Zu jeder affinen Inzidenzebene, in welcher der große Satz von Desargues gilt (kurz: (D)-Ebene), wird mit Hilfe von Translationen und Streckungen ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Schiefkörper hergeleitet. Anders als in der bisherigen Literatur werden diese Abbildungen nicht axiomatisch, sondern konstruktiv eingeführt. Dieser Weg ist anschaulich und verdeutlicht den geometrischen Hintergrund der algebraischen Strukturen. Außerdem sichert er von Anfang an die Existenz hinreichend vieler solcher Abbildungen. Die Autoren weisen u.a. nach: • Die Isomorphieklassen von (D)-Ebenen und die Isomorphieklassen algebraisch affiner Ebenen entsprechen sich bijektiv. • Bei der Hilbertschen Streckenrechnung führen unterschiedliche Konstruktionsdaten zu isomorphen Schiefkörpern. • Translationen, Streckungen und axiale Kollineationen sind drei affine Spezialfälle derselben projektiven Situation. Inhalt und gewählte Vorgehensweise machen die mathematischen Grundlagen der analytischen Geometrie, wie sie bereits in der Oberstufe des Gymnasiums unterrichtet wird, klar. Aufgrund der ausführlichen und durch viele Abbildungen veranschaulichten Beweise ist dieses Buch auch bestens zum Selbststudium geeignet.
Author(s): Artur Bergmann, Erich Baumgartner
Publisher: Oldenbourg Wissenschaftsverlag
Year: 2013
Language: German
Pages: 347
Inhaltsverzeichnis......Page 6
Einleitung......Page 12
1.1 Definition affiner Inzidenzebenen......Page 18
1.2 Einfache Folgerungen......Page 20
1.3 Kollineationen......Page 23
1.4 Punktabbildung einer Kollineation......Page 25
1.5 Dilatationen......Page 26
1.6.1 Der große und der kleine Satz von DESARGUES......Page 28
1.6.2 Der große und der kleine Satz von Pappos......Page 31
1.6.3 Der Schließungssatz (D*)......Page 32
1.6.4 Der große und der kleine Scherensatz......Page 34
1.6.5 Zusammenhange zwischen den Schließungssätzen......Page 35
1.6.6 (D)-Ebenen u.ä......Page 36
2.1 Definition von Parallelogrammen......Page 38
2.2 Zur Definition uneigentlicher Parallelogramme......Page 42
2.3 Eigenschaften von Parallelogrammen......Page 43
2.4 Definition von Parallelverschiebungen......Page 47
2.5 Einige Eigenschaften der Parallelverschiebungen......Page 49
2.6 Die abelsche Gruppe der Parallelverschiebungen......Page 50
2.7 Parallelverschiebungen respektieren die Kollinearitat......Page 52
2.8 Parallelverschiebungen als Kollineationen......Page 53
2.10 Fixpunkte, Fixgeraden, Spuren, Richtung von Parallelverschiebungen......Page 54
2.11 Die Untergruppen Tg von T......Page 55
2.12 Zusammenhang zwischen T und P, sowie zwischen Tg und Pg......Page 56
2.13 Konjugationen in Gruppen......Page 57
2.14 Konjugation von Parallelverschiebungen mit Kollineationen......Page 58
2.15 Algebraische Struktur der Gruppe (T, o)......Page 59
2.16 Zusammenhang zwischen Parallelverschiebungen und Translationen......Page 60
2.17 Operieren der Translationsgruppe T auf der Punktmenge P......Page 63
2.18 Parallelgleichheit; Vektoren als Äquivalenzklassen......Page 68
2.19 Ortsvektoren......Page 69
2.20 Ein geometrischer Beweis von Eigenschaft 2.5 (2)......Page 70
3 Streckungen in (D)-Ebenen......Page 72
3.1 Definition von Z-Trapezen......Page 73
3.2 Zur Definition von uneigentlichen Z-Trapezen......Page 75
3.3 Eigenschaften von Z-Trapezen......Page 76
3.4 Definition von Streckungen......Page 79
3.5 Einige Eigenschaften der Streckungen......Page 81
3.6 Die Gruppe der Streckungen mit Zentrum Z......Page 82
