Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications

Page de titre......Page 1
Préfaces......Page 3
1. Séries entières. Fonction holomorphe en un point. Zéros......Page 13
3. Fonction uniforme......Page 15
4. Points singuliers. Pôles. Résidus. Points singuliers essentiels......Page 16
5. Remarque sur les zéros et les pôles......Page 17
6. Point à l'infini......Page 18
8. 0bjet du paragraphe......Page 19
9. Fonction rationnelle particulière......Page 20
11. Formes analytiques principales des fonctions rationnelles......Page 21
12. Remarque......Page 23
13. Relation algébrique entre deux fonctions rationnelles. Théorème d'addition algébrique......Page 24
15. Fonction sin u ; sa définition par un produit infini. Fonctions cot u et 1/sin² u ; leurs expressions par des séries. Périodicité de ces fonctions......Page 25
16. Fonctions trigonométriques en général......Page 29
17. Définition......Page 31
18. Parallélogrammes des périodes......Page 32
19. Théorème fondamental......Page 34
20. Une fonction elliptique a un nombre limité de pôles dans un parallélogramme élémentaire......Page 35
21. Fonctions σ, ζ, ℘, Z, H......Page 36
22. Remarque......Page 42
23. Cas de dégénérescence......Page 43
24. Cas des pôles simples......Page 44
26. Formule de décomposition en éléments simples dans le cas où certains pôles sont multiples......Page 46
28. Remarques......Page 49
29. Règle pratique pour la décomposition d'une fonction elliptique f(u) en éléments simples......Page 50
30. Il ne peut pas exister de fonctions elliptiques ayant un seul pôle dans un parallélogramrne, si ce pôle est du premier ordre......Page 51
31. Exemple. Décomposition de ℘²u en éléments simples......Page 52
32. Relation algébrique entre ℘ u et sa dérivée ℘'u......Page 54
33. Développements en séries de puissances de ℘ u, ζ u, σ u......Page 55
35. Intégration d'une fonction elliptique......Page 57
36. Homogénéité......Page 58
37. Cas de dégénérescence......Page 59
38. Décomposition en facteurs......Page 60
39. Théorème de Liouville......Page 62
40. Notation de Jacobi......Page 63
42. Ordre d'une fonction elliptique......Page 64
43. Décomposer en facteurs la fonction doublement périodique f(u) = ℘ u - ℘ v, où v est une constante......Page 65
45. Formule d'addition de la fonction ℘ u......Page 66
46. Décomposition de ℘'u en facteurs. Discriminant......Page 67
47. Effet de l'addition d'une demi-période à l'argument de ℘ u......Page 70
48. Expressions de ℘ u - e_λ. Fonctions σ₁, σ₂, σ₃......Page 71
49. Toute fonction elliptique f(u) aux périodes 2ω et 2ω' est une fonction rationnelle de ℘ u et ℘'u......Page 72
50. Remarque sur l'intégration d'une fonction elliptique supposée mise sous la forme d'une fonction rationnelle de ℘ et ℘'......Page 74
51. Entre deux fonctions elliptiques f(u) et f₁(u) aux mêmes périodes existe une relation algébrique......Page 75
52. Toute fonction elliptique f(u) admet un théorème d'addition algébrique......Page 77
Exercices sur le Chapitre II......Page 78
54. Les invariants g₂ et g₃ sont alors réels......Page 84
55. Valeurs réelles de l'argument......Page 85
56. Argument purement imaginaire......Page 86
58. Autres valeurs de u rendant ℘ u réelle......Page 88
60. Cas général......Page 91
61. Condition pour que trois points soient en ligne droite......Page 92
62. Formule d'addition......Page 93
63. Tangentes menées d'un point de la courbe......Page 96
64. Condition pour que 3n points de la cubique soient sur une courbe d'ordre n......Page 97
65. Cas particulier où ω et ω'/i sont réels. Forme de la courbe. Nature de l'argument donnant des points réels......Page 101
66. Dégénérescence. Cas d'un point double......Page 104
67. Rectification de la lemniscate......Page 105
68. Pendule sphérique......Page 107
69. Corps pesant de révolution suspendu par un point de son axe......Page 113
70. La courbe élastique gauche......Page 117
Exercices sur le Chapitre III......Page 119
72. Périodes......Page 123
73. Développement en série simple de la fonction Z(u). Valeur de δ......Page 124
