Zarys Teorii wektorów i tensorów

Okładka
SPIS RZECZY
Przedmowa do wydania I
Przedmowa do wydania II
Rozdział I Algebra wektorów
§ 1. Pojęcie wektora
1. Skalary i wektory
2. Wektory swobodne i związane
3. Oznaczanie wektorów i ich miar. Wektor jednostkowy
4. Dodawanie i odejmowanie wektorów
5. Mnożenie wektora przez liczbę
6. Zależność liniowa wektorów
Przykłady
Ćwiczenia I
§ 2. Iloczyn skalarny
7. Kąty między wektorami oraz między wektorami a osią
8. Rzut wektora
9. Iloczyn skalarny wektorów
10. Praca jako iloczyn skalarny wektorów
11. Podstawa jednostkowa prostokątna
12. Składowe wektora
13.Iloczyn skalamy dwóch wektorów wyrażony przez współrzędne
14. Obrót i odbicie lustrzane układów współrzędnych
15. Iloczyn skalarny jako niezmiennik
16. Ortogonalne transformacje liniowe
17. Podwójne znaczenie transformacji wektora
18. Transformacje złożone
19. Własności transformacji ortogonalnych
20. Kąty Eulera
21. Ruchy kuli ziemskiej
Przykłady
Ćwiczenia II
§ 3. Iloczyn wektorowy
22. Definicja iloczynu wektorowego
23. Wektory osiowe i biegunowe
24. Własności iloczynu wektorowego
25. Iloczyn wektorowy wyrażony przez współrzędne
26. Zmiana iloczynu wektorowego przy transformacji układu
27. Moment obrotowy
28. Prędkość liniowa w ruchu obrotowym
29. Zestawienie własności iloczynów
§ 4. Iloczyny wielokrotne
30. Iloczyn mieszany
31. Iloczyn mieszany wyrażony przez współrzędne
32. Wyznacznik Grama
33 Podwójny iloczyn wektorowy
34. Poczwórne iloczyny wektorowe
Przykłady
Ćwiczenia III
35. Zastosowanie poznanych wzorów do geometrii, trygonometrii i mechaniki
Przykłady
Ćwiczenia IV
§ 5. Funkcje liniowe wektora
36. Podstawy odwrotne
37. Zastosowanie układów odwrotnych
Przykłady
Ćwiczenia V
38. Odwzorowanie powinowate
39. Transformacje układu
40. Jednorodna funkcja liniowa wektora
41. Własności liniowej funkcji wektora, określającej odwzorowanie afiniczne
42. Redukcja funkcji liniowej Wektora
43. Iloczyn diadyczny i diady
44. Postać dziewiątkowa diady
45. Diady symetryczne
46. Diady antysymetryczne
47. Rozkład diady na część symetryczną i antysymetryczną
48. Skalar i wektor diady
49. Iloczyn skalarny diad
50. Iloczyn wektorowy diady przez wektor
51. Podwójny iloczyn skalarny
Przykłady
Ćwiczenia VI
Rozdział II. Analiza wektorów
§ 6. Różniczkowanie i całkowanie wektorów
52. Definicja różniczkowania i całkowania wektorów ze względu na pewien parametr
53. Pochodne sum i iloczynów
54. Obrót podstawy jednostkowej
55. Pochodne cząstkowe wektora
Przykłady
Ćwiczenia VII
§ 7. Geometria krzywych
56.Podstawa towarzysząca
57. Płaszczyzna ściśle styczna i normalna główna
58. Wektor Darboux
59.Wzory Serreta - Freneta
60. Wzory na pierwszą i drugą krzywiznę
61. Ruch punktu po krzywej
Przykłady
Ćwiczenia VIII
§ 8. Funkcje wektorów wielu zmiennych
62. Współrzędne krzywoliniowe na powierzchni
63. Pierwsza podstawowa forma różniczkowa powierzchni
64. Druga podstawowa forma różniczkowa powierzchni
65. Krzywizna normalna krzywej na powierzchni
66. Współrzędne krzywoliniowe w przestrzeni
67. Element objętościowy
Przykłady
Ćwiczenia IX
Rozdział III. Analiza pól
§ 9. Funkcje pola
68. Definicja pola
69. Pole skalarne
70. Gradient
71. Gradient jako niezmiennik
72. Pochodna funkcji pola skalarnego wzdłuż danego kierunku
73. Pochodna funkcji pola wektorowego wzdłuż danego kierunku
74. Dywergencja i rotacja
Przykłady
Ćwiczenia X
§ 10. Operator nabla
75. Formalny rachunek symbolem nabla
76. Stosowanie operatora nabla dwukrotnie
77. Wzory dla promienia wodzącego r
Przykłady
Ćwiczenia XI
§ 11. Dywergencja
78. Wydajność źródeł
79. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego
80. Wzory Greena
81. Dywergencja jako niezmiennik
82. Pole bezźródłowe
83. Niezmienniki pola
Przykłady
Ćwiczenia XII
§ 12. Rotacja
84. Rotacja pola prędkości
85. Całki krzywoliniowe
86. Własności całek krzywoliniowych
87. Zachowawcze pole sił. Energia potencjalna
88. Całkowanie na płaszczyźnie
89. Twierdzenie Stokesa
Przykłady
Ćwiczenia XIII::
§ 13. Wektory bezwirowe i solenoidalne
