Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами изложена с теоретико-модельных позиций. Показано, что большинство базовых понятий, результатов и идей классической алгебраической геометрии над полем допускают обобщение на случай произвольных алгебраических систем любой сигнатуры. При этом алгебро-геометрический аппарат существенно расширяется за счёт привлечения техники и серьёзных результатов из теории моделей.
Для специалистов по алгебре и теории моделей. Доступна аспирантам и студентам математических специальностей.
Author(s): Даниярова Э.Ю., Мясников А.Г., Ремесленников В.Н.
Publisher: СО РАН
Year: 2016
Language: Russian
Pages: 244
City: Новосибирск
«Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами» (2016) ......Page 1
Оглавление ......Page 4
Предисловие ......Page 10
Техническое введение ......Page 15
1.1.1. Языки ......Page 21
1.1.2. Алгебраические системы ......Page 22
1.1.3. Гомоморфизмы ......Page 24
1.2.1. Термы, атомарные формулы и термальные алгебраические системы ......Page 26
1.2.2. Формулы и выполнимость ......Page 27
1.2.3. Классификация формул ......Page 28
1.2.4. Тождества, антитождества, квазитождества, бесконечные универсальные предложения ......Page 29
1.2.5. Теории и аксиоматизируемость ......Page 30
1.2.6. Вложимость и элементарная вложимость ......Page 32
1.3.1. Прямые произведения ......Page 33
1.3.2. Фильтрованные произведения ......Page 34
1.3.3. Ультрапроизведения ......Page 35
1.3.4. Прямые и обратные пределы ......Page 36
1.4. Диаграммные формулы и предельные системы ......Page 38
1.4.1. Диаграммные формулы ......Page 39
1.4.2. Локальная вложимость и аксиомы главных универсальных классов ......Page 40
1.4.3. Предельные алгебраические системы ......Page 41
1.5.1. Конгруэнции Кона-Мальцева ......Page 45
1.5.2. Конгруэнции Горбунова-Туманова ......Page 47
1.5.3. Конгруэнции на термальной системе ......Page 49
1.5.4. Порождающие элементы и определяющие соотношения ......Page 50
1.5.5. Атомарные типы ......Page 51
1.6. Классы алгебраических систем ......Page 52
1.6.1. Операторы ......Page 53
1.6.2. Аппроксимируемость и дискриминируемость ......Page 54
1.6.3. Соотношения между классами и итоговые теоремы ......Page 58
1.6.4. Компактные классы и алгебраические системы ......Page 60
1.6.5. Геометрические эквивалентности алгебраических систем ......Page 63
1.6.6. Главные универсальные классы и квазимногообразия ......Page 65
2.1.1. Уравнения, коэффициенты, роль языка ......Page 70
2.1.2. Алгебраические множества ......Page 71
2.1.3. Радикалы ......Page 74
2.1.4. Координатные алгебры ......Page 76
2.1.5. Множества реализаций атомарных типов ......Page 79
2.2.1. Топология Зарисского ......Page 80
2.2.2. Неприводимые множества ......Page 81
2.2.3. Неприводимые компоненты ......Page 83
2.2.4. Топологическая нётеровость ......Page 84
2.2.5. Пустое множество и тривиальная система ......Page 86
2.2.6. Дизъюнктивные множества ......Page 88
2.2.7. Дизъюнктивные радикалы ......Page 89
2.3.1. Категория алгебраических множеств и категория координатных алгебр ......Page 90
2.3.2. Теорема о дуальной эквивалентности ......Page 92
2.4. Классификационные задачи ......Page 95
2.4.1. Список классификационных задач ......Page 96
2.4.2. Классификация координатных алгебр ......Page 98
2.4.3. Пример абелевых групп ......Page 101
2.5. Нётеровы по уравнениям алгебраические системы ......Page 102
2.5.1. Критерии нётеровости по уравнениям ......Page 103
2.5.2. Положительные и отрицательные примеры ......Page 106
2.5.3. Класс нётеровых по уравнениям алгебраических систем ......Page 108
2.5.4. Свойства компактности для нётеровых по уравнениям алгебраических систем ......Page 109
2.5.5. Объединяющие теоремы для нётеровых по уравнениям алгебраических систем ......Page 110
2.5.6. Применение объединяющих теорем на примере ......Page 112
2.6. Dis-пределы ......Page 113
2.7.2. Проблемы в свободной алгебре Ли ......Page 117
2.7.3. Вопросы нётеровости по уравнениям ......Page 118
2.7.4. Вопросы существования Dis-предела ......Page 119
