In questo testo si introducono i concetti fondamentali per la modellistica numerica di problemi differenziali alle derivate parziali. Si considerano le classiche equazioni lineari ellittiche, paraboliche ed iperboliche, ma anche altre equazioni, quali quelle di diffusione e trasporto, di Navier-Stokes, e le leggi di conservazione. Si forniscono numerosi esempi fisici che stanno alla base di tali equazioni, se ne studiano le principali proprieta' matematiche, quindi si propongono ed analizzano metodi di risoluzione numerica basati su elementi finiti, differenze finite, volumi finiti e metodi spettrali. In particolare vengono discussi gli aspetti algoritmici e di implementazione al calcolatore e si forniscono alcuni programmi in linguaggio C++ di semplice utilizzo. Il testo non presuppone una avanzata conoscenza matematica delle equazioni alle derivate parziali: i concetti rigorosamente indispensabili al riguardo sono riportati nell'Appendice. Il volume ? pertanto adatto agli studenti dei corsi di laurea di indirizzo scientifico (Ingegneria, Matematica, Fisica, Chimica, Scienze dell'Informazione) e consigliabile a ricercatori del mondo accademico ed extra-accademico che vogliano avvicinarsi a questo interessante ramo della matematica applicata.
Author(s): Alfio Quarteroni
Edition: 3a ed. 2006. Corr. 2a stampa
Year: 2008
Language: Italian
Pages: 455
Indice......Page 5
Prefazione......Page 11
1.1 Definizioni ed esempi......Page 14
1.2 Necessità della risoluzione numerica......Page 16
1.3 Classificazione delle EDP......Page 18
1.3.1 Forma quadratica associata ad una EDP......Page 21
1.4 Esercizi......Page 22
2.1 Un esempio di problema ellittico: l'equazione di Poisson......Page 24
2.2 I1 problema di Poisson nel caso monodimensionale......Page 25
2.2.1 Problema di Dirichlet omogeneo......Page 26
2.2.3 Problema di Neumann......Page 32
2.2.5 Condizioni al bordo miste (o di Robin)......Page 33
2.3.1 I1 problema di Dirichlet omogeneo......Page 34
2.3.3 I1 problema con condizioni miste non omogenee......Page 37
2.3.4 Equivalenza, nel senso delle distribuzioni, tra la forma debole e la forma forte per il problema di Neumann......Page 40
2.4 Problemi ellittici più generali......Page 41
2.4.1 Teorema di esistenza e unicità......Page 43
2.5 Esercizi......Page 45
3.1 Approssimazione con il metodo di Galerkin......Page 49
3.2.1 Esistenza e unicità......Page 51
3.2.3 Convergenza......Page 52
3.3 I1 metodo degli elementi finiti nel caso monodimensionale......Page 55
3.3.1 Una definizione di elemento finito nel caso Lagrangiano......Page 59
3.3.2 L'approssimazione con elementi finiti lineari......Page 60
3.3.3 Interpolazione e stima di interpolazione......Page 62
3.3.4 Stima dell'errore nella norma H[Sup(1)]......Page 64
3.4 I1 metodo degli elementi finiti nel caso multidimensionale......Page 65
3.4.1 Risoluzione del problema di Poisson con elementi finiti......Page 68
3.4.2 Condizionamento della matrice di rigidezza......Page 70
3.4.3 Stima dell'errore di approssimazione nella norma dell'energia......Page 73
3.4.4 Stima dell'errore di approssimazione in norma L[Sup(2)]......Page 80
3.5 I1 problema dell'adattività della griglia......Page 83
3.5.1 Adattività a priori basata sulla ricostruzione delle derivate......Page 85
3.5.2 Adattività a posteriori......Page 87
3.5.3 Stime a posteriori dell'errore nella norma L[Sub(2)]......Page 92
3.5.4 Stime a posteriori di un funzionale dell'errore......Page 96
3.6 Come ottenere il problema aggiunto......Page 98
3.6.1 I1 caso lineare......Page 99
3.6.2 I1 caso non lineare......Page 100
3.7 Esercizi......Page 103
4.1 I1 metodo di Galerkin spettrale per un problema ellittico......Page 109
