Les mathématiques : plaisir et nécessité

Couverture......Page 1
Page de titre......Page 2
Prologue......Page 8
Deux objectifs ambitieux......Page 9
L'année mondiale des mathématiques......Page 10
Les problèmes du Clay Mathematics Institute......Page 12
Les équations de Navier-Stokes......Page 14
1. Le matin des mathématiciens......Page 17
Thalès......Page 20
Pythagore......Page 23
Euclide et Pappus......Page 26
Fabuleux Archimède......Page 29
Un jeu de disques......Page 33
Apollonius......Page 35
Mesures de la Terre et du ciel......Page 37
Naissance de la trigonométrie et de l'astrométrie......Page 38
Diophante......Page 40
2. Notation, symbolisme, vocabulaire: les mathématiques ont leur langage......Page 44
Sauvegardé par les Arabes......Page 45
Chiffres romains et chinois......Page 53
Le siècle de Viète......Page 56
Le siècle de Descartes......Page 62
Meilleur accès aux éléments significatifs......Page 63
L'école mathématique française......Page 64
Pascal et Fermat......Page 65
La géométrie analytique......Page 66
La dérivation......Page 67
L'aire sous la courbe......Page 76
Newton et Leibniz......Page 77
Dériver pour optimiser : l'algorithme de Fermat......Page 80
Fermat est-il l'inventeur du calcul différentiel ?......Page 82
Fermat et la géométrie différentielle......Page 83
Newton et la dérivation......Page 87
Newton et l'intégration......Page 88
Leibniz et l'intégration......Page 89
Leibniz et la dérivation......Page 91
L'intégrale pour elle-même : la révolution culturelle de Cauchy......Page 93
L'intégrale de Riemann......Page 94
L'intégrale de Denjoy-Henstock-Kurzweil-Perron......Page 95
Enfin, le 29 avril 1901, Lebesgue vint......Page 97
La théorie des distributions......Page 99
4. Mathématique du ciel : mécanique et cadastre......Page 101
Le mythe de l'éther......Page 103
L'espace courbé par les masses......Page 106
La décevante relativité de Brans et Dicke......Page 109
Masse pesante et masse inerte......Page 110
Une très ingrate cosmologie......Page 111
À l'école de Bessel......Page 114
Au-delà du système solaire, comment procéder ?......Page 116
L'anneau de Saturne......Page 118
Calendriers d'hier et de demain......Page 120
Les réactions de gravitation......Page 123
Lagrange et Hamilton......Page 124
Orbite circulaire......Page 126
Orbites elliptiques......Page 127
Manœuvres dans l'espace circumterrestre......Page 128
Les régimes d'évasion......Page 130
Orbites de Hohmann et de Sternfeld......Page 132
L'espace très lointain......Page 133
5. L'académie des quarante problèmes......Page 134
APOLLONIUS : Tracer à la règle non graduée et au compas un cercle tangent à trois cercles donnés......Page 135
BOURBAKI : Écrire un traité basique universel des mathématiques......Page 137
CANTOR : Y a-t-il quelque chose entre le dénombrable et le continu ?......Page 138
CAVALIERI : Qu'est-ce qu'un infiniment petit ?......Page 139
CÉSAR : Un message peut-il rester privé ?......Page 140
DEDEKIND : Qu'est-ce qu'un nombre ?......Page 141
DESCARTES : La réfraction et les ovales......Page 142
ÉRATOSTHÈNE : Comment déterminer les nombres premiers, et factoriser tout entier en produit de diviseurs premiers ?......Page 143
EUCLIDE : Qu'est-ce qu'une parallèle ?......Page 144
EULER : Y a-t-il dans cette salle quelque chose à calculer ?......Page 145
FERMAT : La plus célèbre équation diophantienne......Page 146
FOURIER : Comment réchauffer l'eau du bain ?......Page 148
GALILÉE : Comment tombent les corps ?......Page 149
GAUSS : Constuire un polygone régulier à la règle non graduée et au compas......Page 150
GOEDEL : Les terribles limites de la méthode axiomatique......Page 151
GRÉGOIRE XIII : Astronomie et calendrier......Page 152
HERMITE : Quels sont les nombres transcendants ?......Page 153
KEPLER : Qu'est-ce qu'un maximum ?......Page 154
LEBESGUE : Comment trouver l'intégrale universelle (ou presque...) ?......Page 155
LEGENDRE : La répartition des nombres premiers obéit-elle à une loi simple ?......Page 156
MANDELBROT : Quelle est la longueur des côtes de la Bretagne ?......Page 157
MÉNECHME : À quoi servent les coniques ?......Page 158
NEWTON : Comment retrouver un mouvement à partir de la connaissance des vitesses instantanées ou des accélérations ?......Page 160
PAPPUS : Qu'est-ce qu'un lieu géométrique ?......Page 161
PASCAL: Jouer aux dés n'est pas forcément perdre son temps......Page 162