Глава 3. Компактность как обобщение нётеровости по уравнениям ......Page 120
3.1.1. Определения qω- и uω-компактных алгебраических систем ......Page 121
3.1.2. Границы применимости объединяющих теорем ......Page 122
3.1.3. Формулировки критериев qω- и uω-компактности ......Page 123
3.1.4. Доказательство критериев qω- и uω-компактности ......Page 125
3.1.5. Существование uω-компактного расширения ......Page 127
3.2.1. Слабая нётеровость по уравнениям ......Page 130
3.2.2. Геометрически слабая uω-компактность ......Page 132
3.2.3. Логически слабая uω-компактность ......Page 134
3.2.4. Логически неприводимые алгебраические множества ......Page 135
3.3. Классы N, N', Q, U, U', U" ......Page 137
3.3.1. Разграничение классов N, N', Q, U, U', U" ......Page 138
3.3.2. Предмногообразия и аксиоматизируемые классы ......Page 140
3.3.3. Проблема существования Dis-предела в классах Q, U, N' ......Page 141
3.3.4. Открытые проблемы и вопросы ......Page 142
Глава 4. Эквациональные области и ко-области ......Page 143
4.1. Эквациональные области ......Page 144
4.1.1. Критерии эквациональных областей ......Page 145
4.1.2. Однотипные эквациональные области ......Page 148
4.1.3. Формульные эквациональные области ......Page 149
4.1.4. Дискриминирующие и ко-дискриминирующие алгебраические системы ......Page 151
4.1.5. Эквациональные области и неприводимые алгебраические множества ......Page 152
4.2.1. Класс коммутативных ассоциативных колец ......Page 155
4.2.2. Класс алгебр над кольцами ......Page 157
4.2.3. Класс групп ......Page 162
4.2.4. Примеры ......Page 164
4.3.1. Критерии эквациональных ко-областей ......Page 168
4.3.2. Примеры ......Page 172
4.4. Пересечения классов D, Dc, N, N', Q, U, U', U" ......Page 173
4.4.2. Пересечения D с N, N', Q, U, U', U" ......Page 174
4.4.4. Открытые проблемы и вопросы ......Page 176
Глава 5. Геометрические эквивалентности ......Page 177
5.1. Геометрическая эквивалентность ......Page 179
5.1.1. Критерии геометрической эквивалентности ......Page 180
5.1.2. ω-геометрическая эквивалентность ......Page 184
5.1.3. Геометрическая эквивалентность в классах N, N', Q, U ......Page 185
5.1.4. Геометрическая эквивалентность и qω-компактность ......Page 186
5.1.5. Геометрическая эквивалентность в классах D и Dc ......Page 188
5.2.1. Критерии универсальной геометрической эквивалентности ......Page 189
5.2.2. Сравнение геометрической и универсальной геометрической эквивалентностей ......Page 193
5.2.3. Универсальная ω-геометрическая эквивалентность ......Page 195
5.2.4. Универсальная геометрическая эквивалентность в классах N и N' ......Page 197
5.2.5. Универсальная геометрическая эквивалентность и uω-компактность ......Page 198
5.2.6. Универсальная геометрическая эквивалентность в классах Q, U', U" ......Page 200
5.2.7. Универсальная геометрическая эквивалентность в классах D и Dc ......Page 201
5.3. Семь эквивалентностей и особые классы ......Page 203
5.3.1. Класс нётеровых по уравнениям алгебраических систем N ......Page 204
5.3.6. Класс эквациональных ко-областей Dc ......Page 205
5.3.12. Класс слабо нётеровых по уравнениям эквациональных областей D ∩ N' ......Page 206
5.3.17. Открытые проблемы и вопросы ......Page 207
Глава 6. Ординальная размерность ......Page 208
6.1.1. Частично упорядоченные множества ......Page 210
6.1.2. Ординальные градуировки ......Page 212
6.1.3. Произведение частично упорядоченных множеств ......Page 215
6.2.1. Частично упорядоченные множества МY и MRad(Y) ......Page 216
6.2.2. Частично упорядоченное множество ......Page 217
6.2.3. Частично упорядоченное множество МK(Γ(Y)) ......Page 218
6.3. Размерности Зарисского, Крулля, радикальная, проективная ......Page 219
6.3.1. Размерность Зарисского ......Page 220
6.3.3. Равенство размерностей ......Page 221
6.3.4. Алгебраические системы с ординальной размерностью Зарисского ......Page 223
6.3.6. Практические примеры ......Page 225
6.3.7. Размерность произведения алгебраических множеств ......Page 227
6.3.8. Специальные примеры ......Page 228
Список литературы ......Page 231