3.7 Streckungen erhalten die Kollinearität......Page 85
3.9 Streckungen als Dilatationen......Page 86
3.11 Zusammenhang in (D)-Ebenen zwischen der Menge aller Z-Streckungen und der Menge aller Punkte einer Geraden durch Z......Page 87
3.13 Isomorphie aller Streckungsgruppen......Page 89
3.14 Konjugation von Parallelverschiebungen mit Streckungen......Page 90
3.15 Zusammenhang zwischen Streckungen und Dilatationen mit einem Fixpunkt......Page 91
3.16 Die Streckungsgruppe mit Zentrum Z operiert in (D)-Ebenen auf jeder Geraden durch Z......Page 93
3.17 Z-Streckungsgleichheit......Page 96
3.18 Ein geometrischer Beweis von Satz 3.14......Page 97
3.19 (D) ist eine notwendige Voraussetzung für Satz 3.11......Page 99
4 Schiefkörper der spurtreuen Endomorphismen von T......Page 102
4.1.2 Abelsche Gruppen als Linksmoduln über ihrem Endomorphismenring......Page 104
4.2 Anwendung auf die abelsche Gruppe (T, o) der Parallelverschiebungen......Page 105
4.3 Spurtreue Endomorphismen von (T, o)......Page 108
4.4 Geometrische Verhaültnisse bei der Anwendung spurtreuer Endomorphismen von (T, o) in (d)-Ebenen......Page 110
4.5 Spurtreue Endomorphismen von (T, o) in (D)-Ebenen......Page 112
4.6 Der Gruppenhomomorphismus konj : Dil (A) ^ Aut(T, o)......Page 116
4.7 Der Schiefkörper K der spurtreuen Endomorphismen von (T, o) in (D)-Ebenen......Page 118
4.8 Der einer (D)-Ebene zugeordnete Linksvektorraum KT......Page 123
4.9 Eigenschaften der von O verschiedenen spurtreuen Endomorphismen in (d)-Ebenen......Page 124
4.10 Der Schiefkürper K der spurtreuen Endomorphismen in (d)-Ebenen......Page 129
4.12 Algebraischer Beweis der Surjektivitüat der von O verschiedenen spurtreuen Endomorphismen in (d)-Ebenen......Page 133
4.13 Algebraischer Beweis von K = Konj5o U {O} in (D)-Ebenen......Page 134
5.1 Algebraisch affine Ebenen......Page 138
5.1.1 Algebraische affine Rüume und Ebenen......Page 139
5.1.3 Unterraume eines algebraisch affinen Raumes......Page 141
5.1.4 Einige Eigenschaften affiner Unterrüume......Page 144
5.1.5 Semi-Affinitüten und Affinitaten zwischen affinen Raumen......Page 145
5.2 Die einer algebraisch affinen Ebene A kanonisch zugeordnete (D)-Ebene G (A)......Page 151
5.3 Die einer (D)-Ebene A kanonisch zugeordnete algebraisch affine Ebene F (A)......Page 154
5.4 Kollineationen zwischen (D)-Ebenen induzieren Semi-Affinitäten zwischen den kanonisch zugeordneten algebraisch affinen Ebenen......Page 155
5.5 Semi-Affinitaäten zwischen algebraisch affinen Ebenen induzieren Kollineationen zwischen den kanonisch zugeordneten (D)-Ebenen......Page 161
5.6 Das Kompositum G o F der kanonischen Zuordnungen liefert eine Kollineation A ^ G o F (A) von (D)-Ebenen......Page 163
5.7.1 Bezeichnungen......Page 164
5.7.2 Bestimmung von T(G (A))......Page 165
5.7.4 Bestimmung des Schiefkörpers K(G (A))......Page 167
5.7.6 Semi-Affinität von A auf F (G (A))......Page 170
5.7.7 Ergebnis......Page 171
5.8 Bijektion zwischen der Menge der Isomorphieklassen von (D)-Ebenen und der Menge der Isomorphieklassen von algebraisch affinen Ebenen......Page 172
5.9 Der Hauptsatz der affinen Geometrie und sein Analogon......Page 173
5.10 Koordinaten in (D)-Ebenen......Page 175
5.11 Ist der Grundkärper von A kommutativ, so gilt in G (A) der große Satz von Pappos......Page 178
6 Affine Kollineationen, insbesondere axiale Kollineationen in (D)-Ebenen; Affinitäten und Achsenaffinitäten in algebraisch affinen Ebenen......Page 180
