Das Lehrbuch
Das Buch behandelt wesentliche Themen aus den mathematischen Teilgebieten der Analysis, garniert mit numerischen Aspekten.
Es richtet sich an Studierende all jener Fächer, die in den ersten Semestern mathematische Einführungen aus diesen Themenfeldern
hören. Da sind die Mathematik, die Informatik, die Physik aber auch andere Natur-, die Wirtschafts- und Ingenieurwissenschaften
zu nennen.
Das Werk ist bewusst als Lehrbuch konzipiert. Seine Darstellung ist ausführlich und mit vielen Kommentaren, Beispielen und
Erläuterungen versehen. Zusammenfassungen helfen, den gelernten Stoff im Lesefluss zu rekapitulieren. Dabei versteht es sich
als Fortsetzung des Lehrbuchs „Mathematik für die Informatik I - Lineare Algebra und Diskrete Mathematik" Notation und
Grundlagen werden übernommen, der vorliegende Band kann aber auch unabhängig von diesem studiert werden .
Der Autor
Dr. Samuel Hetterich lehrt und forscht am Mathematischen Institut der Goethe-Universität Frankfurt am Main. Nach der Promo-
tion unter der Anleitung von Prof. Dr. Amin Coja-Oghlan auf einem Feld verankert zwischen diskreter Mathematik, Stochastik,
theoretischer Informatik und statistischer Physik, begann er im Rahmen des durch den „Qualitätspakt Lehre geförderten Projekts
„Starker Start" an der Goethe-Universität aktiv zu lehren. Er liest epochal die Vorlesungen „Mathematik für die Informatik I
und II", in welchen er seinen Studierenden der Informatik der ersten Semester mathematische Grundlagen vermittelt. Seit 2018
unterrichtet er zusätzlich an einem privaten Frankfurter Gymnasium Mathematik und Physik.