4.2.1 Polinomi ortogonali di Legendre......Page 113
4.2.2 Integrazione gaussiana......Page 116
4.2.3 Le formule di Gauss-Legendre-Lobatto......Page 117
4.3 Metodi G-NI in una dimensione......Page 120
4.3.1 Interpretazione algebrica del metodo G-NI......Page 121
4.3.2 Condizionamento della matrice di rigidezza del metodo G-NI......Page 123
4.3.3 Equivalenza tra il metodo G-NI e un metodo di collocazione......Page 124
4.4 Generalizzazione al caso bidimensionale......Page 128
4.4.1 Convergenza del metodo G-NI......Page 130
4.5 Metodo G-NI e MES-NI per un problema modello monodimensionale......Page 138
4.5.1 I1 metodo G-NI......Page 139
4.5.2 I1 metodo MES-NI......Page 143
4.6 Metodi spettrali su triangoli e tetraedri......Page 146
4.7 Esercizi......Page 151
5.1 Formulazione debole del problema......Page 152
5.2 Analisi di un problema di diffusione-trasporto monodimensionale......Page 155
5.3 Analisi di un problema di diffusione-reazione monodimensionale......Page 159
5.4 Relazioni tra elementi finiti e differenze finite......Page 161
5.5 La tecnica del mass-lumping......Page 163
5.6 Schemi decentrati e diffusione artificiale......Page 165
5.7 Autovalori del problema di diffusione-trasporto......Page 168
5.8 Metodi di stabilizzazione......Page 170
5.8.1 Diffusione artificiale e schemi decentrati agli elementi finiti......Page 171
5.8.2 I1 metodo di Petrov-Galerkin......Page 173
5.8.3 I1 metodo della diffusione artificiale e della streamline diffusion nel caso bidimensionale......Page 174
5.8.5 Parte simmetrica e antisimmetrica di un operatore......Page 176
5.8.6 Metodi fortemente consistenti (GLS, SUPG, DW)......Page 178
5.8.7 Analisi del metodo GLS......Page 180
5.8.8 Stabilizzazione tramite funzioni a bolla......Page 186
5.9 Alcuni test numerici......Page 189
5.10 Un esempio di adattività goal-oriented......Page 190
5.11 Esercizi......Page 192
6. Equazioni paraboliche......Page 195
6.1 Formulazione debole e sua approssimazione......Page 196
6.2 Stime a priori......Page 199
6.3 Analisi di convergenza del problema semi-discreto......Page 202
6.4 Analisi di stabilità del θ-metodo......Page 204
6.5 Analisi di convergenza del θ-metodo......Page 208
6.6 I1 caso dell'approssimazione spettrale G-NI......Page 211
6.7 Esercizi......Page 213
7.1 Un problema di trasporto scalare......Page 216
7.1.1 Una stima a priori......Page 218
7.2 Sistemi di equazioni iperboliche lineari......Page 220
7.2.1 L'equazione delle onde......Page 222
7.3 I1 metodo delle differenze finite......Page 224
7.3.1 Discretizzazione dell'equazione scalare......Page 225
7.3.2 Discretizzazione di sistemi iperbolici lineari......Page 226
7.3.3 Trattamento del bordo......Page 227
7.4.2 Stabilità......Page 228
7.4.3 Analisi di Von Neumann e coefficienti di amplificazione......Page 233
7.4.4 Dissipazione e dispersione......Page 238
7.5.1 I1 caso dello schema upwind......Page 242
7.5.3 Sul significato dei coefficienti nelle equazioni equivalenti......Page 245
7.5.4 Equazioni equivalenti e analisi dell'errore......Page 246
7.6 Esercizi......Page 247
8.1.1 Gli schemi di Eulero in avanti e all'indietro......Page 249
8.1.2 Gli schemi upwind, di Lax-Friedrichs e Lax-Wendroff......Page 251
8.2 Gli schemi Taylor-Galerkin......Page 254
8.3 I1 caso multidimensionale......Page 260
8.3.1 Condizioni al bordo e condizioni di compatibilità......Page 262
8.3.2 Discretizzazione temporale......Page 264
8.4.1 I1 caso unidimensionale......Page 266
8.4.2 I1 caso multidimensionale......Page 272
8.5 Elementi finiti spazio-temporali......Page 274
8.6.1 I1 metodo G-NI in un singolo intervallo......Page 276