74. Fonction H......Page 127
75. Développement de H(u) en série trigonométrique......Page 129
76. Fonctions H, H₁, Θ, Θ₁ de Jacobi......Page 131
78. Formules relatives à l'addition d'une période ou d'une demi-période......Page 134
79. Addition d'un nombre entier de périodes......Page 136
80. Développements de H₁, Θ, Θ₁ en produits infinis simples......Page 137
81. Relation 2K/π H'(0) = H₁(0)Θ(0)Θ₁(0)......Page 139
82. Formules relatives à l'échange de K et K'......Page 140
83. Principales notations usitées pour les fonctions de Jacobi......Page 143
85. Définitions......Page 144
86. Addition d'une période ou d'une demi-période......Page 145
88. Périodicité; zéros; pôles des fonctions sn, cn, dn......Page 146
89. Formule d'addition préliminaire......Page 147
91. Module. Module complémentaire......Page 148
92. Formules d'addition pour sn u, cn u et dn u......Page 149
94. Expression du multiplicateur en fonction des périodes. Choix de périodes 2K et 2iK' telles que le multiplicateur soit égal à l'unité......Page 151
95. Dérivées successives......Page 152
97. Dérivées des fonctions inverses. Première idée de l'inversion à l'aide des fonctions de Jacobi......Page 153
98. Dégénérescence......Page 155
99. Relation entre ℘ u et sn u......Page 156
100. Théorème......Page 158
101. Développements de η et de η' en séries......Page 159
lO2. Exemples de décomposition en éléments simples et d'intégration......Page 160
103. Notations d'Abel......Page 163
Exercices sur le Chapitre IV......Page 164
105. Argument réel......Page 167
107. Argument purement imaginaire......Page 168
108. Argument de la forme K + iu, u réel......Page 170
109. Résumé......Page 171
110. Expression des périodes par des intégrales définies......Page 172
111. Relations entre K, K' et k......Page 173
113. Expression de K par une série hypergéométrique......Page 175
114. Valeurs réelles de ℘ u dans le cas où ω et ω'/i sont réels, rattachées à celles de sn² u......Page 176
115. Équations de la biquadratique......Page 180
116. Forme de la courbe......Page 182
117. Condition pour que quatre points de la courbe soient dans un même plan......Page 183
118. Plans osculateurs menés à la courbe par un point de la courbe......Page 185
119. Détermination des surfaces du second ordre passant par la biquadratique......Page 186
120. Équation de la surface des ondes......Page 188
121. Expression des coordonnées d'un point de la surface en fonction de deux paramètres elliptiques......Page 191
122. Les 16 points de ramification de la représentation elliplique......Page 193
123. Les deux nappes réelles de la surface......Page 195
124. Distribution des courbes paramétriques sur les nappes réelles de la surface......Page 198
125. Permutation des couples paramétriques à la suite d'un circuit autour d'un point de ramification réel......Page 200
126. Les 32 transformations homographiques de la surface en elle-même......Page 202
127. Points singuliers de la surface......Page 204
128. Plans tangents singuliers......Page 206
129. Pendule simple......Page 211
130. Élastique plane sans pression......Page 214
131. Corde à sauter......Page 219
132. Mouvements à la Poinsot......Page 223
133. Herpolhodie......Page 230
135. Les neuf cosinus déduits de l'équation de l'herpolhodie......Page 236
137. Théorème préliminaire de Géométrie......Page 239
138. Premier cas de figure : Introduction des fonctions elliptiques......Page 240
139. Condition de fermeture......Page 243
140. Généralisation de Jacobi......Page 247
141. Deuxième cas: les cercles se coupent......Page 248
143. Troisième cas: le cercle O₁ est extérieur à O......Page 250
Exercices sur le Chapitre V......Page 256
146. Arguments réels, purement imaginaires, imaginaires conjugués......Page 259
147. Parmi les racines e1, e₂, e₃, l'une e₂ est réelle, et les deux autres imaginaires conjuguées. Le discriminant est négatif......Page 262
148. Valeurs de u pour lesquelles ℘ u et ℘'u sont réelles toutes les deux. Résumé......Page 263
