В пособии систематизированы разработанные автором примеры и контрпримеры к основным определениям, теоремам, правилам, признакам и другим положениям из курса математического анализа.
Пособие позволит студентам университетов и втузов глубже усвоить содержание, смысл и применимость понятий и положений математического анализа и сделает его преподавание и изучение интересным, творческим процессом. Примеры и контрпримеры могут быть использованы преподавателями на лекциях и практических занятиях по математическому анализу, а также составить содержание специального курса.
Для студентов-математиков, аспирантов и преподавателей вузов.
Author(s): Шибинский В. М.
Publisher: Высшая школа
Year: 2007
Language: Russian
Commentary: Scanned pages
Pages: 543
City: М.
Tags: Calculus; Teaching
Предисловие ......Page 7
1.1. Последовательность, предел последовательности ......Page 10
1.2. Предел функции, теоремы о пределах ......Page 17
Упражнения ......Page 22
2.1. Непрерывность функции ......Page 23
2.2. Теоремы о непрерывных функциях ......Page 28
Упражнения ......Page 34
3.1. Производная ......Page 35
3.2. Дифференциал ......Page 43
3.3. Производные высших порядков ......Page 45
Упражнения ......Page 46
4.1. Теоремы Ферма и Дарбу ......Page 48
4.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши ......Page 52
Упражнения ......Page 58
5.1. Изменения функции, экстремумы ......Page 59
5.2. Наибольшее и наименьшее значения функции ......Page 69
5.3. Выпуклость функции, точки перегиба ......Page 72
5.4. Раскрытие неопределенностей ......Page 79
Упражнения ......Page 83
6.1. Предел функции ......Page 84
6.2. Непрерывность функции ......Page 89
Упражнения ......Page 94
7.1. Частные производные, дифференцируемость, полный дифференциал ......Page 95
7.2. Частные производные высших порядков ......Page 113
7.3. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения ......Page 116
7.4. Неявные функции, производные неявных функций ......Page 124
Упражнения ......Page 138
8.1. Первообразная и неопределенный интеграл ......Page 139
8.2. Определение и существование определенного интеграла ......Page 142
8.3. Свойства определенного интеграла ......Page 151
8.4. Вычисление определенных интегралов ......Page 157
Упражнения ......Page 164
9.1. Площадь фигуры ......Page 166
9.2. Объем тела ......Page 186
9.3. Длина кривой ......Page 200
Упражнения ......Page 207
10.1. Основные свойства сходящихся рядов ......Page 208
10.2. Сходимость рядов с неотрицательными членами ......Page 211
10.3. Сходимость произвольных рядов ......Page 231
10.4. Теоремы о сходящихся рядах ......Page 237
10.5. Бесконечные произведения ......Page 242
Упражнения ......Page 246
11.1. Равномерная сходимость последовательности и ряда ......Page 248
11.2. Свойства предельной функции последовательности и суммы ряда ......Page 262
11.3. Степенные ряды ......Page 288
Упражнения ......Page 301
12.1. Несобственные интегралы на бесконечных промежутках ......Page 302
12.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций ......Page 316
12.3. Преобразование несобственных интегралов ......Page 326
Упражнения ......Page 334
13.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра ......Page 335
13.2. Равномерная сходимость интегралов ......Page 350
13.3. Свойства равномерно сходящихся интегралов ......Page 367
Упражнения ......Page 386
14.1. Криволинейные интегралы первого рода ......Page 388
14.2. Криволинейные интегралы второго рода ......Page 399
Упражнения ......Page 422
15.1. Определение и свойства двойных интегралов ......Page 423
15.2. Переход от двойного интеграла к повторному ......Page 431
15.3. Формула Грина ......Page 437
15.4. Замена переменных в двойных интегралах ......Page 442
Упражнения ......Page 447
16.1. Двусторонние поверхности ......Page 448
16.2. Площадь поверхности ......Page 457
16.3. Поверхностные интегралы первого рода ......Page 467
16.4. Поверхностные интегралы второго рода ......Page 471
Упражнения ......Page 481
17.1. Определение и свойства тройных интегралов ......Page 483
17.2. Переход от тройного интеграла к повторному ......Page 487
17.3. Формула Гаусса-Остроградского ......Page 493
17.4. Замена переменных в тройных интегралах ......Page 498
Упражнения ......Page 503
18.1. Примеры разрывных и непрерывных функций ......Page 504
18.2. Примеры несуществования и существования производной ......Page 509
18.3. Фракталы и построение примеров функций ......Page 517
Ответы ......Page 529
Список литературы ......Page 533
Указатель избранных примеров и контрпримеров ......Page 534
