Книга является подробным руководством по современной
теории высокочастотных упругих волн, известной как лучевой
метод или геометрическая акустика. Излагаются основы динами-
ческой теории упругости и теории плоских и сферических волн.
Подробно изложен лучевой метод для объемных волн в изотроп-
ной и анизотропной средах и для волн Рэлея на поверхности
неоднородного анизотропного упругого тела. Приведено выра-
жение для фазы Берри. Рассмотрено много материала, не затраги-
вавшегося ранее в монографиях: теория волны S от центра рас-
ширения в неоднородной среде, лучевая теория волны S*, ано-
мальная поляризация, доказательство существования волны Релея
в анизотропном полупространстве и др. Приведен учебный ма-
териал по вариационному исчислению, обобщенным функциям,
тензорному анализу, необходимый для читателя, не имеющего
достаточной физико-математической подготовки.
Author(s): В.М. Бабич, А.П. Киселев
Series: Внесерийные книги
Publisher: БХВ-Петербург
Year: 2014
Language: Russian
Pages: 311
City: Санкт-Петербург
Предисловие......Page 4
Введение......Page 6
Часто встречающиеся обозначения......Page 10
1.1.1. Вектор смещения и тензор деформации......Page 11
1.1.2. Тензор напряжений......Page 12
1.2. Лагранжев подход к механическим системам......Page 14
1.3. Уравнения эластодинамики......Page 16
1.3.1. Кинетическая и потенциальная энергии как квадратичные функционалы......Page 17
1.3.3. Вывод уравнений эластодинамики......Page 18
1.3.4. Операторы Навье и Ламе......Page 20
1.4.1. Список граничных условий......Page 21
1.4.2. Принцип Гамильтона и граничные условия......Page 23
1.5. Изотропная среда......Page 24
1.5.1. Следствия инвариантности W относительно вращений......Page 25
1.5.2. Следствия положительной определенности W......Page 27
1.6. Баланс энергии......Page 28
1.7.1. Основные определения......Page 29
1.7.2. Усреднение по времени......Page 31
1.8.1. Гармонический случай......Page 32
1.8.2. Негармонический случай......Page 33
1.9. * Примечания......Page 34
2.1. Плосковолновой анзац......Page 36
2.2.1. Нормальная скорость движущейся поверхности......Page 38
2.2.2. Фазовая скорость и медленность......Page 39
2.3.2. Волна P......Page 41
2.3.3. Волна S......Page 42
2.3.4. Гармонические волны P и S......Page 43
2.3.5. Поляризация гармонических волн P и S......Page 44
2.3.6. Групповая скорость......Page 46
2.3.7. Энергетические соотношения для гармонических по времени волн......Page 47
2.3.8. * Потенциалы......Page 49
2.4.1. Задача на собственные значения......Page 51
2.4.3. Групповая скорость......Page 52
2.4.4. Медленность, поверхность медленностей, поверхность скоростей......Page 54
2.4.5. * Принцип Рэлея......Page 55
2.5.1. Постановка задачи......Page 56
2.5.2. Энергетическая лемма......Page 58
2.6. Отражение плоских волн от свободной границы изотропного полупространства......Page 62
2.6.1. Восходящие и нисходящие волны......Page 63
2.6.3. Случай поляризации SH......Page 64
2.6.4. Случай поляризации P – SV......Page 67
2.6.6. Полное внутреннее отражение......Page 70
2.6.7. Поток энергии неоднородной волны......Page 71
2.6.8. * Поток энергии при отражении от границы и унитарность матрицы отражения......Page 72
2.6.9. Отражение негармонических волн......Page 75
2.7. Классические плоские поверхностные волны в изотропной среде......Page 77
2.7.1. Классическая волна Рэлея......Page 78
2.7.2. Классическая волна Лява......Page 81
2.7.3. * Полное внутреннее отражение и конструктивная интерференция......Page 84
2.8. Плоские поверхностные волны в изотропной слоистой среде......Page 87
2.8.2. Волны SH......Page 88
2.9.1. Задача на собственные значения......Page 89
2.9.2. Вириальная теорема......Page 91
2.9.3. Теорема о групповой скорости......Page 93
2.10. * Существование волны Рэлея в однородном анизотропном полупространстве......Page 94
2.10.1. Одномерная задача и соответствующая энергетическая квадратичная форма......Page 95
2.10.2. Однородные плоские волны и непрерывный спектр оператора y......Page 97
2.10.3. Вариационный принцип......Page 98
2.10.4. Дискретный спектр оператора y......Page 99
2.11. * Примечания......Page 101
3.1. Дельта-функция......Page 108
3.2. Скалярная задача о точечном источнике колебаний......Page 112
3.2.1. Гармоническая зависимость от времени......Page 113
3.2.2. Выделение единственного решения. Понятие о принципе предельного поглощения......Page 115
3.2.3. Негармоническая зависимость от времени......Page 116
3.3. Точечные источники в однородной изотропной упругой среде. Гармонический случай......Page 117
3.3.1. * Центр расширения и центр вращения как предельные задачи о сферических излучателях......Page 119
3.3.2. Сосредоточенная сила......Page 122
3.4. Нестационарный случай......Page 125
3.5. Условия на бесконечности и единственность......Page 129
3.5.1. Принцип предельного поглощения......Page 130
3.5.2. * Условия излучения......Page 131
3.5.3. Теорема единственности в нестационарном случае......Page 136
3.6. * Примечания......Page 137
