Математический анализ. конечномерные линейные пространства

1.1. Числовые поля......Page 7
1.2. Основные задачи теории систем линейных уравнений......Page 9
1.3. Определитель n-го порядка......Page 11
1.4. Свойства определителей......Page 15
1.5. Алгебраические дополнения и миноры......Page 19
1.6. Практическое вычисление определителей......Page 23
1.7. Правило Крамера......Page 24
1.8. Миноры произвольного порядка. Теорема Лапласа......Page 28
1.9. О линейной зависимости между столбцами......Page 31
Задачи......Page 37
2.1. Определение......Page 40
2.2. Линейная зависимость......Page 45
2.3. Базис, координаты, размерность......Page 49
2.4. Подпространства......Page 53
2.5. Линейные оболочки......Page 62
2.6. Гиперплоскости......Page 64
2.7. Морфизмы линейных пространств......Page 67
Задачи......Page 71
3.1. Еще о ранге матрицы......Page 72
3.2. Нетривиальная совместность однородной линейной системы......Page 74
3.3. Условие совместности общей линейной системы......Page 76
3.4. Общее решение линейной системы......Page 77
3.5. Геометрические свойства совокупности решений линейной системы......Page 79
3.6. Методы вычислений ранга матрицы......Page 81
Задачи......Page 86
4.1. Линейные формы......Page 89
4.2. Линейные операторы и их матричная запись......Page 92
4.3. Действия над линейными операторами......Page 96
4.4. Соответствующие действия над матрицами......Page 99
4.5. Дальнейшие свойства умножения маьриц......Page 104
4.6. Область значений и нуль-многообразие линейного оператора......Page 110
4.7. Линейные операторы, переводящие пространство в себя......Page 116
4.8. Инвариантные подпространства......Page 125
4.9. Собственные вектора и собственные значения......Page 127
Задачи......Page 133
5.1. Формулы перехода к новому базису......Page 138
5.2. Последовательные преобразования......Page 140
5.3. Преобразования координат вектора при изменении базиса......Page 141
5.4. Преобразование коэффициентов линейной формы......Page 144
5.5. Преобразование матрицы линейного оператора......Page 145
5.6. Тензоры......Page 147
Задачи......Page 153
6.1. Каноническая форма матрицы нильпотентного оператора......Page 155
6.2. Алгебры; алгебра многочленов от одного переменного......Page 159
6.3. Каноническая форма матрицы произвольного оператора......Page 165
6.4. Элементарные делители......Page 170
6.5. Некоторые следствия......Page 177
6.6. Вещественная жорданова форма......Page 179
6.7. Спектры, корпусы и многочлены......Page 184
6.8. Функции от оператора и их матричная запись......Page 194
Задачи......Page 202
7.1. Билинейные формы......Page 205
7.2. Квадратичные формы......Page 209
7.3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду......Page 212
7.4. Канонический базис билинейной формы......Page 218
7.5. Построение канонического базиса по методу Якоби......Page 221
7.6. Сопряженные линейные операторы......Page 225
7.7. Изоморфизм пространств с выделенной билинейной формой......Page 229
7.8. Полилинейные формы......Page 233
7.9. Квадратичные и билинейные формы в вещественном пространстве......Page 235
Задачи......Page 242
8.1. Введение......Page 244
8.2. Определение евклидова пространства......Page 246
8.3. основные метрические понятия......Page 247
8.4. Ортогональный базис......Page 254
8.5. Задача о перпендикуляре......Page 255
8.6. Общая теорема об ортогонализации......Page 259
8.7. Определитель Грама......Page 264
8.8. Несовместные системы линейных уравнений и метод наименьших квадратов......Page 269
8.9. Сопряженные операторы и изометрия......Page 272
Задачи......Page 276
9.1. Эрмитовы формы......Page 282
9.2. Скалярное произведение в комплексном пространстве......Page 290
9.3. Нормальные операторы......Page 296
9.4. Применение унитарного пространства к теории операторов в евклидовом пространстве......Page 300
Задачи......Page 310
10.1. Основная теорема о квадратичных формах в евклидовом пространстве......Page 311
10.2. Экстремальные свойства квадратичной формы......Page 314
10.3. Задача о паре квадратичных форм......Page 323
10.4. Приведение общего уравнения поверхности 2-го порядка к каноническому виду......Page 327
10.5. Геометрические свойства поверхностей второго порядка......Page 331
10.6. Анализ поверхности по ее общему уравнению......Page 343
10.7. Эрмитово-квадратичные формы......Page 352
Задачи......Page 354
11.1. Еще об алгебрах......Page 356
11.2. Представления абстрактных алгебр......Page 357
11.3. Неприводимые представления и лемма Шура......Page 358
11.4. Основные типы конечномерных алгебр......Page 360
11.5. Строение леворегулярного представления простой алгебры......Page 363
11.6. Структура простых алгебр......Page 366
11.7. Структура полупростых алгебр......Page 369
11.8. Строение представлений простых и полупростых алгебр......Page 374
11.9. Некоторые дальнейшие результаты......Page 379
Задачи......Page 380
12.1. Введение......Page 382
12.2. Случай, когда все данные алгебры - полные......Page 386
12.3. Все данные алгебры - одномерные......Page 389
12.4. Все данные алгебры - простые......Page 395
12.5. Все данные алгебры - полные алгебры диагональных матриц......Page 403
12.6. Категории и прямые суммы......Page 409
К главе 2......Page 413
К главе 3......Page 414
К главе 4......Page 415
К главе 6......Page 417
К главе 7......Page 419
К главе 8......Page 420
К главе 9......Page 423
К главе 10......Page 424
К главе 11......Page 425
Untitled......Page 1