高等数学（上下)

高等数学 同济五版
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内容提要
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习题答案与提示
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习题答案与提示
目录
目录1
目录2
目录3
目录4
目录5
目录6
目录7
目录8
上册
第一章 函数与极限
第一节 映射与函数
集合
映射
函数
第二节 数列的极限
数列极限的定义
收敛数列的性质
第三节 函数的极限
函数极限的定义
函数极限的性质
第四节 无穷小与无穷大
无穷小
无穷大
第五节 极限运算法则
定理1
定理2
推论1
推论2
定理3
推论1
推论2
定理4
定理5
定理6
第六节 极限存在准则 两个重要极限
准则I
准则I'
准则II
准则II'
柯西极限存在准则
第七节 无穷小的比较
定义
高阶的无穷小
低阶的无穷小
同价无穷小
k阶无穷小
等价无穷小
定理1
定理2
第八节 函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点
函数的间断点
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
连续函数的和、差、积、商的连续性
反函数与复合函数的连续性
初等函数的连续性
第十节 闭区间上连续函数的性质
有界性与最大值最小值定理
零界定理与介值定理
一致连续性
总习题一
第二章 导数与微分
第一节 导数概念
引例
直线运动的速度
切线问题
导数的定义
函数在一点处的导数与导函数
求导数举例
单侧导数
导数的几何意义
导数可导性与连续性的关系
第二节 函数的求导法则
函数的和、差、积、商的求导法则
反函数的求导法则
复合函数的求导法则
基本求导法则与导数公式
第三节 高阶导数
莱布尼茨公式
第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
隐函数的导数
由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
第五节 函数的微分
微分的定义
微分的几何意义
基本初等函数的微分公式与微分运算法则
微分在近似计算中的应用
总习题二
第三章 微分中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理
费马引理
罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
第二节 洛必达法则
定理1
定理2
第三节 泰勒公式
泰勒中值定理
泰勒公式
拉格朗日型余项
佩亚诺型余项
麦克劳林公式
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
函数单调性的判定法
定理1
曲线的凹凸性与拐点
凹凸的定义
定理2
拐点
第五节 函数的极值与最大值最小值
函数的极值及其求法
定理1(必要条件)
定理2(第一充分条件)
定理3(第二充分条件)
最大值最小值问题
第六节 函数图形的描绘
第七节 曲率
弧微分
弧微分公式
曲率及其计算公式
平均曲率
曲率
曲率圆与曲率半径
曲率圆
曲率中心
曲率半径
曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线
渐屈线
渐伸线
第八节 方程的近似解
二分法
切线法
总习题三
第四章 不定积分
第一节 不定积分的概念与性质
原函数与不定积分的概念
定义1
原函数存在定理
定义2
基本积分表
不定积分的性质
性质1
性质2
第二节 换元积分法
第一类换元法
定理1
第二类换元法
定理2
第三节 分部积分法
分部积分公式
第四节 有理函数的积分
有理函数的积分
可化为有理函数的积分举例
第五节 积分表的使用
总习题四
第五章 定积分
第一节 定积分的概念与性质
定积分问题举例
曲边梯形的面积
变速直线运动的路程
定积分定义
定义
定理1
定理2
定积分的性质
性质1
性质2
性质3
性质4
性质5
推论1
推论2
性质6
性质7(定积分中值定理)
第二节 微积分基本公式
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
积分上限的函数及其导数
定理1
定理2
牛顿-莱布尼茨公式
定理3
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分的换元法
定理
定积分的分部积分法
第四节 反常积分
无穷限的反常积分
定义1
无界函数的反常积分
定义2
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
无穷限反常积分的审敛法
定理1
定理2
定理3
定理4
定理5
无界函数的反常积分的审敛法
定理6
定理7
Γ函数
递推公式
第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法
元素法
可加性
面积元素
第二节 定积分在几何学上的应用
平面图形的面积
直角坐标情形
极坐标情形
体积
旋转体的体积
平行截面面积为已知的立体的体积
平面曲线的弧长
定理
第三节 定积分在物理学上的应用
变力沿直线所作的功
水压力
引力
总习题六
第七章 空间解析几何与向量函数
第一节 向量及其线性运算
向量概念
向量的线性计算
向量的加减法
向量与数的乘法
定理1
空间直角坐标系
利用坐标作向量的线性运算
向量的模、方向角、投影
向量的模与两点间的距离公式
方向角与方向余弦
向量在轴上的投影
性质1
性质2
性质3
第二节 数量积 向量积 *混合积
两向量的数量积
两向量的向量积
向量的混合积
第三节 曲面及其方程
曲面方程的概念
旋转曲面
柱面
二次曲面
第四节 空间曲线及其方程
空间曲线的一般方程
空间曲线的参数方程
空间曲线在坐标面上的投影
第五节 平面及其方程
平面的点法式方程
平面的一般方程
两平面的夹角
第六节 空间直线及其方程
空间直线的一般方程
空间直线的对称式方程与参数方程
两直线的夹角
直线与平面的夹角
杂例
总习题七
下册
第八章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念
平面点集n维空间
平面点集
n维空间
多元函数概念
定义1
多元函数的极限
定义2
多元函数的连续性
定义3
定义4
性质1(有界性与最大值最小值定理)
