Curso de Análise

Prefácio

Capítulo I – Topologia do Espaço Euclidiano

1. O espaço vetorial Rn
2. Produto interno e norma
3. Números complexos
4. Bolas e conjuntos limitados
5. Seqüências no espaço euclidiano
6. Pontos de acumulação
7. Aplicações contínuas
8. Homeomorfismos
9. Limites
10. Conjuntos abertos
11. Conjuntos fechados
12. Conjuntos compactos
13. Distância entre dois conjuntos; diâmetro
14. A norma de uma transformação linear

Exercícios

Capítulo II – Caminhos no Espaço Euclidiano

1. Caminhos diferenciáveis
2. Integral de um caminho
3. Os teoremas clássicos do cálculo
4. Caminhos retificáveis
5. O comprimento de arco como parâmetro
6. Curvatura e torção
7. A função-ângulo

Exercícios

Capítulo III – Funções Reais de n Variáveis

1. Derivadas parciais
2. Derivadas direcionais
3. Funções diferenciáveis
4. A diferencial de uma função
5. O gradiente de uma função diferenciável
6. A regra de Leibniz
7. O teorema de Schwarz
8. Fórmula de Taylor: pontos críticos
9. O teorema da função implícita
10. Multiplicador de Lagrange

Exercícios

Capítulo IV – Integrais Curvilíneas

1. Formas diferenciais de grau 1
2. Integral de Stieltjes
3. Integral de uma forma ao longo de um caminho
4. Justaposição de caminhos; caminho inverso
5. Integral curvilínea de um campo de vetores e de uma função
6. Formas exatas e formas fechadas
7. Homotopia
8. Integrais curvilíneas e homotopia
9. Cohomologia
10. A fórmula de Kronecker

Apêndice ao 10
Exercícios

Capítulo V – Aplicações Diferenciáveis

1. Diferenciabilidade de uma aplicação
2. Exemplos de aplicações diferenciáveis
3. A regra da cadeia
4. A fórmula de Taylor
5. A desigualdade do valor médio
6. Seqüências de aplicações diferenciáveis
7. Aplicações fortemente diferenciáveis
8. O teorema da aplicação inversa
9. Aplicação: o lema de Morse
10. A forma local das imersões
11. A forma local das submersões
12. O teorema do posto
13. Superfícies no espaço euclidiano
14. Superfícies orientáveis
15. O método dos multiplicadores de Lagrange

Exercícios

Capítulo VI – Integrais Múltiplas

1. A definição de integral
2. Conjuntos de medida nula
3. Caracterização das funções integráveis
4. A integral como limite de somas de Riemann
5. Integração repetida
6. Mudança de variáveis

Apêndice ao 6
Exercícios

Capítulo VII – Integrais de Superfície

1. Formas alternadas
2. Formas diferenciais
3. A diferencial exterior
4. Aplicações da partição da unidade
5. Integrais de superfície
Apêndice ao 6
6. Superfícies com bordo
7. O teorema de Stokes
8. Grau de uma aplicação
9. A integral de Kronecker

Apêndice ao 10
Exercícios

Referências

Índice Alfabético