Calcul différentiel et intégral 1

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Avant-propos à la cinquième édition
CHAPITRE 1 NOMBRE, VARIABLE, FONCTIONS
1. Nombres réels. Représentation des nombres réels par les points de l'axe numérique
2. Valeur absolue d'un nombre réel
3. Grandeurs variables et grandeurs constantes
4. Domaine de définition d'une variable
5 Variable ordonnée. Variable croissante et variable décroissante. Variable bornée
6. Fonction
7. Diverses formes d'expression des fonctions
8. Principales fonctions élémentaires. Fonctions élémentaires
9. Fonctions algébriques
10. Système de coordonnées polaires
Exercices
CHAPITRE II LIMITE ET CONTINUITÉ DES FONCTIONS
1. Limite d'une grandeur variable. Grandeur variable infiniment grande
2. Limite d'une fonction
3. Fonctions qui tendent vers l'infini. Fonctiops bornés
4. Infiniment petits et leurs propriétés fondamentales
5. Théorèmes fondamentaux sur les limites
6. Limite de la fonction (sin x)/x quand x->0
7. Le nombre e
8. Logarithmes népériens
9. Continuité des fonctions
10. Propriétés des fonctions continues
11. Comparaison des infiniment petits
Exercices
CHAPITRE III DÉRIVÉE ET DIFFÉRENTIELLE
1. Vitesse d'un mouvement
2. Définition de la dérivée
3. Interprétation géométrique de la dérivée
4. Fonctions dérivables
5. Dérivée de la fOnction y == x^n pour n entier et positif
6. Dérivées des fonctions y = sin x; y == cos x
7. Dérivées d'une constante, du produit d'une constante par une fonction, d'une somme, d'un produit et du rapport de deux fonctions
8. Dérivée d'une fonction logarithmique
9. Dérivée d'une fonction composée
10. Dérivées des fonctions y = tg x, y == ctg x, y = Log |x|
11. Fonction implicite et sa dérivée
12. Dérivée d'une fonction puissance quand l'exposant est un nombre réel quelconque, dérivée de la fonction exponentielle et de la fonction composée exponentielle
13. Fonction inverse (ou réciproque) et sa dérivée
14. Fonctions trigonométriques inverses et leurs dérivées
15. Tableau des principales formules de dérivation
16. Fonctions données sous forme paramétrique
17. Équations paramétriques de certaines courbes
18. Dérivée d'une fonction donnée sous forme paramétrique
19. Fonctions hyperboliques
20. Différentielle . _
21. Interprétation géométrique de la différentielle
22. Dérivées de différents ordres
23. Différentielles de différents ordres
24. Dérivées de différents ordres des fonctions implicites et des fonctions données sous forme paramétrique
25. Interprétation mécanique de la dérivée seconde
26. Equations de la tangente et de la normale. Longueurs de la sous-tangente et de la sous-normale
27. Interprétation géométrique de la dérivée du rayon vecteur par rapport à l'angle polaire
Exercices
CHAPITRE IV THÉORÈMES RELATIFS AUX FONCTIONS DÉRIVABLES
1. Théorème relatif aux racines de la dérivée (théorème de Rolle)
2. Théorème des accroissements finis (théorème de Lagrange)
3. Théorème de Cauchy (rapport des accroissements de deux fonctions)
4. Limite du rapport de deux infiniment petits (vraie valeur des indéterminations de la forme)
5. Limite du rapport de deux infiniment grands (vraie valeur des indéterminations de la forme ∞/∞)
6. Formule de Taylor
7. Développement des fonctions e^x, sin x, cos x par la formule de Taylor
Exercices
CHAPITRE V ÉTUDE DE LA VARIATION DES FONCTIONS
1. Position du problème
2. Croissance et décroissance des fonctions
3. Maximum et minimum des fonctions
4. Marche à suivre pour l'étude du maximum et du minimum d'une fonction dérivable à l'aide de la dérivée première
5. Etude du maximum et du minimum des fonctions à l'aide de la dérivée seconde
6. Plus grande et plus petite valeur d'une fonction sur un segment
7. Application de la théorie du maximum et du minimum des fonctions à la résolution de problèmes
8. Étude des maximums et des minimums d'une fonction à l'aide de la formule de Taylor
9. Convexité et concavité des courbes. Points d'inflexion
10. Asymptotes
11. Schéma général de l'étude des fonctions et de la construction des graphiques
12. Etude des courbes données sous forme paramétrique
Exercices
CHAPITRE VI COURBURE D'UNE COURBE
1. Longueur de l'arc et sa dérivée
2. Courbure
3. Calcul de la courbure
4. Calcul de la courbure des courbes sous forme paramétrique
5. Calcul de la courbure des courbes en coordonnées polaires
6. Rayon et cercle de courbure. Centre de courbure. Développée et développante
7. Propriétés de la développée
8. Calcul approché des racines réelles d'une équation
Exercices
CHAPITRE VII NOMBRES COMPLEXES, POLYNOMES
1. Nombres complexes. Définitions
