Matrizen und Lie-Gruppen: Eine geometrische Einfuhrung

Cover......Page 1
Matrizen und
Lie-Gruppen......Page 3
ISBN 9783834813657......Page 4
Vorwort......Page 6
Inhaltsverzeichnis......Page 8
1 Zur Motivation und Historie von Transformationsgruppen......Page 11
2
Hilfsmittel aus der Analysis und der
Linearen Algebra......Page 16
¨ Ubungsaufgaben......Page 24
3.1 Die allgemeine lineare Gruppe mit Untergruppen......Page 25
3.2 Die Quaternionen......Page 31
¨ Ubungsaufgaben......Page 34
4
Vektorfelder und autonome
Differentialgleichungen......Page 37
5
Gruppen von geometrischen
Transformationen......Page 45
5.1 Die affine Gruppe......Page 46
5.2 Die euklidische Gruppe......Page 50
5.3 Die orthogonale Gruppe und die sph¨arische Geo-metrie......Page 52
5.4 Die projektive Gruppe......Page 53
5.5 Die M¨obius-Gruppe......Page 57
5.6 Die hyperbolische Bewegungsgruppe......Page 61
5.7 Die Lorentz-Gruppe und die Poincar´e-Gruppe......Page 66
5.8 Die Standgruppen der Gruppen von geometrischen Transformationen......Page 68
¨ Ubungsaufgaben......Page 69
6
Exponentialreihe und Logarithmus
von Matrizen......Page 71
6.1 Die Exponentialreihe von Matrizen......Page 72
6.2 Der Logarithmus von Matrizen......Page 78
6.3 1-Parameter-Untergruppen von Matrizen......Page 80
6.4 Reelle Potenzen von Matrizen......Page 82
¨ Ubungsaufgaben......Page 83
7
Der Tangentialraum im Einselement
und die zugeh¨orige Lie-Algebra......Page 85
7.1 Der Tangentialraum im Einselement......Page 87
7.2 Abgeschlossene Untergruppen von Matrizen......Page 91
7.3 Untergruppen und Untermannigfaltigkeiten......Page 97
7.4 Die Lie-Algebra einer Untergruppe von Matrizen......Page 100
¨ Ubungsaufgaben......Page 104
8.1 Lie-Unteralgebren im Vektorraum aller Matrizen......Page 107
8.2 Die Campbell–Baker–Hausdorff–Formel......Page 109
¨ Ubungsaufgaben......Page 115
9
Abstrakte Lie-Gruppen......Page 117
9.1 Der Mannigfaltigkeitsbegriff......Page 118
9.2 Abstrakte Lie-Gruppen......Page 122
¨ Ubungsaufgaben......Page 126
10
Die adjungierte Darstellung und die
Lie-Klammer......Page 127
10.1 Von der Konjugation zur adjungierten Darstel-lung......Page 128
10.2 Die Lie-Klammer einer abstrakten Lie-Gruppe......Page 131
¨ Ubungsaufgaben......Page 133
11
Linksinvariante Vektorfelder......Page 135
11.1 Die Lie-Algebra der linksinvarianten Vektorfel-der......Page 136
11.2 Die Lie-Ableitung von differenzierbaren Vektor-feldern......Page 139
¨ Ubungsaufgaben......Page 147
12.1 1-Parameter-Untergruppen und Potenzen......Page 149
12.2 Die Exponentialabbildung......Page 151
¨ Ubungsaufgaben......Page 154
13
Homomorphismen und
Unterstrukturen......Page 155
13.1 Homomorphismen und Untergruppen......Page 156
13.2 Lie-Untergruppen und Lie-Unteralgebren......Page 159
¨ Ubungsaufgaben......Page 162
14
Quotienten von Lie-Gruppen......Page 163
14.1 Normalteiler und Ideale......Page 164
14.2 Der Homomorphiesatz f¨ur Lie-Gruppen......Page 167
¨ Ubungsaufgaben......Page 171
15.1 Abelsche Lie-Gruppen......Page 173
15.2 Nilpotente Lie-Gruppen......Page 178
¨ Ubungsaufgaben......Page 180
16.1 ¨Uberlagerungen......Page 181
16.2 Die Fundamentalgruppe einer Lie-Gruppe......Page 184
16.3 Die Ableitung der ¨Uberlagerungsabbildung......Page 187
¨ Ubungsaufgaben......Page 191
17
Halbeinfache und kompakte
Lie-Gruppen......Page 193
17.1 Einfache Lie-Gruppen und Lie-Algebren......Page 194
17.2 Aufl¨osbare Lie-Gruppen und Lie-Algebren......Page 197
17.3 Die Killing-Form und halbeinfache Lie-Gruppen......Page 199
17.4 Maximale Tori und die Weyl-Gruppe......Page 206
¨ Ubungsaufgaben......Page 210
Kapitel 18
Anhang......Page 212
Lehrbuch–Literatur......Page 228
Verzeichnis mathematischer Symbole......Page 230
Index......Page 231