2 Integraldarstellung von L¨osungen – Greensche Funktion......Page 110
3.2.3 Notwendige Optimalit¨atsbedingungen......Page 112
3.2.4 Bang-Bang-Prinzip......Page 116
3.3 Schwache L¨osungen in W1,02 (Q)......Page 120
3.4.1 Abstrakte Funktionen......Page 123
3.4.2 Abstrakte Funktionen und parabolische Gleichungen......Page 126
3.4.3 Vektorwertige Distributionen......Page 127
3.4.4 Zugeh¨origkeit schwacher L¨osungen aus W1,02 (Q) zu W(0, T)......Page 129
3.5.1 Optimale instation¨are Randtemperatur......Page 133
3.5.2 Optimale instation¨are Temperaturquelle......Page 134
3.6.1 Hilfssatz f¨ur adjungierte Operatoren......Page 135
3.6.2 Optimale instation¨are Randtemperatur......Page 137
3.6.3 Optimale instation¨are Temperaturquelle......Page 140
3.6.4 Differentialoperator in Divergenzform *......Page 141
3.7.1 Gradienten-Projektionsverfahren......Page 144
3.7.2 Aufstellen des reduzierten Problems......Page 145
3.8 Herleitung der verwendeten Fourierentwicklungen......Page 148
3.9 Parabolische Gleichungen in L2(0, T; V ∗) *......Page 151
3.10 ¨Ubungsaufgaben......Page 153
4.1 Vorbemerkungen......Page 155
4.2.1 Motivation des weiteren Vorgehens......Page 156
4.2.2 L¨osungen in H1(Ω)......Page 157
4.2.3 Stetige L¨osungen......Page 161
4.2.4 Abschw¨achung der Voraussetzungen......Page 164
4.3.1 Stetigkeit von Nemytskii-Operatoren......Page 166
4.3.2 Differenzierbarkeit von Nemytskii-Operatoren......Page 168
4.3.3 Ableitungen in weiteren Lp-R¨aumen *......Page 172
4.4 Existenz optimaler Steuerungen......Page 173
4.4.1 Grundvoraussetzungen des Kapitels......Page 174
4.4.2 Verteilte Steuerung......Page 175
4.5 Der Steuerungs-Zustands-Operator......Page 178
4.5.1 Verteilte Steuerung......Page 179
4.6.1 Verteilte Steuerung......Page 181
4.6.2 Randsteuerung......Page 184
4.7 Anwendung des formalen Lagrangeprinzips......Page 186
4.8.1 Hamiltonfunktionen......Page 188
4.8.2 Maximumprinzip......Page 189
4.9 Ableitungen zweiter Ordnung......Page 190
4.10.1 Grundideen hinreichender Optimalit¨atsbedingungen......Page 194
4.10.2 Die Zwei-Norm-Diskrepanz......Page 197
4.10.3 Verteilte Steuerung......Page 200
4.10.4 Randsteuerung......Page 208
4.10.5 Ber¨ucksichtigung stark aktiver Restriktionen *......Page 209
4.10.6 F¨alle ohne Zwei-Norm-Diskrepanz......Page 213
4.10.7 Lokale Optimalit¨at in Lr(Ω)......Page 214
4.11.2 Grundidee des SQP-Verfahrens......Page 215
4.11.3 Das SQP-Verfahren f¨ur elliptische Probleme......Page 217
4.12 ¨Ubungsaufgaben......Page 220
5.1 Die semilineare parabolische Modellgleichung......Page 221
5.2 Grundvoraussetzungen des Kapitels......Page 223
5.3 Existenz optimaler Steuerungen......Page 224
5.4 Steuerungs-Zustands-Operator......Page 227
5.5 Notwendige Optimalit¨atsbedingungen......Page 230
5.5.1 Verteilte Steuerung......Page 231
5.5.2 Randsteuerung......Page 234
5.6 Pontrjaginsches Maximumprinzip *......Page 236
5.7.1 Ableitungen zweiter Ordnung......Page 237
5.7.2 Verteilte Steuerung......Page 239
5.7.3 Randsteuerung......Page 243
5.7.4 Ein Fall ohne Zwei-Norm-Diskrepanz......Page 244
5.8 Testaufgaben......Page 245
5.8.1 Testaufgabe mit Steuerungsrestriktionen......Page 246
5.8.2 Aufgabe mit integraler Zustandsrestriktion *......Page 248
5.9.1 Gradientenverfahren......Page 253
5.9.2 Das SQP-Verfahren......Page 254
5.10.1 Phasenfeldmodell......Page 257
5.10.2 Instation¨are Navier-Stokes-Gleichungen......Page 259
5.11 ¨Ubungsaufgaben......Page 263
6.1.1 Konvexe Aufgaben......Page 264
6.1.2 Differenzierbare Aufgaben......Page 269
6.1.3 Eine semilineare elliptische Aufgabe......Page 273
6.2 Steuerprobleme mit Zustandsbeschr¨ankungen......Page 275
6.2.1 Konvexe Aufgaben......Page 276
6.2.2 Eine nichtkonvexe Aufgabe......Page 283
6.3 ¨Ubungsaufgaben......Page 286
7.1 Einbettungss¨atze......Page 287
7.2.1 Elliptische Regularit¨at und Stetigkeit von L¨osungen......Page 288
7.2.2 Methode von Stampacchia......Page 289
7.2.3 Elliptische Gleichungen mit Maßen......Page 294
7.3.1 L¨osungen in W(0, T)......Page 295
7.3.2 Stetige L¨osungen......Page 303
Index......Page 308
Literaturverzeichnis......Page 311