2. Principales opérations sur les nombres complexes
3. Élévation d'un nombre complexe à une puissance et extraction de la racine d'un nombre complexe
4. Fonction exponentielle à exposant complexe et ses propriétés
5. Formu1e d'Euler. Forme exponentielle d'un nombre complexe
6. Décomposition d'un polyname en facteurs
7. Racines multiples du polynôme
8. Décomposition en facteurs d'un polynôme dans le cas des racines complexes
9. Interpolation. Formule d'interpolation de Lagrange
10. Formule d'interpolation de Newton
11. Dérivation numérique
12. Meilleure approximation d'une fonction par des polynômes. Théorie de Tchébychev
Exercices
CHAPITRE VIII FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
1. Définition des fonctions de plusieurs variables
2. Représentation géométrique d'une fonction de deux variables
3. Accroissement partiel et accroissement total de la fonction
4. Continuité des fonctions de plusieurs variables
5. Dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables
6. Interprétation géométrique des dérivées partielles d'une fonction de deux variables
7. Accroissement total et différentielle totale
8. Emploi de la différentielle totale pour les calculs approchés
9. Emploi de la différentielle pour évaluer l'erreur commise pendant les calculs numériques
10. Dérivée d'une fonction composée. Dérivée totale. Différentielle totale d'une fonction composée
11. Dérivation des fonctions impJicites
12. Dérivées partielles de différents ordres
13. Surfaces de niveau
14. Dérivée suivant une direction donnée
15. Gradient
16. Formule de Taylor pour une fonction de deux variables
17. Maximum et minimum d'unu fonction de plusieurs variables
18. Maximums et minimums des fonctions de plusieurs variables soumises à certaines conditions (maximums et minimums liés)
19. Dépendance fonctionnelle obtenue en traitant les données expérimentales par la méthode des moindres carrés
20. Points singuliers d'une courbe
Exercices
CHAPITRE IX APPLICATIONS DU CALCUL DIFFÉRENTIEL À LA GÉOMÉTRIE DE L'ESPACE
1. Equation d'une courbe dans l'espace
2. Limite et dérivée d'une fonction vectorielle d'une variable scalaire indépendante. Equation de la tangente à une courbe. Equation du plan normal
3. Règles de dérivation des vecteurs (fonctions vectorielles)
4. Dérivées première et seconde d'un vecteur par rapport à la longueur de l'arc. Courbure de la courbe. Normale principale. Vitesse et accélération du point dans un mouvement curviligne
5. Plan osculateur. Binormale. Torsion d'une courbe gauche
6. Plan tangent et normale à une surface
Exercices
CHAPITRE X INTÉGRALE INDÉFINIE
1. Primitive et intégrale indéfinie
2. Table d'intégrales
3. Quelques propriétés de l'intégrale indéfinie
4. Intégration par changement de variable
5. Intégration de certaines expressions contenant le trinôme ax² + bx + c
6. Intégration par parties
7. Fractions rationnelles. Fractions rationnelles élémentaires et leur intégration
8. Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples
9. Intégration des fractions rationnelles
10. Intégration des fonctions irrationnelles
11. Intégrales du type int((x,√(ax²+bx+c)) dx
12. Intégration de certaines classes de fonctions trigonométriques
13. Intégration de certaines fonctions irrationnelles à l'aide de transformations trigonométriques
14. Fonctions dont les intégrales ne peuvent être exprimées par des fonctions élémentaires
Exercices
CHAPITRE XI INTÉGRALE DÉFINIE
1. Position .du problème. Sommes intégrales inférieure et supérieure
2. Intégrale définie. Théorème d'existence de l'intégrale définie
3. Propriétés fondamentales de l'intégrale définie
4. Calcul de l'intégrale définie. Formule de Newton-Leibniz
5. Changement de variable dans une intégrale définie
6. Intégration par parties
7. Intégrales impropres
8. Calcul approché des intégrales définies
9. Formule de Tchébychev
10. Intégrales dépendant d'un paramètre. Fonction gamma
11. Intégration d'une fonction complexe de la variable réelle
Exercices
CHAPITRE XII APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES DE L'INTÉGRALE DÉFINIE
1. Calcul des aires en coordonnées rectangulaires
2. Aire d'un secteur curviligne en coordonnées polaires
3. Longueur d'un arc de courbe
4. Calcul du volume d'un corps en fonction des aires des sections parallèles
5. Volume d'un corps de révolution
6. Aire d'un corps de révolution
7. Calcul du travail au moyen de l'intégrale définie
8. Coordonnées du centre de gravité
9. Calcul du moment d'inertie d'une courbe, d'un cercle et d'un cylindre à l'aide de l'intégrale définie
Exercices
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