150. Les intégrales donnant les valeurs de ω₂ et ω'₂/i ramenées à la forme canonique de Legendre......Page 265
151. Variation du rapport iω₂/ω'₂......Page 268
152. Les intégrales qui définissent les périodes ramenées à la forme canonique de Legendre......Page 269
153. Variation du rapport ω'/iω......Page 271
154. Étude de la courbe x = ℘ u, y = ℘'u, y² = 4x³ - g₂x - g₃......Page 272
155. Équations différentielles et intégrales premières......Page 274
156. Intégration par les fonctions elliptiques......Page 277
157. Développement de y et de t en séries entières ordonnées suivant les puissances de u = gx/w²......Page 280
158. Exemple élémentaire de la méthode employée pour calculer les intégrales elliptiques......Page 282
159. Intégrales elliptiques......Page 283
161. Forme normale de Legendre......Page 284
162. Intégrales de première, deuxième et troisième espèce, d'après Legendre et Jacobi......Page 286
163. Cas d'un polynome bicarré......Page 289
164. Réduction à la forme normale en quantités réelles, dans le cas d'un polynome bicarré de la forme A(x²+α)(x²+β); A, α et β étant réels......Page 290
165. Réduction à la forme canonique de Legendre en quantités réelles quand y est la racine carrée d'un polynome du quatrième degré......Page 293
166. Cas où le polynome sous le radical est du troisième degré......Page 295
167. Réduction à la forme normale......Page 296
168. Inversion de l'intégrale elliptique lorsque les invariants sont réels......Page 297
II. - Le polynome sous le radical est du quatrième degré. Premier mode de réduction où l'on ne s'occupe pas de la réalité......Page 300
169. Cas particulier......Page 301
170. Le cas général ramené au cas particulier précédent......Page 302
171. Règle......Page 304
172. Expression elliptique des racines d'un polynome du quatrième degré......Page 305
173. Discussion relative à la réalité des racines. Cas où le discriminant est positif......Page 306
174. Inversion en quantités réelles......Page 308
175. Résumé......Page 311
176. Racines de F(z)......Page 312
177. Inversion en quantités réelles......Page 313
179. Méthode générale......Page 315
180. Mise en équations......Page 318
181. Intégration par les fonctions elliptiques......Page 319
182. Inversion......Page 320
183. Nature de l'argument......Page 322
184. Expressions de x et de y......Page 323
185. Intervalle dans lequel il suffit de faire varier t......Page 324
186. Construction de la courbe......Page 325
187. Énoncé de la question......Page 327
188. Nombre de solutions......Page 328
189. Énoncé et mise en équation......Page 329
190. Tableau de formules......Page 332
191. Intégration par les fonctions elliptiques......Page 333
192. Inversion......Page 334
193. Nature des arguments......Page 336
194. Intervalle dans lequel il suffit de faire varier t......Page 337
195. Variation de r²......Page 338
196. Variation de l'angle polaire......Page 339
197. Angle des rayons allant à deux sommets consécutifs......Page 340
198. Signe du rayon de courbure......Page 343
199. Forme de la courbe......Page 346
200. Surfaces homofocales à un ellipsoïde et passant par un point donné......Page 347
202. Longueur d'un arc infiniment petit......Page 349
203. Les coordonnées λ, μ, ν remplacées par des arguments elliptiques. Les coordonnées cartésiennes s'expriment par des fonctions uniformes de ces arguments......Page 350
204. Les surfaces homofocales à un ellipsoïde sont des surfaces isothermes. Chacun des arguments u, v, w est un paramètre thermométrique......Page 353
205. Équation de la chaleur quand les variables sont les arguments u, v, w......Page 357
206. Solutions dépendant d'une équation de Lamé......Page 360
Exercice......Page 361
207. Division de la période par 2ω......Page 362
208. Relations entre les modules et les multiplicateurs......Page 363
209. Relations entre les intégrales K et K₁......Page 364
210. Calcul de K quand k est donné......Page 365
211. Calcul de la valeur de l'intégrale ... quand k et φ sont donnés......Page 367
