Ce livre vise à faire comprendre le rôle et la pertinence des équations différentielles en génie, maîtriser les méthodes de base permettant de résoudre les équations différentielles, et connaître quelques équations aux dérivées partielles parmi les plus importantes en génie. Dans le cas des équations aux dérivées partielles, on insiste surtout sur la méthode de séparation des variables, de concert avec les séries de Fourier, pour les résoudre. Dans cette deuxième édition, plusieurs sections ont été ajoutées afin de compléter la théorie présentée dans la première édition.
Puisque ce livre s’adresse avant tout aux étudiants en sciences appliquées, même si nous donnons la preuve de la plupart des résultats mathématiques présentés, les exercices sont presque tous des applications de la théorie. Les étudiants doivent généralement trouver la solution explicite d’une équation différentielle donnée, sous certaines conditions.
Nous illustrons le plus souvent les concepts théoriques à l’aide d’exemples typiques. De plus, le manuel contient plus de 460 exercices, dont plusieurs sont des problèmes déjà proposés en examen. Les réponses à tous les numéros pairs sont données en appendice.
Author(s): Mario Lefebvre
Series: Paramètres
Edition: 2
Publisher: Les Presses de l’Université de Montréal
Year: 2016
Language: French
Pages: 370
AVANT-PROPOSDE LA DEUXIÈME ÉDITION......Page 7
AVANT-PROPOS......Page 8
1.1 Concept d’équation différentielle et champs de directions......Page 11
1.2 Solutions générales et solutions particulières des équations différentielles......Page 15
1.3 Classification des équations différentielles......Page 16
1.4 Exercices supplémentaires......Page 19
2.1 Équations à variables séparables......Page 23
2.1.1 Équations homogènes......Page 25
2.2 Équations exactes......Page 28
2.2.1 Facteurs intégrants......Page 31
2.3 Équations linéaires......Page 35
2.4 Équation de Bernoulli......Page 39
2.5 Exercices supplémentaires......Page 41
3.1.1 Substitutions......Page 51
3.1.2 Équations homogènes à coefficients constants......Page 53
3.2 Ensemble fondamental de solutions......Page 55
3.3.1 Racines complexes......Page 61
3.3.2 Changement de variable......Page 64
3.4.1 Racines doubles......Page 65
3.4.2 Réduction d’ordre......Page 68
3.5.1 Points singuliers......Page 71
3.5.2 Équation d’Euler......Page 72
3.6 Équations non homogènes: méthode des coefficients indéterminés......Page 77
3.7.1 Méthode de variation des paramètres......Page 87
3.8 Équations linéaires à coefficients constants d’ordre supérieur......Page 92
3.9 Oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits électriques......Page 99
3.10 Solutions en séries entières......Page 110
3.10.1 Équation de Bessel d’ordre zéro......Page 119
3.11 Méthode de Frobenius......Page 123
3.12 Exercices supplémentaires......Page 133
4.1 Introduction......Page 153
4.2 Systèmes linéaires homogènes d’ordre un......Page 160
4.3.1 Solutions d’équilibre et champs de directions......Page 165
4.3.2 Solution générale......Page 169
4.4 Systèmes linéaires non homogènes; méthode de la diagonalisation......Page 182
4.5 Systèmes non linéaires; linéarisation et stabilité des points critiques......Page 189
4.6 Exercices supplémentaires......Page 194
5.1 Introduction......Page 207
5.2 Problèmes de valeur initiale......Page 212
5.3 Équations différentielles impliquant des fonctions discontinues......Page 219
5.4 La fonction delta de Dirac......Page 231
5.5 Exercices supplémentaires......Page 236
6.1 Ensembles de fonctions orthogonales......Page 247
6.2 Séries trigonométriques......Page 251
6.3 Convergence des séries de Fourier et phénomène de Gibbs......Page 258
6.4 Séries de Fourier cosinus et sinus, et prolongements périodiques......Page 263
6.5 Exercices supplémentaires......Page 268
7.1 Introduction......Page 275
7.2 Valeurs et fonctions propres......Page 280
7.3 Méthode de séparation des variables......Page 285
7.3.1 Méthode des similitudes......Page 288
7.4.1 Dérivation de l’équation......Page 290
7.4.2 Cas où la température est nulle aux extrémités......Page 293
7.4.3 Cas où la température n’est pas nulle aux deux extrémités......Page 295
7.4.4 Cas où la température est nulle à gauche et oscillante à droite......Page 297
7.4.5 Cas où les extrémités sont isolées......Page 302
7.5.1 Résolution de l’équation de la chaleur à l’aide d’une transformée de Laplace......Page 307
7.5.2 Résolution de l’équation de la chaleur à l’aide d’unetransformée de Fourier......Page 310
7.6 Équation de Laplace......Page 318
7.6.1 Généralisation......Page 321
7.7.1 Dérivation de l’équation......Page 323
7.7.2 Solution de l’équation aux dérivées partielles......Page 326
7.7.3 Cas où l’on tient compte de la résistance de l’air......Page 328
7.8 Exercices supplémentaires......Page 331
RÉPONSES AUX EXERCICES (NOS PAIRS)......Page 345
BIBLIOGRAPHIE......Page 360
INDEX......Page 363
TABLE DES MATIÈRES......Page 367
