Книга представляет собой четырехсеместровый университетский курс математического анализа, включающий теорию функций комплексной переменной и теорию меры и интеграла. Интегральное исчисление функций нескольких переменных, поверхностные интегралы, ряды и интегралы Фурье излагаются на базе интеграла Лебега.
Учебник содержит начальные понятия функционального анализа: метрические, нормированные, гильбертовы пространства, линейные операторы. Строгость подачи материала и проработка деталей сочетаются с относительно небольшим объемом, согласованным с реальным лекционным временем. Изложение основано на лекциях, которые автор в течение многих лет читал на математико-механическом факультете СПбГУ.
Author(s): Виноградов О.
Series: Учебник
Edition: Hardcover
Publisher: BHV
Year: 2017
Language: Russian
Pages: 752
Предисловие 3
Глава 1. Введение 9
§1. Множества 9
§2. Вещественные числа 13
§3. Отображения 24
§4. Счетные множества 29
Глава 2. Последовательности в метрических пространствах 34
§1. Предел последовательности 34
§2. Точки и множества в метрическом пространстве 51
§3. Компактность, принцип выбора, полнота 57
§4. Точные границы числовых множеств и монотонные последовательности 64
Глава 3. Пределы и непрерывность отображений 73
§1. Предел отображения 73
§2. Непрерывные отображения 83
§3. Элементарные функции 98
§4. Замечательные пределы и сравнение функций 112
Глава 4. Дифференциальное исчисление функций одной вещественной переменной 123
§1. Производная и ее вычисление 123
§2. Теоремы о среднем дифференциального исчисления 137
§3. Производные высших порядков и формула Тейлора 144
§4. Монотонность и экстремумы функций 157
§5. Выпуклые функции 163
Глава 5. Интегральное исчисление функций одной вещественной переменной 180
§1. Первообразная и неопределенный интеграл 180
§2. Определенный интеграл Римана и интегрируемые функции 188
§3. Свойства интеграла 199
§4. Формулы Тейлора и Валлиса и интегральные неравенства 210
§5. Несобственные интегралы 217
§6. Приложения интеграла 231
§7. Функции ограниченной вариации 249
Глава 6. Числовые ряды 253
§1. Простейшие свойства рядов 253
§2. Положительные ряды 260
§3. Ряды с произвольными членами 268
Глава 7. Дифференциальное исчисление в евклидовых пространствах 278
§1. Линейные операторы в евклидовых пространствах 278
§2. Дифференцируемость и частные производные 287
§3. Частные производные высших порядков и формула Тейлора 301
§4. Экстремумы и неявные отображения 313
Глава 8. Функциональные последовательности и ряды 335
§1. Определение и признаки равномерной сходимости 335
§2. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов 347
§3. Степенные ряды 354
§4. Разложения элементарных функций 364
Глава 9. Криволинейные интегралы на плоскости 375
§1. Определение и простейшие свойства криволинейных интегралов 375
§2. Точные и замкнутые формы 386
§3. Гомотопные пути 400
Глава 10. Функции комплексной переменной 408
§1. Комплексная дифференцируемость 408
§2. Интегральная формула Коши и ее следствия 414
§3. Теорема единственности, аналитическое продолжение и многозначные функции 423
§4. Ряды Лорана и вычеты 438
§5. Геометрические свойства голоморфных функций 457
Глава 11. Мера и интеграл 472
§1. Мера в абстрактных множествах 472
§2. Мера Лебега в евклидовых пространствах 486
§3. Измеримые функции 499
§4. Интеграл по мере 509
§5. Кратные и повторные интегралы 526
§6. Замена переменной в интеграле 539
§7. Мера и интеграл Лебега Стилтьеса 550
§8. Интегралы, зависящие от параметра 557
Глава 12. Ингегрирование на многообразиях 577
§1. Разбиение единицы 577
§2. Гладкие многообразия в евклидовых пространствах 583
§3. Мера на многообразии и интеграл первого рода 599
§4. Дифференциальные формы и интеграл второго рода 613
§5. Теорема Стокса 629
Глава 13. Ряды Фурье и приближение функций 638
§1. Пространства Лебега 638
§2. Гильбертовы пространства 647
§3. Тригонометрические ряды Фурье 658
§4. Суммирование рядов Фурье 671
§5. Приближение функций многочленами 687
§6. Интеграл и преобразование Фурье 700
§7. Всплески 715
Предметный указатель 729
Литература 749
