球関数・円筒函数・超幾何函数

序
復刻版刊行に際して
目次
第I編
第I章　母函数
§1. Legendre係数 P_n(z), Bessel係数 J_n(z) とその母函数
i.
ii.
iii.
§2. Tscheby$cheff の多項式 T_n(z), Hermite の多項式H_n(z), Laguerre の多項式 L_n(z) とその母函数
i. Tschebyscheff の多項式とその母函数
ii. Hermite の多項式とその母函数
iii. Laguerre の多項式とその母函数
第II章　漸化式
§3. P_n(z) 及び J_n(z) に関する漸化式
i. P_n(z) に關する漸化式． Legendre 多項式の母函數展開式
ii. J_n(z) に關する漸化式． Bessel 係数の母函数展開式
§4. T_n(z), H_n(z), I_n(z) に関する漸化式
i. Tschebyscheff の多項式 T_n(z) に関する漸化式
ii. Hermite の多項式 H_n(z) に關する漸化式
iii. Laguerre の多項式 L_n(z) に関する漸化式
第III章　直交性と規格化積分
§5. P_n(z), J_n(z), H_n(z), L_n(z) に関する直交性，重率函数
§6. P_n(z), H_n(z), L_n(z) に関する規格化積分
定理と問題 (第I章ー第III章)
第IV章　超幾何微分方程式とその多項式解
§7. Legendre の微分方程式とその級数解
i. z=0 の周りの級數解
ii. z=∞ の周りの級数解 Q_n(z)
§8. Gauss の超幾何微分方程式とその級数解，超幾何函数 F(α, β, γ ; z)
§9. 超幾何函数と Legendre 函数, P_n(z), Q_n(z)
§10. Jacobi の多項式 P^{(α,β)}_n(z) とその特殊の場合， Legendre の陪函数 P^m_n(z), Q^m_n(z)
§11. P^{(α,β)}_n(z) に関する規格化積分，P^m_n(z) の規格直交性
第V章　合流型超幾何微分方程式とその多項式解
§12. 合流型超幾何微分方程式とその級数解，合流型超幾何函数F(α, γ ; z) Whittaker の微分方程式
i. 合流型超幾何方程式．超幾何微分方程式
ii. Whittaker の微分方程式
§13. 合流型超幾何微分方程式の多項式解， Laguerre の陪微分方程式と陪多項式 L^m_n(z)
§14. Hermite の方程式との関係
§15. Bessel の微分方程式の級数解
i. Besselの微分方程式
ii. 球 Bessel 函数
定理と問題 (第IV章ー第V章)
第VI章　特殊偏微分方程式の変数分離により現はれる常微分方程式とその固有値問題
A. 変数分離により現われる方程式
§16. 直交曲線座標
§17. 直角座標 (x, y, z) による分離
§18. 筒座標 (u_1, u_2, z) で表わした ΔΨ, 円筒座標 (ρ, φ, z) による分離
i. 筒座標
ii. 円筒座標
§19. 放物筒座標 (ξ, η, z) による分離
§20. 楕円筒座標 (u, v, z) による分離
§21. 回転座標 (u_1, u_2, φ) で表わした Δψ, 球座標 (r, θ, φ) による分離
i. 廻轉座標
ii. 球座標
§22. 回転放物面座標 (ξ, η, φ) による分離
§23. 扁長回転楕円面座標 (u, v, φ) による分離
§24. 扁平回転楕円面座標 (u, v, φ) による分離
§25. 双極座標 (u, v, φ) による分離
§26. 円環座標 (u, v, φ) による分離
B. 二階微分方程式の主要部の昇降演算子による因子分解
§27. 昇降演算子と与方程式の主要部の因子分解(1)
i. 昇降演算子の例
ii. 一般論
iii. 應用
(1) Legendre の陪方程式
(2) 超幾何方程式
(3) 合流型超幾何方程式
(4) Whittaker の方程式
§28. 昇降演算子と与方程式の主要部の因子分解(2)
i. 一般論．自己随伴型の場合，分解可能の條件
ii. 應用
(1) Whittaker の方程式
(2) Legendre の陪方程式
C. 境界条件に対する固有函数としての諸超越函数，展開定理，積分定理
§29. Legendre 函数及び陪函数
i. 第一種の Legendre 函數
ii. 第二種の Legendre 函数
iii. Legendre の陪函數
iv. 實數域 -1≦z≦1 に對する固有函数としての P^m_n(z)
v. -1≦z≦1 以外の変域に対する固有函数
vi. 函數 P^{-m}_ν(z), Q^{-m}_ν(z)