PEARSON : Comment prendre une décision à partir d'observations statistiques ?......Page 164
PLATON : Les mathématiques existeraient-elles sans l'homme ?......Page 169
RIEMANN : La première conjecture la plus « résistante » à ce jour......Page 171
ZÉNON : Qu'est-ce que la somme d'une série ?......Page 172
ZERMELO : L'axiome du choix est-il acceptable ?......Page 173
Des problèmes par centaines......Page 174
6. Qu'est-ce qu'un point?......Page 178
Un exemple de recherche à base axiomatique : l'intégrale......Page 179
Euclide et les Éléments......Page 181
Quelques commentaires......Page 183
Géométrie pure contre géométries analytiques......Page 187
Un peu de gymnastique mentale......Page 192
Les axiomes de Hilbert......Page 193
Hilbert et Euclide......Page 195
D'autres géométries......Page 196
7. Qu'est-ce qu'un nombre?......Page 202
La détermination de triplets pythagoriciens par Euclide......Page 203
La définition de N par Dedekind......Page 206
Qu'est-ce qu'un nombre entier ?......Page 207
Les opérations fondamentales : addition, multiplication et ordre......Page 208
L'axiomatique de Peano......Page 209
Qu'est-ce qu'un entier relatif ?......Page 210
Qu'est-ce qu'un nombre rationnel ?......Page 211
Qu'est-ce qu'un nombre réel ?......Page 212
Les différentes constructions de R......Page 214
Les coupures de Dedekind......Page 215
Qu'est-ce qu'un nombre algébrique ?......Page 218
Au-delà du corps des réels : les complexes......Page 220
Au-delà du corps des complexes : les quaternions......Page 222
8. Mathématiques et information (1) : vaincre les distances......Page 224
Un monument : les équations de Maxwell......Page 227
Le radioconducteur avec Branly......Page 229
La portée, avec Marconi......Page 231
Les courants alternatifs......Page 233
Le calcul opérationnel......Page 236
De Cauchy à Nyquist......Page 239
Du transistor au numérique......Page 240
« Wellington defeated...»......Page 242
Le temps des compressions......Page 245
9. Mathématiques et information (2) : un ordinateur pour chacun......Page 247
Qui doit enseigner l'informatique?......Page 248
Quelle informatique doit enseigner la mathématicien?......Page 250
Cette mathématique indispensable à l'informatique......Page 252
Algorithmes et programmes......Page 253
Mathématiques et société : les cartes bancaires......Page 256
Dialogue avec un terminal......Page 260
Une vengeance par Internet interposé......Page 262
Guillou, Quisquater, Rivest, Shamir et Adleman......Page 263
L'équation de la fusée......Page 269
De l'empirisme au calcul......Page 273
Le roman des quanta......Page 277
Le photon est une particule......Page 278
Enfin un modèle de l'atome......Page 280
De Broglie et Schrödinger......Page 282
Un pythagorisme de la matière......Page 285
Vers une théorie atomique des cristaux......Page 286
Les 230 groupes de Schoenflies-Fedorov......Page 288
Une cristallographie formelle......Page 289
Les phonons......Page 290
L'art du mathématicien......Page 292
Quand le défaut est une qualité......Page 294
11. Les sciences de la Terre : une planète en équations......Page 297
De l'ellipsoïde de Hayford au géoïde......Page 299
Le système Terre......Page 300
Le grand défi......Page 302
Le modèle fondamental......Page 304
La ligne S......Page 305
Les périodes de Milankovitch......Page 308
A- Le coussin atmosphérique......Page 310
B- Les boucles......Page 311
La guerre des ondes......Page 317
Un enchevêtrement de réseaux......Page 319
Les micro-systèmes......Page 320
Une architecture fractale......Page 321
Les z négatifs : que se passe-t-il à l'intérieur de la Terre ?......Page 324
12. Mathématiques et biologie......Page 327
Logique de la vie......Page 330
Des briques actives......Page 332
Unité de la vie......Page 336
La dynamique des animaux......Page 338
Les équations du robot......Page 341
Vito Volterra......Page 343
Le moi et la physique......Page 346
Conformation du cerveau......Page 347
Brodmann......Page 349
La magie des équations intrinsèques......Page 351
Eccles......Page 352
Objets mathématiques, seriez-vous notre âme ?......Page 354
Charles Ehresmann......Page 355
Conclusion......Page 357
Du Capitole à la roche Tarpéienne......Page 358
L'aventure des mathématiques « modernes »......Page 359
La commission Lichnérowicz......Page 361
De l'adulation à l'ostracisme......Page 362
Puissance incontournable......Page 364
Index......Page 374