性质2(介值定理)
性质3(一致连续性定理)
第二节 偏导数
偏导数的定义及其计算法
定义
高阶偏导数
定理
第三节 全微分
全微分的定义
定义
定理1(必要条件)
定理2(充分条件)
全微分在近似计算中的应用
第四节 多元复合函数的求导法则
复合函数的中间变量均为一元函数的情形
定理1
复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理2
复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形
定理3
全微分形式不变性
第五节 隐函数的求导公式
一个方程的情形
隐函数存在定理1
隐函数存在定理2
方程组的情形
第六节 多元函数微分学的几何应用
空间曲线的切线与法平面
曲线的向量方程及向量值函数的导数
曲面的切平面与法线
第七节 方向导数与梯度
方向导数
定理
梯度
第八节 多元函数的极值及其求法
多元函数的极值及最大值、最小值
定义
定理1
定理2
条件极值
拉格朗日乘数法
第九节 二元函数的泰勒公式
二元函数的泰勒公式
定理
拉格朗日型余项
二元函数的拉格朗日中值公式
极值充分条件证明
第十节 最小二乘法
经验公式
最小二乘法
均方误差
总习题八
第九章 重积分
第一节 二重积分的概念与性质
二重积分的概念
曲顶柱体的体积
平面薄片的质量
定义
二重积分的性质
性质1
性质2
性质3
性质4
性质5
性质6
第二节 二重积分的计算法
利用直角坐标计算二重积分
利用极坐标计算二重积分
二重积分的换元法
第三节 三重积分
三重积分的概念
定义
三重积分的计算
利用直角坐标计算三重积分
利用柱面坐标计算三重积分
利用球面坐标计算三重积分
第四节 重积分的应用
曲面的面积
利用曲面的参数方程求曲面的面积
质心
转动惯量
引力
第五节 含参变量的积分
定理1
定理2
定理3
定理4
定理5
总习题九
第十章 曲线积分与曲面积分
第一节 对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量
定义
性质1
性质2
性质3
对弧长的曲线积分的计算法
定理
第二节 对坐标的曲线积分
对坐标的曲线积分的概念与性质
变力沿曲线所作的功
定义
性质1
性质2
性质3
对坐标的曲线积分的计算法
定理
两类曲线积分之间的关系
第三节 格林公式及其应用
格林公式
定理1
平面上曲线积分与路径无关的条件
定理2
二元函数的全微分求积
定理3
第四节 对面积的曲面积分
对面积的曲面积分的概念与性质
定义(第一类曲面积分)
对面积的曲面积分的计算法
第五节 对坐标的曲面积分
对坐标的曲面积分的概念与性质
流向曲面一侧的流量
定义(第二类曲面积分)
对坐标的曲面积分的计算法
两类曲面积分之间的联系
第六节 高斯公式 通量与散度
高斯公式
定理1
拉普拉斯算子
格林第一公式
沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
定理2
通量与散度
散度
通量
第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度
斯托克斯公式
定理1
空间曲线积分与路径无关的条件
定理2
定理3
环流量与旋度
旋度
环流量
向量微分算子
总习题十
第十一章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念和性质
常数项级数的概念
定义
收敛级数的基本性质
性质1
性质2
性质3
性质4
性质5
柯西审敛定理
定理
第二节 常数项级数的审敛法
正项级数及其审敛法
定理1
定理2(比较审敛法)
推论
定理3(比较审敛法的极限形式)
定理4(比值审敛法，达朗贝尔(D'Alembert)判别法)
定理5(极值审敛法，可惜判别法)
定理6(极限审敛法)
交错级数及其审敛法
定理7(莱布尼茨定理)
绝对收敛与条件收敛
定理8
定理9
定理10(绝对收敛级数的乘法)
第三节 幂级数
函数项级数的概念
幂级数及其收敛性
定理1(阿贝尔(Abel)定理)
推论
定理2
幂级数的计算
性质1
性质2
性质3
第四节 函数展开成幂级数
泰勒级数
定理
函数展开成幂级数
二项展开式
第五节 函数的幂级数展开式的应用
近似计算
欧拉公式
第六节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
函数项级数的一致收敛性
定义
定理(魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法)
一致收敛级数的基本性质
定理1
定理2
定理3
定理4
定理5
第七节 傅立叶级数
三角级数 三角函数系的正交性
函数展开成傅立叶级数
傅立叶系数
傅立叶级数
定理(收敛定理，狄利克雷(Dirichlet)充分条件)
正弦级数和余弦级数
奇延拓(偶延拓)
第八节 一般周期函数的傅立叶级数
周期为2l的周期函数的傅立叶级数
定理
傅立叶级数的复数形式
总习题十一
第十二章 微分方程
第一节 微分方程的基本概念
微分方程
微分方程的解
初值问题
微分方程的积分曲线
第二节 可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程
隐式解
第三节 齐次方程
齐次方程
可化为齐次的方程
第四节 一阶线性微分方程
线性方程
齐次线性方程
常数变易法
伯努利方程
第五节 全微分方程
全微分方程
积分因子
第六节 可降阶的高阶微分方程
Power(y,n)=f(x)型的微分方程
y"=f(x,y')型的微分方程
y"=f(y,y')型的微分方程
第七节 高阶线性微分方程
二阶线性微分方程举例
线性微分方程的解的结构
定理1
定理2
推论
定理3
定理4
常数变易法
第八节 常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程
特征方程
求解步骤
n阶常系数齐次线性微分方程
微分算子
特征方程
第九节 常系数非齐次线性微分方程
待定系数法
f(x)=exp(λx) Pm(x)型
f(x)=exp(λx)[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型
第十节 欧拉方程
欧拉方程
第十一节 微分方程的幂级数解法
定理
求解勒让德(Legendre)方程
第十二节 常系数线性微分方程组解法举例
微分方程组
常系数线性微分方程组
求解步骤
总习题十二
附录
附录I 二阶和三阶行列式简介
附录II 几种常用的曲线
附录III 积分表