§30. 球調和函数
§31. Jacobi の多項式
§32. Bessel 函数，円筒函数
§33. Weber-Hermite の函数
i. 量子力学的調和振動子
ii. 放物筒波
iii. 熱傳導或ひは擴散の方程式と Hermite の多項式 H_n
§34. Whittaker の函数
定理と問題 (第VI章)
第II編
第I章　積分表示式
§35. 積分表示一般論
1° 母函數變換
2° Euler 變換と Laplace 變換
§36. Bessel 函数の積分表示式
i. Sommerfeld の積分表示式
ii. 積分変数の變換
iii. 整數次の Neumann 函數
iv. 一般の円筒函数
v. 從屬變數の變換
§37. Legendre 函数に関する積分表示式
i. P_ν(z) と Q_ν(z) に對する一般の定義
ii. 漸化式
iii. 其の他の積分表示式
§38. 超幾何函数，超球函数並びに Legendre 陪函数に関する積分表示式
i. 超幾何函数
ii. 超球函數と Legendre の陪函數
§39. 合流型超幾何函数に関する積分表示式
i. 一般の合流型超幾何函數
ii. Laguerre の陪函數
iii. Whittaker の函數
定理と問題 (第I章)
第II章　漸近展開
§40. 円筒函数
§41. 合流型超幾何函数
i. 合流型超幾何函數
ii. Laguerre の陪函數
iii. Whittaker の函數
iv. Weber-Hermite の函數
§42. 鞍部点法
i. 一般論
ii. 円筒函数（變數並びにパラメータが共に大なるときの漸近展開）
iii. 稍〃複雜な函數に對する鞍部點法の適用例
定理と問題 (第II章)
第III章　変換公式，解析延長に関する諸公式
§43. 超幾何函数並びに合流型超幾何函数
i. 超幾何函數 Gauss 並びに Kummer の變換式
ii. Barnes の積分表示式と Kummer の變換公式
iii. 合流型超幾何函數， Whittaker の函數
§44. Legendre の函数
§45. Wronski 行列式と Lommel の公式
i. Bessel の微分方程式
ii. Legendre の方程式
iii. 超幾何方程式
定理と問題 (第III章)
第IV章　加法定理に関連した展開公式
§46. 1/r_{12} に関する Legendre 展開と Neumann 展開
i. Legendre の多項式に關する加法定理
ii. Neumann 展開
§47. 簡単な波の素波展開と加法定理
i. 平面波
ii. 円筒状波
iii. 球状波
定理と問題 第IV章
第V章　諸超越函数を含む定積分
§48. 球函数を含む定積分
§49. 円筒函数を含む有限定積分
i. Sonine の第一積分
ii. Sonine の第二積分
iii. \displaystyle{\int^{\frac{\pi}{2}}_0}J_\mu(z \sin^2 \theta) J_\nu(z \cos^2 \theta) \sin^{2\mu+1}\theta \cos^{2\nu+1}\theta d\theta
§50. 円筒函数を含む無限積分
i. 無限積分
ii. Weber の無眼積分
iii. Weber-Schafheitlin の不連續積分
iv. \displaystyle{\int^\infty_0}J_\mu(at) \frac{J_\nu(b\sqrt{t^2+z^2})}{(t^2+z^2)^{\frac{\nu}{2}}}t^{\mu+1} dt
v. \displaystyle{\int^\infty_0}J_\mu(at) \frac{K_\nu(b\sqrt{t^2+z^2})}{(t^2+z^2)^{\frac{\nu}{2}}}t^{\mu+1} dt
§51. Hermite 函数並びに Laguerre の函数を含む無限積分
i. m, nが正整数のとき
ii. n が正整数のとき
補遺
§52. 周辺積分表示式により定義された函数の多価性の問題
付録　　数値，図表，数値計算に関する実例
§53. J_ν(x)
§54. N_ν(z) ≡ Y_ν(z)
§55. I_n(z) 並びに K_n(z)
§56. P_ν(z) 並びに Q_ν(z)
§57. H_n(z) 及び L_n(z)
§58. F(α, γ ; z)
参考文献
一般・球函数・円筒函数
超幾何関数・数値，図表
追加文献
A, B, E, H, I1, I2, K1
K2, L, M1, M2, M3, R1, R2, S1, S2, S3
V
索引
あ、う、え、お、か、き
く、け、こ、し
せ、そ
た、ち、て
に、の、は、ひ、ふ、へ
ほ
ま、め、や、ら、る
ろ