Mehrgittermethoden: Ein Lehr- und Übungsbuch

Cover......Page 1
© 2012......Page 5
Vorwort
......Page 6
Inhaltsverzeichnis
......Page 10
Teil I: Grundlagen......Page 16
1.1 Einführendes Beispiel......Page 18
1.1.1 Differenzenverfahren......Page 19
1.1.2 Die Methode der finiten Elemente......Page 20
1.2 Dividierte Differenzen......Page 22
1.3.1 Ein Modellproblem......Page 23
1.4 Differenzenverfahren für elliptische Randwertprobleme......Page 26
1.4.1 Diskretisierung mit dividierten Differenzen......Page 28
1.4.2 Ableitungen in den Randbedingungen......Page 30
1.4.3 Ein zweidimensionales Modellproblem......Page 33
1.5.1 Die Variationsmethode......Page 35
1.5.2 Prinzip der Methode der finiten Elemente......Page 37
1.5.3 Lokale und globale Basisfunktionen......Page 39
1.5.4 Aufbau der Gesamtmatrix A und der rechten Seite b......Page 41
Aufgaben......Page 46
Literatur......Page 48
2. Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme......Page 50
2.1.1 Konstruktion der Iterationsverfahren......Page 51
2.1.2 Einige Konvergenzsätze......Page 56
2.2 Block-Relaxationsverfahren......Page 63
2.3 Methode der konjugierten Gradienten (CG-Verfahren)......Page 64
2.3.1 Grundlage und Algorithmus......Page 65
2.3.2 Vorkonditionierung......Page 67
Aufgaben......Page 73
Literatur......Page 75
Teil II: Mehrgittermethoden im R1......Page 78
3.1 Die Gauß-Seidel-Iteration als Glätter......Page 80
3.2 Was ist ein Glätter?......Page 81
3.3 Eigenschaften der gedämpften Jacobi-Iteration......Page 83
3.4 Eigenschaften der Gauß-Seidel-Iteration......Page 86
3.4.1 Fourier-Analyse......Page 87
3.5 Glättung auf verschiedenen Gittern......Page 89
Aufgaben......Page 91
Literatur......Page 92
4.1 Ideensammlung......Page 94
4.2.1 Relaxation......Page 96
4.2.2 Interpolation (Prolongation)......Page 97
4.2.3 Restriktion......Page 98
4.2.4 Beziehungen zwischen den Operatoren......Page 99
4.3 Ein Modellproblem mit Neumann-Randbedingungen......Page 101
4.3.1 Relaxation......Page 102
4.3.3 Restriktion......Page 103
4.4 Eine Zweigittermethode......Page 104
Aufgaben......Page 107
Literatur......Page 108
5.1 Erste Beispiel-Methode......Page 110
5.2.1 Der rekursive V-Zyklus......Page 113
5.2.2 Der rekursive W-Zyklus......Page 114
5.3 Formulierung des V-Zyklus mit Stufenzahl ohne Rekursion......Page 115
5.4 Der FMG-Zyklus......Page 116
5.5 Die Komplexität der Mehrgittermethoden......Page 117
5.6 Ein Beispiel mit Neumann-Randbedingung......Page 118
5.7 Vergleich der Methoden......Page 119
Aufgaben......Page 120
6.1 Diskretisierung......Page 122
6.2 Hierarchische Finite-Elemente-Räume......Page 123
6.3 Fehlerschätzer......Page 127
6.4 Homogene und adaptive Netz-Verfeinerungen......Page 131
6.5 Elemente einer Mehrgittermethode......Page 133
6.5.2 Restriktion......Page 134
6.5.3 Interpolation (Prolongation)......Page 135
6.5.4 Ein Beispiel......Page 136
6.6 Schlussbetrachtung zu Teil II oder: Wasser in den Wein......Page 137
Aufgaben......Page 138
Literatur......Page 139
Teil III: Mehrgittermethoden im Rn......Page 140
7.1 Glättende Relaxationsverfahren......Page 142