Author(s): Samuel Hetterich
Edition: 1. Auflage
Publisher: Analog Verlag
Year: 2020
Language: German
Pages: 285
City: Frankfurt
Tags: Goethe University, Analysis, Numerik, Maths, Mathematik
Inhaltsverzeichnis
5.2.2 Mit Grenzwerten rechnen
69
5.2.3 Schranke, Monotonie, Inf & Sup
72
5.2.4 Ein Konvergenzkriterium für reelle Folgen 76
5.2.5 Teilfolgen und Häufungspunkte
78
5.2.6 Cauchyfolgen
89
1 Analysis und Numerik
11
5.3 Reihen
91
1.1 Analysis
11
5.3.1 Einige wichtige Reihen
94
1.2 Numerik
14
5.4 Grenzverhalten von Reihen
98
5.4.1 Notwendige Konvergenzbedingung 99
2 Reelle Zahlen
17
5.4.2 Absolute Konvergenz
99
2.1 Die reellen Zahlen beschreiben
19
5.4.3 Das Majorantenkriterium
100
2.1.1 Die reellen Zahlen konstruktiv beschreiben 19
5.4.4 Das Leibnitz-Kriterium
102
2.1.2 Die reellen Zahlen axiomatisch beschr. . . 20
5.4.5 Wurzelkriterium
103
2.2 Die Mächtigkeit der reellen Zahlen
25
5.4.6 Quotientenkriterium
104
2.2.1 Abzählbarkeit
25
6 Funktionen und Folgen
107
3 Komplexe Zahlen
29
6.1 Eine Konvergenz für reelle Funktionen
108
3.1 Die komplexen Zahlen
31
6.1.1 Konvergenz & verknüpfte Funktionen .
114
3.1.1 Die imaginäre Einheit
31
6.2 Konvergenz mehrdimensionaler Funktionen . .
115
3.1.2 Rechnen mit komplexen Zahlen
32
6.3 Funktionenfolgen
119
3.2 Nullstellen von Polynomgleichungen
36
3.3 Die komplexe Zahlenebene
38
7 Stetigkeit
122
7.1 Stetigkeit
122
3.3.1 Betrag und Argument komplexer Zahlen 38
3.3.2 Konjugiert komplexe Zahlen
39
7.1.1 Varianten der Stetigkeit
124
7.2 Analyse reeller stetiger Funktionen
128
3.4 Polardarstellung komplexer Zahlen
41
7.2.1 Der Zwischenwertsatz
128
4 Zahlendarstellung
46
7.2.2 Der Satz von Heine
130
4.1 Zahldarstellung im positionellen Zahlsystem
46
7.2.3 Der Satz vom Minimum und Maximum 131
4.1.1 Natürliche Zahlen zu einer Basis
47
7.3 Stetig fortsetzbare Funktionen
133
4.2 Maschinenzahlen
50
7.3.1 Gebrochen-rationale Funktionen
135
4.2.1 Darstellung von ganzen Zahlen
51
7.4 Stetigkeit mehrdimensionaler reeller Funktionen 140
4.2.2 Gleitkommazahlen
52
7.4.1 Stetigkeit mehrdimensionaler Funktionen 140
4.2.3 Binäre Gleitkommazahlen mit „hidden Bit" 53
8 Die Ableitung
141
5 Folgen und Reihen
55
8.1 Die eindimensionale Ableitung
142
5.1 Folgen
56
8.1.1 Alternative Beschreibung der Ableitung . 145
5.1.1 Graphische Darstellung von Folgen . . 59
8.1.2 Höhere Ableitungen
146
5.2 Grenzverhalten von Folgen
62
8.2 Rechenregeln für Ableitungen
147
5.2.1 Grenzwert, Konvergenz & Divergenz . . . 62
8.2.1 Die Summenregel
147
9
• INHALTSVERZEICHNIS
8.2.2 Die Produktregel
148
11 Polynominterpolation
220
8.2.3
Die
Kettenregel
150
11.1 Polynome - Definition und Eigenschaften . . . . 221
8.2.4 Die Quotientenregel
151
11.1.1 Homer-Schema
223
8.2.5 Die Ableitung der Umkehrfunktion . . . 153
11.2 Polynominterpolation
224
8.3
Der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung) 154
11.2.1 Existenz und Eindeutigkeit der Polyno-
8.4
Die mehrdimensionale Ableitung
156
minterpolation
226
8.4.1 Die partielle Ableitung
159
11.2.2 Interpolationsfehler
228
8.4.2 Höhere partielle Ableitungen
167
11.3 Verfahren zur Berechnung des Interpolationspo-
8.5
Extremstellen für eindimensionale Funktionen 169
lynoms von kleinem Grad
232
8.5.1 Wachstum von Funktionen
169
11.3.1 Lagrange-Interpolation
232
8.5.2 Extrema einer Funktion
171
11.3.2 Aitken-Neville-Interpolation
237
8.6
Extremstellen für mehrdimensionale Funktionen 177
11.3.3 Newton-Interpolation
241
8.6.1 Extrema im Mehrdimensionalen
177
11.4 Spline Interpolation
244
8.7
Taylorentwicklung
181
11.4.1 Kurzschreibweise für Splines
246
8.7.1 Das Taylorpolynom
181
11.4.2 Kubische Splines
248
8.7.2 Beispiele der Taylorentwicklung
183
12 Nummerische
Integration
252
9 Nullstellen nummerisch finden
186
12.1 Numerische Integration - Einleitung
253
9.1 Iterationsverfahren - Einführung
187
12.2 Die Newton-Cotes-Formeln
255
9.2 Der Banachsche Fixpunktsatz
190
12.2.1 Äquidistanten Stützstellen
259
9.3 Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung
193
12.3 Newton-Cotes-Formeln von kleinem Grad . .
261
9.3.1 Das Newton-Verfahren
193
12.3.1 Die Trapezregel
262
9.3.2 Das Sekanten-Verfahren
194
12.3.2 Die Simpsonregel
263
10 Das Integral
197
12.3.3 Die e-Regel
264
12.4 Quadraturfehler
266
10.1 Das bestimmte Integral
200
10.1.1 200
12.4.1 Exakte Quadraturformeln
266
Der orientierte Flächeninhalt
12.4.2 Quadraturfehler für beliebige Funktionen 267
10.1.2 Das Integral von Treppenfunktionen . . 201
12.4.3 Die summierten Newton-Cotes-Formeln . 267
10.1.3 Das Integral allgemeiner Funktionen . . 203
10.1.4 Rechenregeln für das Integral
210
13 Fehlerabschätzung
269
10.2 Der Mittelwertsatz (der Integralrechnung) . 213
13.1 Runden von Inputzahlen
270
10.3 Der Hauptsatz der Different.- & Integralrechnung214
13.2 Fortpflanzung des Rundungsfehlers
274
10.3.1 Integrale berechnen
216
10.3.2 Zwei Integrationshilfen
217
Symbolverzeichnis
283
