Calcul différentiel et intégral 2

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Avant-propos à la cinquième édition
CHAPITRE XIII ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
1. Position du problème. Équation du mouvement du corps pour un milieu où la résistance est proportionnelle à la vitesse. Équation de la chaînette
2. Définitions
3. Équations différentielles du premier ordre (notions générales)
4. Équations à variables séparées et séparables. Problème de la désintégration du radium
5. Équations homogènes du premier ordre
6. Équations se ramenant aux équations homogènes
7. Équations linéaires du premier ordre
8. Équation de Bernoulli
9. Équations aux différentielles totales
10. Facteur intégrant
11. Enveloppe d'une famille de courbes
12. Solutions singulières des équations différentielles du premier ordre
13. Équation de Clairaut
14. Équation de Lagrange
15. Trajectoires orthogonales et isogonales
16. Équations différentielles d'ordre supérieur à un (notions générales)
17. Équation de la forme y^{(n)} = f(x)
18. Quelques types d'équations différentielles du second ordre se ramenant à des équations du premier ordre. Problème de la deuxième vitesse cosmique
19. Intégration graphique des équations différentielles du second ordre
20. Équations linéaires homogènes. Définitions et propriétés générales
21. Équations linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants
22. Équations différentielles linéaires homogènes d'ordre n à coefficients constants
23. Équations linéaires non homogènes du second ordre
24. Équations linéaires non homogènes du second ordre à coefficients constants
25. Équations linéaires non homogènes d'ordre n
26. Équation différentielle d'oscillations mécaniques
27. Oscillations libres. Représentations complexe et vectorielle des oscillations harmoniques
28. Oscillations forcées
29. Systèmes d'équations différentielles ordinaires
30. Systèmes d'équations différentielles linéaires à coefficients constants
31. Notion sur la théorie de la stabilité de Liapounov. Comportement des trajectoires de l'équation différentielle au voisinage d'un point singulier
32. Solution approchée des équations différentielles du premier ordre par la méthode d'Euler
33. Solution approchée des équations différentielles par la méthode des différences finies basée sur l'application de la formule de Taylor. Méthode d'Adams
34. Méthode de Runge-Kutta
35. Méthode approchée d'intégration des systèmes d'équations différentielles du premier ordre
Exercices
CHAPITRE XIV INTÉGRALES MULTIPLES
1. Intégrale double
2. Calcul des intégrales doubles
3. Calcul des intégrales doubles (suite)
4. Application des intégrales doubles au calcul d'aires et de volumes
5. Intégrales doubles en coordonnées polaires
6. Changement de variables dans une intégrale double (cas général)
7. Calcul des aires de surfaces
8. Densité de distribution de matière et intégrale double
9. Moment d'inertie d'une figure plane
10. Coordonnées du centre de gravité d'une figure plane
11. Intégrales t.riples
12. Calcul des intégrales triples
13. Changement de variables dans une intégrale triple
14. Moment d'inertie et coordonnées du centre de gravité d'un corps
{5. Intégrales dépendant d'un paramètre
Exercices
CHAPITRE XV INTÉGRALES CURVILIGNES ET INTÉGRALES DE SURFACE
1. Intégrale curviligne
2. Calcul de l'intégrale curviligne
3. Formule de Green
4. Conditions pour qu'une intégrale curviligne ne dépende pas du chemin d'intégration
5. Intégrales de surface
6. Calcul des intégrales de surface
7. Formule de Stokes
8. Formule d'Ostrogradsky
9. Opérateur hamiltonien et quelques applications
Exercices
CHAPITRE XVI SÉRIES
1. Série. Somme d'une série
2. Condition nécessaire de convergence d'une série
3. Comparaison des séries à termes positifs
4. Règle de d'Alembert
5. Règle de Cauchy
6. Comparaison avec une intégrale
7. Séries alternées. Théorème de Leibniz
8. Séries à termes de signes quelconques. Convergence absolue et semi-convergence
9. Séries de fonctions
10. Séries majorables
11. Continuité de la somme d'une série
12. Intégration et dérivation des séries