7.1.1 Dividierte Differenzen und Gauß-Seidel: ein Beispiel......Page 143
7.1.2 Was ist ein Glätter?......Page 144
7.1.3 Was beeinflusst den Glätter?......Page 146
7.1.4 Das gedämpfte Jacobi-Verfahren......Page 149
7.1.5 Lokale Fourier-Analyse für das Gauß-Seidel-Verfahren......Page 151
7.2.1 Restriktionsoperatoren für das zweidimensionale Modellproblem......Page 157
7.2.2 Interpolationsoperatoren für das zweidimensionale Modellproblem......Page 159
7.3 Vollständige Mehrgitterzyklen......Page 164
7.4.1 Randwerte ungleich null......Page 170
7.4.2 Rechteckige Gebiete......Page 171
7.4.3 Krumme Ränder, randnahe Gitterpunkte......Page 172
7.4.4 Ableitungen in den Randbedingungen......Page 177
Aufgaben......Page 180
Literatur......Page 182
8.1 Funktionen- und Vektorräume für die Finite-Elemente-Methode......Page 184
8.2 Homogene und adaptive Netz-Verfeinerungen......Page 186
8.3.1 Reguläre Verfeinerung......Page 187
8.3.2 Bisektion über die längste Kante......Page 188
8.3.3 Geometrische Elemente im R3 und ihre Verfeinerung......Page 190
8.4 Hierarchische Finite-Elemente-Räume......Page 191
8.5.1 Grundlagen......Page 195
8.5.2 Fehlerschätzung durch lokal quadratische Ansatzfunktionen......Page 196
8.5.3 Weitere Fehlerschätzer – kurz erwähnt......Page 198
8.6.2 Steuerung über einen Schwellenwert......Page 199
8.7.1 Relaxationsverfahren......Page 200
8.7.2 Transfer-Operatoren......Page 201
8.7.3 Vollständige Mehrgitterzyklen......Page 206
8.7.4 Kaskadische Mehrgittermethoden......Page 207
8.8.1 Die Werkzeugkiste pdetool von Matlab......Page 210
8.8.2 Das Programmpaket Pltmg......Page 211
8.8.3 Das Programmpaket Kaskade......Page 214
Aufgaben......Page 218
Literatur......Page 220
Teil IV: Anhang......Page 222
9.1 Nichtlineare Probleme......Page 224
9.2 Instationäre Probleme, parabolische Differenzialgleichungen......Page 227
9.3 Parallelisierung......Page 230
9.3.1 Parallelisierung durch Gebietszerlegung......Page 231
9.3.2 Rechnerarchitektur und Kommunikation......Page 237
9.3.3 Parallele Mehrgitter-Algorithmen......Page 239
9.4 Mehrgittermethoden auf adaptiven Verbundgittern......Page 241
9.4.1 Ein Randwertproblem im R1......Page 242
9.4.2 Der FAC-Zweigitter-Algorithmus für das spezielle Beispiel......Page 246
9.4.3 Ein Randwertproblem im R2......Page 248
9.5 Ein anspruchsvolles Problem im R3......Page 249
9.5.1 Der Lamellenbrenner......Page 250
9.5.2 Die Navier-Stokes-Gleichungen......Page 251
9.5.3 Die Diskretisierung......Page 253
9.5.4 Parallelisierung der Mehrgittermethode......Page 256
9.5.5 Numerische Experimente......Page 257
Literatur......Page 260
10. Matrix- und Vektornormen, Konditionszahl......Page 262
Literatur......Page 267
11.1 Aufgaben zu Kap. 1......Page 268
11.2 Aufgaben zu Kap. 2......Page 270
11.3 Aufgaben zu Kap. 3......Page 274
11.4 Aufgaben zu Kap. 4......Page 275
11.5 Aufgaben zu Kap. 5......Page 277
11.6 Aufgaben zu Kap. 6......Page 279
11.7 Aufgaben zu Kap. 7......Page 280
11.8 Aufgaben zu Kap. 8......Page 285
Literatur......Page 288
Sachverzeichnis......Page 290