In diesem Buch finden Sie Perlen der Mathematik aus 2500 Jahren, beginnend mit Pythagoras und Euklid über Euler und Gauß bis hin zu Poincaré und Erdös. Sie erhalten einen Überblick über schöne und zentrale mathematische Sätze aus neun unterschiedlichen Gebieten und einen Einblick in große elementare Vermutungen.
Die Vielfalt an schönen Resultaten bietet eine einzigartige mathematisch-allgemeinbildende Lektüre auf akademischem Niveau.
Die Beweise in diesem Buch sind möglichst einfach und kurz gehalten und vermitteln Ihnen wesentliche Ansätze, Ideen und Strategien ohne große Vorkenntnisse vorauszusetzen. Die verwendeten Begriffe werden zumeist im Text eingeführt und zu grundlegenden Begriffen steht Ihnen zusätzlich ein Anhang zur Verfügung.
Als Student der Mathematik oder Naturwissenschaften können Sie das Buch verwenden, um Ihre Perspektive zu erweitern und Ihre mathematische Bildung zu vertiefen. Hochschullehrer können jedes Kapitel des Buches zur Ausgestaltung eines Proseminars heranziehen. Wenn Sie einfach nur an Mathematik interessiert sind, und die Analysis und Lineare Algebra ein wenig kennen, wird Sie dieses Buch in das Reich der reinen Mathematik entführen.
Die vorliegende dritte Auflage ist vollständig durchgesehen und um etliche Themen ergänzt.
Author(s): Jörg Neunhäuserer
Edition: 3
Publisher: Springer Spektrum
Year: 2022
Language: German
Commentary: Publisher PDF
Pages: 235
City: Berlin
Tags: Algebra; Analysis; Diskrete Mathematik; Dynamische Systeme; Geometrie; Mengenlehre; Topologie; Wahrscheinlichkeitstheorie; Zahlentheorie; Discrete Mathematics; Dynamic Systems; Geometry; Set Theory; Topology; Probability Theory; Number Theory
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
1 Mengenlehre
1.1 Einführung
1.2 Abzählbare Mengen
1.3 Die reellen Zahlen
1.4 Kardinalzahlen
1.5 Das Auswahlaxiom und seine Konsequenzen
1.6 Ordinalzahlen
2 Diskrete Mathematik
2.1 Einführung
2.2 Fakultäten und Binomialkoeffizienten
2.3 Das Schubfachprinzip
2.4 Das Einschluss-Ausschluss-Prinzip
2.5 Der Heiratssatz von Hall
2.6 Bäume und Catalan-Zahlen
2.7 Euler-Wege
2.8 Die Ramsey-Theorie
2.9 Das Lemma von Sperner und der Fixpunktsatz von Brouwer
3 Geometrie
3.1 Einführung
3.2 Dreiecke
3.3 Vierecke
3.4 Der Goldene Schnitt
3.5 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
3.6 Geraden in der Ebene
3.7 Polyeder
3.8 Nichteuklidische Geometrie
4 Analysis
4.1 Einführung
4.2 Geometrische und harmonische Reihen
4.3 Ungleichungen
4.4 Zwischenwertsatz, Mittelwertsätze und der Hauptsatz
4.5 Taylor-Reihen
4.6 Die Archimedes-Konstante π
4.7 Die Eulersche Zahl e
4.8 Die Gamma-Funktion
4.9 Bernoulli-Zahlen
4.10 Der Riemannsche Umordnungssatz
5 Topologie
5.1 Einführung
5.2 Kompaktheit und Vollständigkeit
5.3 Homöomorphe Räume
5.4 Die Peano-Kurve
5.5 Der Hilbert-Würfel
5.6 Die Cantor-Menge
5.7 Bairesche Kategorien
5.8 Der Fixpunktsatz von Banach und Fraktale
6 Algebra
6.1 Einführung
6.2 Determinanten und Eigenwerte
6.3 Gruppentheorie
6.4 Ringe
6.5 Einheiten, Körper und die Euler-Funktion
6.6 Der Fundamentalsatz der Algebra
6.7 Lösungen von algebraischen Gleichungen
7 Zahlentheorie
7.1 Einführung
7.2 Fibonacci-Zahlen
7.3 Primzahlen
7.4 Diophantische Gleichungen
7.5 Die Partition von Zahlen
7.6 Irrationale Zahlen
7.7 Der Satz von Dirichlet und Kettenbrüche
7.8 Pisot-Zahlen
7.9 Liouville-Zahlen
8 Wahrscheinlichkeitstheorie
8.1 Einführung
8.2 Das Geburtstagsproblem
8.3 Der Satz von Bayes
8.4 Die Buffonsche Nadel
