Ziel dieses Lehrbuchs ist es, das Material des ersten Semesters eines Vorlesungszyklus zur Analysis prägnant und verständlich darzustellen und darüber hinaus Ausblicke und Ergänzungen zu geben, die den Stoff lebendig werden lassen.
Besonderer Wert wird auf die Motivation der zu behandelnden Themen gelegt. Zu Beginn des Buchs wird die mathematische Denkweise, insbesondere Beweistechniken und axiomatisches Vorgehen, ausführlich eingeführt. Dieses Buch basiert auf Vorlesungen, die regelmäßig und seit vielen Jahren an der TU München abgehalten werden.
Zahlreiche Abbildungen veranschaulichen die behandelten Konzepte und Ideen. Zudem ermöglicht dieses Lehrbuch den Zugriff auf mehr als 250 interaktive Aufgaben in der Springer Nature Flashcards-App, mit denen Wissen und Verständnis überprüft werden kann – hervorragend geeignet auch zur Prüfungsvorbereitung.
Author(s): Martin Brokate, Johannes Zimmer, Florian Lindemann
Edition: 1
Publisher: Springer Spektrum
Year: 2023
Language: German
Commentary: Publisher PDF | Published: 25 November 2023
Pages: xii, 298
City: Berlin, Heidelberg
Tags: Lehrbuch; Selbstlernen; Prüfungsvorbereitung; Grenzwerte; Stetigkeit; Folgen; Reihen; Differenzialrechnung; Integralrechnung
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
1 Aussagen
1.1 Grundlagen
1.2 Verknüpfung von Aussagen
1.3 Quantoren
2 Vollständige Induktion
2.1 Summen- und Produktnotation
2.2 Die Beweismethode der vollständigen Induktion
2.3 Verallgemeinerungen des Induktionsprinzips
2.4 Bonusmaterial und Anmerkungen
3 Mengen
3.1 Grundbegriffe der Mengenlehre
3.2 Mengenoperationen und ihre Rechenregeln
3.3 Indizierte Mengen
3.4 Mengen von Mengen
3.5 Geordnete Paare. Das Produkt zweier Mengen
3.6 Schlussbemerkungen
3.6.1 Cantors Werk und seine Rezeption
3.6.2 Zur Definition der natürlichen Zahlen
Ergänzendes Material zu diesem Kapitel
4 Einige Beweistechniken
4.1 Kontraposition und Widerspruchsbeweis
4.2 Zum axiomatischen Aufbau der Mathematik
4.3 Die Jagd nach dem kleinsten Verbrecher
Literatur für dieses Kapitel
5 Reelle Zahlen
5.1 Axiomatische Charakterisierung
5.1.1 Körperaxiome
5.1.2 Anordnungsaxiome
5.1.3 Vollständigkeit
5.2 Folgerungen aus den Körpereigenschaften
5.3 Potenzen
5.4 Elementare Ungleichungen
5.5 Absolutbetrag, Minimum und Maximum
5.6 Supremum und Infimum. Vollständigkeit
5.7 Ausblick: Zum Archimedischen Axiom
Ergänzende Literatur zu diesem Kapitel
6 Funktionen
6.1 Der Funktionsbegriff
6.2 Eigenschaften von Abbildungen
6.3 Die Umkehrfunktion. Wurzeln
6.4 Komposition von Funktionen
7 Die komplexen Zahlen
7.1 Motivation
7.2 Definition und elementare Eigenschaften komplexer Zahlen
7.3 Nachbemerkung und Ausblick
Ergänzende Literatur zu diesem Kapitel
8 Folgen
8.1 Motivation
8.2 Folgen und Grenzwerte
8.3 Rechenregeln für Grenzwerte
8.4 Verträglichkeit von Grenzwert und Ungleichungen
8.4.1 Montone Folgen
8.5 Uneigentliche Konvergenz
8.6 Der Satz von Bolzano-Weierstraß
8.6.1 Teilfolgen und Häufungspunkte
8.7 Limes superior und Limes inferior
8.8 Vollständigkeit
8.9 Folgen komplexer Zahlen
8.10 Bonusmaterial
Literatur zu diesem Kapitel
9 Reihen
9.1 Motivation und grundlegende Begriffe
9.2 Absolute Konvergenz
9.3 Weitere Konvergenzkriterien
9.4 Alternierende Reihen
9.5 Potenzreihen
9.6 Reihenprodukte
9.7 Bemerkungen und Ausblicke
Ergänzende Literatur zu diesem Kapitel
10 Stetige Funktionen
10.1 Motivation
10.2 Grundlegende Begriffe
10.3 Sätze über stetige Funktionen
10.4 Uneigentliche Grenzwerte von Funktionen
10.5 Monotone Funktionen
10.6 Anmerkungen
Ergänzende Literatur zu diesem Kapitel
11 Exponentialfunktion, trigonometrische Funktionen, Logarithmus
11.1 Die Exponentialfunktion im Reellen
11.2 Die Exponentialfunktion im Komplexen. Trigonometrische Funktionen
11.3 Die Kreiszahl π
11.4 Polarkoordinaten
11.5 Tangens und hyperbolische Funktionen
11.6 Logarithmen
11.7 Die allgemeine Potenzfunktion
12 Differenzierbarkeit reeller Funktionen
12.1 Kontext. Definition der Differenzierbarkeit
12.2 Rechenregeln
12.3 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen
12.4 Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen
12.5 Höhere Ableitungen
12.6 Konvexe Funktionen
12.7 Schlussbemerkung: Nicht differenzierbare Funktionen
Ergänzende Literatur zu diesem Kapitel
13 Folgen von Funktionen
13.1 Punktweise Konvergenz
13.2 Gleichmäßige Konvergenz
14 Das Integral
14.1 Grundlagen
14.2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
14.3 Integrationsregeln
14.4 Bonusmaterial: Integrationspraxis
14.4.1 Integration rationaler Funktionen
14.4.2 Integrale von Verkettungen rationalen Funktionen
14.5 Weitere Charakterisierungen von Regelfunktionen
14.6 Uneigentliche Integrale
14.7 Anwendung: Wallis'sches Produkt und Stirlingsche Formel
14.8 Ausblick
Ergänzende Literatur zu diesem Kapitel
15 Vertauschungssätze
15.1 Punktweise Konvergenz: Drei Enttäuschungen
15.2 Vertauschungssätze für gleichmäßige Konvergenz
16 Potenzreihen und Taylorreihen
16.1 Gleichmäßige Konvergenz von Potenzreihen
16.2 Taylorreihen
16.3 Bonusmaterial
17 Einführung in Differentialgleichungen
17.1 Separable Differentialgleichungen erster Ordnung
17.2 Inhomogene Gleichungen erster Ordnung
17.2.1 Integrierende Faktoren
17.2.2 Variation der Konstanten
17.3 Anwendung: Coffeingehalt im Blut
Ergänzende Literatur zu diesem Kapitel
18 Unendliche Mengen
Stichwortverzeichnis