4.1.1. Лучевой анзац и локальная плоская волна......Page 141
4.1.2. Рекуррентная система......Page 144
4.1.3. Волны P и S......Page 145
4.2. Уравнение эйконала и лучи......Page 146
4.2.1. Функционал Ферма и лучи......Page 147
4.2.3. Центральное поле лучей......Page 148
4.2.4. Задача Коши для уравнения эйконала......Page 149
4.2.5. * Комплексный эйконал......Page 152
4.2.6. Лучевые координаты......Page 154
4.3.1. Нулевое приближение. Условие разрешимости и уравнение Умова......Page 155
4.3.2. Нулевое приближение. Формулы для eE и uP0......Page 158
4.3.3. Лучевые координаты и геометрическое расхождение......Page 162
4.3.5. * Первая продольно поляризованная поправка......Page 165
4.3.6. * Высшие приближения......Page 166
4.4.1. Нулевое приближение. Первоначальные рассмотрения. Закон Рытова......Page 167
4.4.2. Закон Рытова. Случай комплексного uS0......Page 170
4.4.4. * Первая поперечно поляризованная поправка......Page 172
4.4.5. * Высшие приближения......Page 173
4.5.1. Анзац и задача определения отраженных и обменных волн......Page 174
4.5.2. Построение поля в старшем порядке......Page 176
4.6.1. Риманова геометрия и принцип Ферма......Page 179
4.6.2. Параллельный перенос в римановой метрике и закон Рытова......Page 182
4.7.1. О линиях кривизны......Page 185
4.7.2. Вывод формулы для J......Page 187
4.8. Геометрическое расхождение при отражении, преломлении и конверсии в плоском случае......Page 188
4.8.1. Вычисление начальных данных для уравнения Якоби в случае монотипного отражения......Page 190
4.8.2. Вычисление начальных данных для уравнения Якоби для случая отражения с конверсией......Page 194
4.8.3. Вычисление начальных данных для случая преломления......Page 195
4.8.4. Случай постоянных скоростей......Page 196
4.9.1. Высокочастотная асимптотика и асимптотика по гладкости......Page 197
4.9.2. Другие нестационарные версии......Page 199
4.10. * Примечания......Page 200
5.1.1. Рекуррентная система......Page 209
5.1.2. Уравнение эйконала......Page 210
5.2.1. Задача Коши для нелинейного уравнения......Page 211
5.2.2. Каноническая система......Page 212
5.2.3. Специальный случай — уравнение эйконала......Page 213
5.3.1. Лучи как экстремали некоторого функционала вариационного исчисления......Page 214
5.3.2. Финслерова метрика......Page 216
5.3.3. Принцип Ферма......Page 217
5.4.1. Условие разрешимости и уравнение Умова......Page 218
5.5. Высшие приближения......Page 219
5.6. * Примечания......Page 221
Глава 6. Точечные источники в неоднородной изотропной среде. Волна S от центра расширения. Волна P от центра вращения......Page 225
6.1.1. Постановка задачи......Page 226
6.1.3. Элементарные соображения локальности......Page 227
6.2.1. Рекуррентная система......Page 229
6.2.2. * О решении уравнений (6.25)–(6.27)......Page 231
6.2.3. Промежуточная область......Page 232
6.2.5. Поле в приближении однородной среды......Page 233
6.2.6. Как найти _1, или соображения о сшивании......Page 234
6.2.7. * Операторная основа построения решений уравнений (6.25), (6.26), .........Page 235
6.3. Вспомогательные формулы......Page 236
6.3.1. Решение уравнений с операторами Гельмгольца......Page 237
6.3.3. Еще два тождества......Page 238
6.4.1. Тождественное преобразование выражения Л1V0......Page 239
6.4.2. Выделение в Л1V0 членов, существенных для вычисления x1......Page 240
6.4.3. Окончательный результат......Page 241
6.5.1. Тождественное преобразование выражения Л1V0......Page 242
6.5.2. Выделение в Л1V0 членов, существенных для вычисления пси1......Page 243
6.6. * Примечания......Page 245
7.1.1. Краевая задача......Page 249
7.1.2. Качественное обсуждение возникающих волн......Page 250
7.2.1. Вспомогательная задача и принцип взаимности......Page 253
7.2.2. Что потребуется для вычисления волны S*......Page 254
7.2.3. Решение вспомогательной задачи для w......Page 255
7.2.4. Старший член асимптотики волны S*......Page 257
7.2.5. * Высшие приближения и другие уточнения......Page 258
7.3. * Примечания......Page 259
Глава 8. Лучевой метод для волн Рэлея......Page 264
8.1. Уравнения, граничные условия и рекуррентная система......Page 265
8.2.1. Явный вид уравнения и граничных условий для UO......Page 268
8.2.2. Уравнение эйконала......Page 269
8.2.3. Принцип Ферма, лучи, теорема о групповой скорости......Page 270
8.2.4. Условие разрешимости краевой задачи для UI......Page 271
8.2.6. Уравнение Умова и формула для |ф|......Page 274
8.2.7. Фаза Берри......Page 277
8.2.8. О построении высших приближений......Page 279
8.3.1. Специфика изотропного случая......Page 280
8.3.2. Явные формулы для старшего члена......Page 282
8.4. Примечания......Page 284
П.1. Определение тензора......Page 291
П.3. Метрический тензор. Поднятие и опускание индексов......Page 292
П.4.1. Координаты (q1; q2; n)......Page 294
П.4.3. Вторая квадратичная форма Гаусса......Page 295
П.5. Ковариантное дифференцирование. Дивергенция......Page 296
Предметный указатель......Page 299
Оглавление......Page 305