8.5 Erwartungswert, Varianz und das Gesetz der großen Zahlen
8.6 Die Binomial- und die Poisson-Verteilung
8.7 Normalverteilung
8.8 Irrfahrten auf den ganzen Zahlen
9 Dynamische Systeme
9.1 Einführung
9.2 Periodische Orbits
9.3 Chaos
9.4 Konjugierte Systeme
9.5 Hufeisen, Solenoid und Julia-Mengen
9.6 Ergodentheorie
10 Vermutungen
10.1 Einführung
10.2 Das Collatz-Problem
10.3 Ramsey-Zahlen
10.4 Die Goldbachsche Vermutung
10.5 Primzahlzwillinge
10.6 Die Riemannsche Vermutung
10.7 Vollkommene, einsame und befreundete Zahlen
10.8 Irrationale und transzendente Zahlen
10.9 Normale Zahlen
10.10 Die abc-Vermutung
11 Anhang
11.1 Mengen
11.2 Relationen
11.3 Funktionen und Folgen
11.4 Zahlen
11.5 Grundbegriffe der linearen Algebra
11.6 Grundbegriffe der Analysis und der Topologie
11.7 Maß und Integration
Literatur
Personenverzeichnis
Personenverzeichnis
Sachverzeichnis
Sachverzeichnis
1 Mengenlehre
1.1 Einführung
1.2 Abzählbare Mengen
1.3 Die reellen Zahlen
1.4 Kardinalzahlen
1.5 Das Auswahlaxiom und seine Konsequenzen
1.6 Ordinalzahlen
2 Diskrete Mathematik
2.1 Einführung
2.2 Fakultäten und Binomialkoeffizienten
2.3 Das Schubfachprinzip
2.4 Das Einschluss-Ausschluss-Prinzip
2.5 Der Heiratssatz von Hall
2.6 Bäume und Catalan-Zahlen
2.7 Euler-Wege
2.8 Die Ramsey-Theorie
2.9 Das Lemma von Sperner und der Fixpunktsatz von Brouwer
3 Geometrie
3.1 Einführung
3.2 Dreiecke
3.3 Vierecke
3.4 Der Goldene Schnitt
3.5 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
3.6 Geraden in der Ebene
3.7 Polyeder
3.8 Nichteuklidische Geometrie
4 Analysis
4.1 Einführung
4.2 Geometrische und harmonische Reihen
4.3 Ungleichungen
4.4 Zwischenwertsatz, Mittelwertsätze und der Hauptsatz
4.5 Taylor-Reihen
4.6 Die Archimedes-Konstante
4.7 Die Eulersche Zahl e
4.8 Die Gamma-Funktion
4.9 Bernoulli-Zahlen
4.10 Der Riemannsche Umordnungssatz
5 Topologie
5.1 Einführung
5.2 Kompaktheit und Vollständigkeit
5.3 Homöomorphe Räume
5.4 Die Peano-Kurve
5.5 Der Hilbert-Würfel
5.6 Die Cantor-Menge
5.7 Bairesche Kategorien
5.8 Der Fixpunktsatz von Banach und Fraktale
6 Algebra
6.1 Einführung
6.2 Determinanten und Eigenwerte
6.3 Gruppentheorie
6.4 Ringe
6.5 Einheiten, Körper und die Euler-Funktion
6.6 Der Fundamentalsatz der Algebra
6.7 Lösungen von algebraischen Gleichungen
7 Zahlentheorie
7.1 Einführung
7.2 Fibonacci-Zahlen
7.3 Primzahlen
7.4 Diophantische Gleichungen
7.5 Die Partition von Zahlen
7.6 Irrationale Zahlen
7.7 Der Satz von Dirichlet und Kettenbrüche
7.8 Pisot-Zahlen
7.9 Liouville-Zahlen
8 Wahrscheinlichkeitstheorie
8.1 Einführung
8.2 Das Geburtstagsproblem
8.3 Der Satz von Bayes
8.4 Die Buffonsche Nadel
8.5 Erwartungswert, Varianz und das Gesetz der großen Zahlen
8.6 Die Binomial- und die Poisson-Verteilung
8.7 Normalverteilung
8.8 Irrfahrten auf den ganzen Zahlen
9 Dynamische Systeme
9.1 Einführung
9.2 Periodische Orbits
9.3 Chaos
9.4 Konjugierte Systeme
9.5 Hufeisen, Solenoid und Julia-Mengen
9.6 Ergodentheorie
10 Vermutungen
10.1 Einführung
10.2 Das Collatz-Problem
10.3 Ramsey-Zahlen
10.4 Die Goldbachsche Vermutung
10.5 Primzahlzwillinge
10.6 Die Riemannsche Vermutung
10.7 Vollkommene, einsame und befreundete Zahlen
10.8 Irrationale und transzendente Zahlen
10.9 Normale Zahlen
10.10 Die abc-Vermutung
11 Anhang
11.1 Mengen
11.2 Relationen
11.3 Funktionen und Folgen
11.4 Zahlen
11.5 Grundbegriffe der linearen Algebra
11.6 Grundbegriffe der Analysis und der Topologie
11.7 Maß und Integration
Literatur
Personenverzeichnis
Sachverzeichnis