Exercices sur le Chapitre X......Page 372
212 . Définitions......Page 374
213. Expression générale des fonctions à multiplicateurs constants......Page 376
214. Décomposition en facteurs......Page 377
215. Nombre minimum de pôles d'une fonction à multiplicateurs constants......Page 379
216. Fonctions à multiplicateurs spéciaux......Page 380
217. Élément simple......Page 381
218. Formule de décomposition. Cas des pôles simples......Page 383
219. Cas des pôles multiples......Page 385
220. Méthode d'Hermite......Page 387
221. Multiplicateurs spéciaux......Page 388
222. Équation de Lamé......Page 390
223. Forme de l'équation de Lamé dans les notations de Weierstrass......Page 391
224. Intégration de l'équation de Lamé pour n = 1......Page 392
225. Équations de M. Picard......Page 393
226. Retour à l'équation de Lamé......Page 396
227. Définition......Page 399
228. Simplification des relations que vérifie une fonction à multiplicateurs exponentiels......Page 400
229. Exemple du cas N = 1......Page 401
230. Première expression d'une fonction doublement périodique de troisième espèce......Page 402
231. Cas de N positif......Page 403
232. Cas de N négatif......Page 407
233. Étude de l'élément simple......Page 408
234. Décomposition en éléments simples dans le cas où N est négatif, N = - m......Page 411
235. Exemple......Page 415
236. Formule de décomposition dans le cas de N positif, N = m......Page 417
237. Résumé......Page 418
I. - L'invariant absolu J(τ). 238. Couples de périodes équivalentes......Page 419
240. L'invariant absolu J......Page 422
241. La fonction J(τ) est holomorphe dans le demi-plan positif......Page 423
242. Propriété fondamentale de la fonction J(τ)......Page 424
243. Substitutions linéaires......Page 425
244. Propriété géométrique des substitutions linéaires......Page 427
245. Le groupe modulaire......Page 428
246. Le domaine fondamental du groupe modulaire......Page 429
247. Théorème I......Page 431
248. Théorème II......Page 433
249 . Théorème III......Page 434
250. Application à J(τ)......Page 435
252. Théorème V......Page 436
254. Théorème VII......Page 437
255. Établissement d'une égalité fondamentale......Page 438
256. Expression de J(τ) en fonction de k²......Page 439
257. Développement de J(τ) dans le voisinage de q = 0 (ou τ == i∞)......Page 440
258. Étude des valeurs réelles de J(τ)......Page 441
259. Théorème VIII......Page 442
261. Les fonctions modulaires......Page 444
262. Les six transformations linéaires du module k²......Page 445
263. Le groupe G et ses substitutions fondamentales......Page 448
264. Le domaine fondamental de la fonction k²(τ)......Page 450
265. Distribution des valeurs réelles de k²(τ)......Page 452
266. Transformation du premier ordre des fonctions de Jacobi......Page 454
Exercices sur le Chapitre XIII......Page 456
NOTE I. Démonstation du théorème de Liouville......Page 459
NOTE II. - Impossibilité de l'existence d'une fonction analytique avec deux périodes dont le rapport est réel......Page 460
Addition à la Note II. - Impossibilité d'une fonction analytique avec trois périodes......Page 462
NOTE III. - Sur les développements infinis des fonctions circulaires et des fonctions elliptiques......Page 465
I. Développement de sin πu en produit infini......Page 466
II. Formation de l'équation différentielle de la fonction ℘ u......Page 468
NOTE IV. - Convergence du produit infini qui définit σ u......Page 472
NOTE V. - Sur le développement des fonctions Θ en facteurs......Page 476
1 à 7. Considérations générales......Page 478
8. Retour sur la transformation de Landen......Page 482
9. Remarques sur l'itération de la transformation de Landen pour k complexe......Page 484
10. La transformation S......Page 485
11. Lemme I......Page 486
12. Lemme II......Page 488
13. Lemmme III......Page 490
14. Solution du problème de l'inversion pour |k| suffisamment petit......Page 492
15. Extension au cas d'un module quelconque ( ≠ 0, 1, ∞)......Page 494
Résumé des principales formules......Page 496