13. Séries entières ou séries de puissances. Intervalle de convergence
14. Dérivation des séries entières
15. Séries de puissances de x-a
16. Séries de Taylor et de Maclaurin
17. Exemples de développement de fonctions en séries
18. Formule d'Euler
19. Formule générale du binôme
20. Développement de la fonction Log(1+x) en série entière. Calcul de logarithmes
21. Application des séries au calcul d'intégrales définies
22. Application des séries à l'intégration d'équations différentielles
23. Équation de Bessel
24. Séries à termes complexes
25. Séries entières d'une variable complexe
26. Résolution de l'équation différentielle du premier ordre par la méthode des approximations successives (méthode d'itération)
27. Démonstration de l'existence de la solution d'une équation différentielle. Évaluation de l'erreur d'une solution approchée
28. Théorème d'unicité de la solution de l'équation différentielle
Exercices
CHAPITRE XVII SÉRIES DE FOURIER
1. Définition. Position du problème
2. Exemples de développement de fonctions en séries de Fourier
3. Une remarque sur le développement des fonctions périodiques en séries de Fourier
4. Séries de Fourier des fonctions paires et impaires
5. Séries de Fourier des fonctions de période 2l
6. Sur le développement en série de Fourier d'une fonction non périodique
7. Approximation en moyenne d'une fonction donnée au moyen de polynômes trigonométriques
8. Intégrale de Dirichlet
9. Convergence d'une série de Fourier en un point donné
10. Quelques conditions suffisantes pour la convergence d'une série de Fourier
11. Analyse harmonique numérique
12. Série de Fourier sous forme complexe
13. Intégrale de Fourier
14. Forme complexe de l'intégrale de Fourier
15. Série de Fourier suivant un système orthogonal de fonctions
16. Notion d'espace fonctionnel linéaire. Analogie entre le développement de fonctions en séries de Fourier et la décomposition des vecteurs
Exercices
CHAPITRE XVIII ÉQUATIONS DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE
1. Principaux types d'équations de la physique mathématique
2. Etablissement de l'équation pour des cordes vibrantes. Formulation du problème aux limites. Etablissement de l'équation pour des oscillations électriques dans un conducteur
3. Résolution de l'équation des cordes vibrantes par la méthode de séparation des variables (méthode de Fourier)
4. Équation de la propagation de la chaleur dans une barre. Enoncé du problème aux limites
5. Propagation de la chaleur dans l'espace
6. Résolution du premier problème aux limites pour l'équation de la chaleur par la méthode des différences finies
7. Propagation de la chaleur dans une barre infinie
8. Problèmes conduisant à l'étude des solutions de l'équation de Laplace. Énoncé des problèmes aux limites
9. Équation de Laplace en coordonnées cylindriques. Résolution du problème de Dirichlet pour un anneau avec des valeurs constantes de la fonction recherchée sur les circonférences intérieure et extérieure
10. Résolution du problème de Dirichlet pour le cercle
11. Résolution du problème de Dirichlet par la méthode des différences finies
Exercices
CHAPITRE XIX CALCUL OPRATIONNEL ET APPLICATIONS
1, Original et image
2. Image des fonctions σ₀(t), sin t, cos t
3. Image des fonctions à échelle modifiée de la variable indépendante. Image des fonctions sin at, cos at
4. Propriété de linéarité de l'image
5. Théorème du déplacement
6. Image des fonctions e^{-αt}, sh αt, ch αt, e^{-αt} sin at, e^{-αt} cos at
7. Dérivation de l'image
8. Image des dérivées
9. Dictionnaire d'images
10. Équation auxiliaire d'une équation différentielle donnée
11. Tbéorème de décomposition
12. Exemples de résolution des équations différentielles et des systèmes d'équations différentielles par la méthode du calcul opérationnel
13. Théorème de convolution
14. Equations différentielles des oscillations mécaniques. Equations différentielles de la théorie des circuits électriques
15. Résolution de l'équation différentielle des oscillations
16. Étude des oscillations libres
17. Étude des oscillations harmoniques amorties dans le cas d'une force extérieure périodique