8.6.2 I1 metodo DG-SEM-NI......Page 280
8.7 Trattamento numerico delle condizioni al bordo per sistemi iperbolici......Page 282
8.7.1 Trattamento debole delle condizioni al bordo......Page 286
8.8 Esercizi......Page 288
9.1 Equazioni scalari......Page 289
9.2 Approssimazione alle differenze finite......Page 294
9.3 Approssimazione con elementi finiti discontinui......Page 296
9.4 Sistemi iperbolici non-lineari......Page 304
10. Le equazioni di Navier-Stokes......Page 308
10.1 Formulazione debole delle equazioni di Navier-Stokes......Page 310
10.2 Le equazioni di Stokes e la loro approssimazione......Page 315
10.3.1 Formulazione del problema......Page 319
10.3.2 Analisi del problema di punto-sella......Page 320
10.3.3 Approssimazione con il metodo di Galerkin ed analisi di stabilità e convergenza......Page 324
10.4 Formulazione algebrica del problema di Stokes......Page 327
10.5 Un esempio di problema stabilizzato......Page 331
10.6 Un esempio numerico......Page 333
10.7 Discretizzazione in tempo delle equazioni di Navier-Stokes......Page 335
10.7.1 Metodi alle differenze finite......Page 336
10.7.2 Metodi alle caratteristiche (o Lagrangiani)......Page 338
10.7.3 Metodi a passi frazionari......Page 339
10.8 Risoluzione del sistema di Stokes e metodi di fattorizzazione algebrica......Page 342
10.9 Esercizi......Page 346
11.1 Fasi operative di un codice a elementi finiti......Page 349
11.1.1 Due parole sul codice utilizzato......Page 352
11.2 Calcolo numerico degli integrali......Page 353
11.2.1 Le coordinate baricentriche......Page 356
11.2.2 Alcuni esempi di formule di quadratura......Page 358
11.3 Memorizzazione di matrici sparse......Page 359
11.4 La fase di assemblaggio......Page 364
11.4.1 Codifica delle informazioni geometriche......Page 366
11.4.2 Codifica delle informazioni funzionali......Page 370
11.4.3 Mappatura tra elemento di riferimento e elemento fisico......Page 371
11.4.4 La costruzione dei sistemi locali e di quello globale......Page 375
11.4.5 La prescrizione delle condizioni al bordo......Page 379
11.5 L'integrazione in tempo......Page 382
11.6 Ed ora consideriamo un esempio completo......Page 385
12.1 Reticolazione di un dominio poligonale......Page 394
12.2 Generazione di griglie strutturate......Page 397
12.3.1 Triangolazione di Delaunay......Page 400
12.3.2 Tecnica di avanzamento del fronte......Page 402
12.4 Tecniche di regolarizzazione......Page 403
12.4.1 Scambio delle diagonali......Page 404
12.4.2 Movimento dei nodi......Page 405
13. I1 metodo dei volumi finiti......Page 408
13.1 Alcuni principi elementari......Page 409
13.2 La costruzione dei volumi di controllo per schemi vertex-centered......Page 411
13.3 Discretizzazione di un problema di diffusione-trasporto-reazione......Page 414
13.4 Analisi dell'approssimazione ai volumi finiti......Page 416
13.5 Implementazione delle condizioni al bordo......Page 417
13.6 Cenni alla discretizzazione delle equazioni di Navier-Stokes......Page 418
A.1 Funzionali e forme bilineari......Page 421
A.2 Richiami sulle distribuzioni......Page 422
A.2.1 Le funzioni a quadrato sommabile......Page 424
A.2.2 Derivazione nel senso delle distribuzioni......Page 426
A.3 Gli spazi di Sobolev......Page 427
A.3.1 Regolarità degli spazi H[Sup(k)](Ω)......Page 428
A.3.2 Lo spazio H[sup(1)][sub(0)](Ω)......Page 429
A.3.3 Gli operatori di traccia......Page 430
A.4 LospazioL∞(Ω)eglispaziL[Sup(p)](Ω)con1 ≤ p &It; ∞......Page 431
A.5 Esercizi......Page 433
B.1 Metodi diretti......Page 434
B.2 Metodi iterativi......Page 437
Riferimenti bibliografici......Page 443
D......Page 448
F......Page 449
M......Page 450
P......Page 451
V......Page 452
