Leçons sur la théorie des fonctions

Page de titre......Page 1
PREFACE DE LA DEUXIÈME ÉDITION......Page 3
PRÉFACE DE LA PREMIÈRE ÉDITION......Page 7
INDEX......Page 9
CHAPITRE I. - Notions générales sur les ensembles......Page 11
La notion de puissance......Page 12
Les ensembles dénombrables......Page 16
Comparaison des ensembles dénombrables avec les autres ensembles......Page 22
Les ensembles qui ont la puissance du continu......Page 26
Généralités sur les nombres algébriques......Page 31
L'ensemble des nombres algébriques est dénombrable......Page 33
Les recherches de Liouville......Page 36
L'approximation des nombres incommensurables......Page 39
Les ensembles parfaits......Page 44
Les ensembles parfaits qui ne sont denses dans aucun intervalle......Page 40
Les ensembles mesurables......Page 56
La définition du prolongement analytique......Page 61
Un théorème de Poincaré......Page 63
Remarque de Weierstrass sur les séries de fonctions uniformes......Page 67
CHAPITRE V. - Sur la convergence de certaines séries réelles......Page 72
Séries à une seule variable......Page 73
Séries à deux variables......Page 79
Courbes de convergence uniforme......Page 82
CHAPITRE VI. - La notion de fonction d'une variable complexe......Page 90
Fonctions analytiques et expressions analytiques......Page 91
Le théorème de Mittag-Leffler......Page 95
Les représentations analytiques connues......Page 98
Remarque sur les séries de fractions rationnelles......Page 100
Étude de certaines séries de fractions simples......Page 103
Propriétés essentielles des séries étudiées. - Conclusion......Page 108
L'égalité et l'inégalité des puissances......Page 112
La formation d'ensembles ayant ùes puissances de plus en plus grandes......Page 117
La puissance des ensembles de fonctions......Page 119
Le théorème de Paul du Bois-Heymond......Page 121
La formation d'une échelle de types croissants......Page 124
Les nombres de M. G. Cantor......Page 129
Les fonctions discontinues......Page 133
Les fonctions définies par des conditions dénombrables......Page 136
La notion de fonction arbitraire......Page 142
A propos de l' « infini nouveau »......Page 145
L'antinomie du transfini......Page 152
Le continu bien ordonné d'après M. Zermelo......Page 157
Cinq lettres sur la théorie des ensembles......Page 160
Sur les principes de la théorie des ensembles......Page 170
Les « Paradoxes » de la théorie des ensembles......Page 172
La Philosophie mathématique et l'infini......Page 176
L'infini mathématique et la réalité......Page 184
Les probabilités dénombrables......Page 192
Les fractions décimales......Page 204
Les fractions continues......Page 211
Sur un problème de probabilités relatif aux fractions continues......Page 220
Hemarques historiques......Page 227
Nombres calculables......Page 229
Les fonctions calculables et les fonctions à définition asymptotique......Page 233
Les ensembles mesurables......Page 235
Le premier théorème fondamental......Page 238
La mesure des ensembles bien définis......Page 239
Le second théorème fondamental......Page 246
Les ensembles à points multiples......Page 248
Les ensembles de mesure nulle......Page 250
La définition des fonctions bornées et le troisièrne théorème fondamental......Page 252
La définition de l'intégrale des fonctions bornées......Page 254
Les propriétés de l'intégrale des fonctions bornées......Page 256
L'intégration des fonctions non bornées......Page 258
Comparaison avec l'intégrale de M. Lebesgue......Page 260
Le calcul par la définition......Page 263
L'emploi des probabilités dénombrables......Page 264
Complément aux Notes V et VI......Page 265