М.: Наука, 1986.- 760 с.Книга включает геометрию Евклида и Минковского, их группы преобразований, классическую геометрию кривых и поверхностей, тензорный анализ и риманову геометрию, вариационное исчисление и теорию поля, основы теории относительности, понятие многообразия и важнейшие примеры, основы теории расслоений, гомотопий и гомологий, некоторые их приложения, в частности, к теории кaлибровочныx полей.
Для студентов университетов - математиков, механиков, физиков-теоретиков, начиная со 2-го курса. Книга будет полезна также аспирантам в научным работникам.Предисловие.
Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей.
Геометрия в области простравства. Основные понятия.
Системы координат.
Евклидово пространство.
Римановы и псевдоримановы пространства.
Простейшие группы преобразований евклидова пространства.
Формулы Френе.
Псевдоевклидовы пространства.
Теория поверхностей.
Геометрия на поверхности в пространстве.
Вторая квадратичная форма.
Метрика сферы.
Пространственноподобные поверхности в псевдоевклидовом пространстве.
Комплексный язык в геометрии.
Аналитические функции.
Конформный вид метрик поверхностей.
Группы преобразований как поверхности в N-мерном пространстве.
Конформные преобразования многомерных евклидовых и псевдоевклидовых пространств.
Тензоры. Алгебраическая тeopия.
Примеры тензоров.
Общее определение тензора.
Тензоры типа (0, k).
Тензоры в римановом и псевдоримановом пространстве.
Кристаллографические группы и конечные подгруппы группы вращений плоскости и пространства. Примеры инвариантных тензоров.
Тензоры ранга 2 в псевдоевклидовом пространстве и их собственные значения.
Поведение тензоров при отображениях.
Векторные поля.
Алгебры Ли.
Дифференциальное исчисление тензоров.
Дифференциальное исчисление кососимметрических тензоров.
Кососимметрические тензоры и теория интегрирования.
Дифференциальные формы в комплексных пространствах.
Ковариантное дифференцирование.
Ковариантное дифференцирование и метрика.
Тензор кривизны.
Элементы вариационногo исчисления.
Одномерные вариационные задачи.
Законы сохранения.
Гамильтонов формализм.
Геометрическая теория фазового пространства.
Лагранжевы поверхности.
Вторая вариация для уравнения геодезических.
Многoмерные вариационные задачи. Поля и их геометрические инварианты.
Простейшие многомерные вариационные задачи.
Примеры лагранжианов.
Простейшие понятия общей теории относитeльности.
Спинорное представление групп SO(3) и 0(3,1). Уравнение Дирака и его свойства.
Ковариантное дифференцирование полей с произвольной симметрией.
Примеры калибровочно инвариантных функционалов. Уравнения Максвелла и Янга - Миллса. Функционалы с тождественно нулевой вариационной производной (характеристические классы).
Геометрия и топология многообразий.
Примеры многообразий.
Понятие многообразия.
Простейшие примеры многообразий.
Необходимые сведения из теории групп Ли.
Комплексные многообразия.
Простейшие однородные пространства.
Пространства постоянной кривизны (симметрические пространства).
Линейные элементы и связанные с ними многообразия.
Вопросы обоснования. Необходимые сведения из теории функций. Типичные гладкие отображении.
Разбиение единицы и его применения.
Реализация компактных многообразий как поверхностей в RN.
Некоторые свойства гладких отображений многообразий.
Применения теоремы Сарда.
Степень отображения. Индекс пересечения. Их приложения.
Понятие гомотопии.
Степень отображения.
Некоторые применения степени.
Индекс пересечения и ero применения.
Ориентируемость многообразий. Фундаментальная группа. Накрытия (paccлoeнныe пространства с дискретным слоем).
Ориентируемость и гомотопия замкнутых путей.
Фундаментальная группа.
Накрытие и накрывающая гомотопия.
Накрытия и фундаментальная группа. Вычисление фундаментальной группы некоторых многообразий.
Дискретные группы движений плоскости Лобачевского.
Гомотопические группы.
Определение абсолютных и относительных гомотопических групп. Примеры.
Накрывающая гомотопия. Гомотопические группы покрытий и пространств петель.
Сведения о гомотопических группах сфер. Оснащенные многообразия. Инвариант Хопфа.
Гладкие расслоения (косые произведения).
Гомотопичеекая теория косых произведений.
Дифференциальная геометрия расслоений.
Узлы и зацепления. Косы.
Некоторые првмеры динамических систем и слоений на многообразиях.
Простейшие понятия качествепной теории динамических систем. Двумерные многообразия.
Гамильтоновы системы на многообразиях. Теорема Лиувилля. Примеры.
Слоения.
Вариационные задачи с высшими производными. Гамильтоновы полевые системы.
Глобальная структура решений мнoгoмeных вариационных задач.
Некоторые многообразия общей теории относительности (ОТО).
Некоторые примеры глобальпых решений уравнений Янга-Миллса. Киральные поля.
Минимальность комплексных подмногообразий.
Список литературы.
Предметный указатель.