6.1 Affine Kollineationen in (D)-Ebenen......Page 181
6.2 (ng , a)- Vierecke......Page 183
6.3 Eigenschaften von (ng , a) - Vierecken......Page 187
6.4 Zur Definition uneigentlicher (ng , a)-Vierecke......Page 192
6.5 (ng , a) - Abbildungen......Page 193
6.6 (ng , a) - Abbildungen induzieren Kollineationen......Page 197
6.7 Eigenschaftender (ng , a) - Kollineationen......Page 201
6.9 Äquivalenz von (ng , a)-Kollineationen und axialen Kollineationen......Page 203
6.10 Fundamentalsatz der affinen Geometrie in (D)-Ebenen......Page 207
6.11 Komposition axialer Kollineationen mit gleicher Achse......Page 209
6.12 (ng , a) - Äquivalenz......Page 212
6.13 Äxiale Kollineationen und Achsenaffinitäten......Page 213
6.14.1 Algebraische Beschreibung von Achsenaffinitäten......Page 214
6.14.2 Matrizendarstellung von Scherungen......Page 215
6.14.3 Matrizendarstellung von Achsenaffinitaten, die keine Scherungen sind......Page 216
7.1 Einleitung......Page 218
7.2 Wiederholung aus der Algebra......Page 219
7.3 Der Schiefkörper der HlLBERTschen Streckenrechnung......Page 220
7.4 Geometrische Konstruktion der Addition von Strecken......Page 225
7.5 Geometrische Konstruktion der Multiplikation von Strecken......Page 227
7.6 Koordinaten bei der HlLBERTschen Streckenrechnung......Page 229
7.7 Kennzeichnung der Geraden als lineare Mannigfaltigkeiten......Page 230
7.8 Zusammenhang zwischen den Koordinaten gemäß der HlLBERTschen Streckenrechnung und unseren Koordinaten......Page 238
Anhang......Page 242
8.1 Definition und Eigenschaften des Teilverhaltnisses......Page 244
8.2 Strahlensäatze......Page 246
8.3 Teilverhaltnis bei affinen Kollineationen und bei Parallelprojektionen......Page 248
8.4 Proportionen in der HlLBERTschen Streckenrechnung......Page 250
9 Beweise der verwendeten Zusammenhänge zwischen den Schließungssätzen......Page 252
9.1 Aus (D) folgt (d)......Page 253
9.2 Aus (d) folgt (p)......Page 256
9.3 Aus (p) folgt (s)......Page 260
9.4 Aus (P) folgt (D)......Page 263
9.5 Aus (D) folgt (D*)......Page 277
9.6 Aus (D) folgt (S)......Page 285
10 Konstruktive Definition von Zentralkollineationen in projektiven (D)-Ebenen......Page 292
10.1 Projektive Ebenen......Page 294
10.2 Zusammenhang zwischen projektiven und affinen Ebenen......Page 296
10.3.1 Der Satz von DESARGüES in projektiven Ebenen......Page 298
10.3.2 Zusammenhang der beiden affinen Schließungssütze (D) und (D*)......Page 300
10.3.3 Zusammenhang zwischen (Daff) und (Dproj)......Page 301
10.4 (Z, a)-Vierecke......Page 302
10.5 Eigenschaften von (Z, a)-Vierecken......Page 306
10.6 Zur Definition uneigentlicher (Z, a)-Vierecke......Page 308
10.7 (Z, a)-Punktabbildungen......Page 309
10.8 (Z, a)-Punktabbildungen induzieren Kollineationen......Page 314
10.9 Zentralkollineationen in projektiven Ebenen......Page 316
10.10 Äquivalenz der axiomatischen Definition von Zentralkollineationen und der konstruktiven Definition von (Z, a)-Kollineationen in projektiven (D)-Ebenen......Page 320
10.11 Beziehungen der (Z, a)-Kollineationen zu den in den Kapiteln 2, 3 und 6 definierten affinen Kollineationen......Page 322
10.13 Komposition zentraler Kollineationen mit derselben Achse, aber verschiedenen Zentren......Page 324
10.14 Äquivalenz des Schließungssatzes D(Z, a) mit der linearen Transitivitüt der Gruppe Z (Z, a)......Page 329
10.15 Anmerkungen zur Gruppe T(a)......Page 332
Literaturverzeichnis......Page 334
Bezeichnungen......Page 336
Index......Page 340