90. Obszary jedno i wielospójne
91. Wektory bezwirowe
92. Potencjał prędkości
93. Wektor solenoidalny
94. Potencjał wektorowy
95. Warunki całkowalności
96. Całki krzywoliniowe w obszarach wielospójnych
97. Potencjał grawitacyjny
98. Potencjał w punkcie położonym wewnątrz ciała
99 Równanie Poissona
100. Rozwiązanie równania Poissona
101. Twierdzenie o jednoznaczności pola wektorowego
102. Wyznaczanie pola wektorowego
102. Wyznaczanie pola wektorowego z jego źródeł i wirów
Przykłady
Ćwiczenia XIV
§ 14. Funkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych
103. Współrzędne krzywoliniowe
104. Układ krzywoliniowy prostokątny
105. Współrzędne walcowe
106.Współrzędne sferyczne
107.Gradient dywergencja i rotacja we współrzędnych krzywoliniowych
Przykłady
Ćwiczenia XV
108. Funkcje harmoniczne
109. Rozwiązanie równania Laplace’a w dwu wymiarach
110. Rozwiązanie równania Laplace’a w trzech wymiarach
111. Równanie Poissona dla punktowego rozkładu mas
112. Teoria potencjału w elektrostatyce
113. Dipol i warstwa podwójna
114. Przewodniki elektryczne
115. Dielektryki
Przykłady
Ćwiczenia XVI
Rozdział IV. Wektory i tensory w afinicznej przestrzeni wektorowej
§ 15. Wektory w przestrzeni wektorowej
116. Uogólnienie pojęcia przestrzeni
117. Przestrzeń metryczna i wektorowa
118. Pewniki afinicznej przestrzeni wektorowej
119. Transformacja układów prostoliniowych
120. Wektory kontrawariantne i kowariatne
121. Transformacje układów krzywoliniowych
§ 16. Tensory w afinicznej przestrzeni wektorowej
122. Pojęcie obiektu geometrycznego
123. Wektory i tensory o składowych kontrawariantnych
124. Wektory i tensory o składowych kowariantnych
125. Tensory o składowych mieszanych
126. Podstawowa własność tensorów
Przykłady
Ćwiczenia XVII
§ 17. Działania na tensorach
127. Dodawanie tensorów
128. Mnożenie tensora przez skalar
129. Iloczyn zewnętrzny tensorów
130. Kontrakcja tensorów
131. Iloczyn wewnętrzny tensorów
132. Warunki wystarczające na to, by obiekt geometryczny był tensorem
133. Tensory symetryczne i antysymetryczne
134. Iloczyny zewnętrzne wektorów. Poliwektory
135. Pseudotensory
136. Pojemność i gęstość skalarna
137. Pojemność i gęstość tensorowa
Przykłady
Ćwiczenia XVIII
Rozdział V. Wektory i tensory w metrycznej przestrzeni Euklidesa
§ 18. Metryka w przestrzeni Euklidesa
138. Iloczyn skalarny
139. Tensor metryczny
140. Własności tensora metrycznego
141. Podstawowa forma kwadratowa. Długość łuku krzywej
142. Wyznacznik tensora metrycznego. Przestrzeń Euklidesa
143. Składowe wektora kowariantnego
144. Rzuty wektora na dany kierunek
145. Podwyższanie i obniżanie wskaźników
146. Transformacja wyznacznika g przy zmianie układu współrzędnych
Przykłady
Ćwiczenia XIX
§ 19. Analiza tensorów
147. Pochodna pola wektorów wzdłuż krzywej w przestrzeni euklidesowej w układzie prostoliniowym
148. Pochodna wektora w układzie krzywoliniowym
149. Symbole Chrisioffela
150. Pochodna absolutna tensorów
151. Pochodna kowariantna
152. Pochodna kowariantnft złożonych wyrażeń tensorowych
153. Kontrakcja symboli Christoffda
154. Pochodna kowariantna pseudotensorów
155. Operatory różniczkowe
156. Fizyczne składowe tensorów
Przykłady
Ćwiczenia XX
Rozdział VI. Wektory i tensory w przestrzeni Riemanna
§ 20. Tensory w przestrzeni Riemanna
157. Tensor metryczny
158. Działania na tensorach w przestrzeni Riemanna
159. Analiza tensorów w przestrzeni Riemanna
160. Przestrzeń Euklidesa styczna do przestrzeni Riemanna
§ 21. Przeniesienie równoległe
161. Wektory równoległe w przestrzeni Euklidesa i w przestrzeni Riemanna
162. Równanie geodetyki
163. Długości wektorów i kąty w przestrzeni Riemanna przy przeniesieniu równoległym
164. Stacjonarna długość linii geodezyjnej
§ 22. Tensor krzywizny
165. Krzywizna przestrzeni
166. Krzywizna przestrzeni Riemanna
167. Tensor krzywizny Riemanna Christoffela
168. Składowe kowariantne tensora krzywizny
169. Tensor Ricciego-Einsteina
170. Tożsamość Bianchiego
Przykłady
Ćwiczenia XXI
Odpowiedzi do ćwiczeń
Bibliografia
Skorowidz