18. Solution de l'équation des oscillations dans le cas de la résonance
19. Théoreme du retard
20. La fonction delta et son image
Exercices
CHAPITRE XX ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DES PROBABILITÉS ET DE LA STATISTIQUE MATHÉMATIQUE
1. Evénement aléatoire. Fréquence relative d'un événement aléatoire Probabilité d'un événement. Objet de la théorie des probabilités
2. Définition classique de la probabilité et calcul direct des probabilités
3. Somme des probabilités. Événements aléatoires contraires
4. Produit des probabilités des événements indépendants
5. Événements dépendants. Probabilité conditionnelle. Probabilité totale
6. Probabilités des causes. Formule de Bayes
7. Variable aléatoire discrète. Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète
8. Fréquence relative et probabilité de la fréquence relative au cours des épreuves répétées
9. Espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète
10. Variance.. Ecart quadratique moyen. Notion de moments
11. Fonction de variables aléatoires
12. Variable aléatoire continue. Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue. Probabilité pour qu'une variable aléatoire appartienne à un intervalle donné
13. Fonction de répartition ou loi intégrale de distribution. Loi de distribution uniforme
14. Caractéristiques numériques d'une variable aléatoire continue
15. Loi normale de distribution. Espérance mathématique de la distribution normale
16. Variance et écart quadratique moyen d'une variable aléatoire suivant la loi de distribution normale
17. Probabilité d'appartenance d'une valeur de la variable aléatoire à un intervalle donné. Fonction de Laplace. Fonction de répartition de la loi normale
18. Ecart médian
19. Expression de la loi normale en fonction de l'écart médian. Fonction réduite de Laplace
20. Règle dûs trois sigmas. Échelle des probabilités de distribution des erreurs
21. Erreur arithmétique moyenne
22. Mesure de précision. Relations entre les caractéristiques de distribution des erreurs
23. Variable aléatoire bidimensionnelle
24. Loi normale de distribution sur le plan
25. Probabilité pour qu'une variable aléatoire bidimensionnelle normalement distribuée appartienne à un rectangle de côtés parallèles aux axes principaux de dispersion
26. Probabilité pour qu'une variable aléatoire bidimensionnelle prenne une valeur appartenant à l'ellipse de dispersion
27. Problèmes de la statistique mathématique. Matériel statistique
28. Série statistique. Histogramme
29. Détermination de la valeur acceptable d'une grandeur mesurée
30. Estimation des paramètres de la loi de distribution. Théorème de Liapounov. Théorème de Laplace
Exercices
CHAPITRE XXI MATRICES. ÉCRITURE MATRICIELLE DES SYSTÈMES ET RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
1. Transformations linéaires. Matrice
2. Définitions générales liées à la notion de matrice
3. Transformation inverse
4. Opérations sur les matrices. Addition des matrices
5. Transformation d'un vecteur en un autre vecteur à l'aide d'une matrice
6. Matrice inverse
7. Calcul de la matrice inverse
8. Ecriture matricielle d'un système d'équations linéaires et des solutions d'un système d'équations linéaires
9. Résolution d'un système d'équations linéaires par la méthode matricielle
10. Application orthogonale. Matrices orthogonales
11. Vecteur propre d'une transformation linéaire
12. Matrice d'une transformation linéaire pour laquelle les vecteurs de base sont les vecteurs propres
13. Transformation de la matrice d'une transformation linéaire lors du passage d'une base à une autre
14. Formes quadratiques et leur transformation
15. Rang d'une matrice. Existence des solutions d'un système d'équations linéaires
16. Dérivation et intégration des matrices
17. Écriture matricielle d'un système d'équations différentielles et des solutions d'un système d'équations différentielles à coefficients constants
18. Écriture matricielle d'une équation linéaire du n-ième ordre
19. Résolution d'un système d'équations différentielles linéaires à coefficients variables par la méthode des approximations successives en utilisant l'écriture matricielle
Exercices
Annexes
Index