Mathématiques appliquées aux domaines du génie

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Préface
Table des matières
1 LES NOMBRES COMPLEXES
1.1 Représentation analytique et géométrique
1.1.1 La solution de toute équation de la forme az² + bz + c = 0
1.1.2 Le plan de Gauss
1.1.3 Les opérations élémentaires dans ℂ
1.1.4 Les nombres conjugués complexes et le module d'un nombre complexe
1.1.5 Le quotient de deux nombres complexes
1.1.6 L'interprétation géométrique de l'addition de deux nombres complexes
1.1.7 La forme polaire d'un nombre complexe
1.1.8 La multiplication et la division de nombres complexes en représentation polaire
1.1.9 Lieux géométriques
1.1.10 Le calcul de zⁿ
1.1.11 La résolution de l'équation zⁿ = w
1.2 La fonction exponentielle complexe
1.2.1 La fonction eⁱᶿ, où Θ est réel
1.2.2 La définition de eᶻ
1.2.3 Les formules d'Euler
1.2.4 Les formules de de Moivre : expressions pour cos(nΘ) et sin(nΘ)
1.2.5 Le problème inverse : expressions transformées en une somme de termes de la forme cos(mΘ) et sin(nΘ)
1.2.6 Applications aux circuits électriques
1.3 Les polynômes
1.3.1 Les principales définitions
1.3.2 Le théorème fondamental de l'algèbre
1.3.3 Les racines d'un polynôme réel
1.4 Résumé
Exercices
2 LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
2.1 Équations différentielles du premier ordre
2.1.1 L'origine des équations différentielles
2.1.2 Définitions et exemples
2.1.3 Les équations différentielles à variables séparables
2.1.4 Proportionnalité
2.1.5 La croissance d'une population : le modèle simple
2.1.6 La croissance d'une population : le modèle plus réaliste
2.1.7 La désintégration radioactive
2.1.8 La chute des corps
2.1.9 Problèmes de mélange
2.1.10 Équation différentielle d'une famille de courbes
2.1.11 Trajectoires orthogonales
2.1.12 Changements de variables
2.1.13 Les équations différentielles linéaires du premier ordre
2.1.14 Circuits électriques
2.2 Équations différentielles du deuxième ordre se ramenant à des équations différentielles du premier ordre
2.2.1 Le cas d'une équation différentielle de la forme F(x,y'') = 0
2.2.2 Le cas d'une équation différentielle de la forme F(x,y',y'') = 0
2.2.3 Le cas d'une équation différentielle de la forme F(y,y',y'') = 0
2.3 Les équations différentielles linéaires du deuxième ordre : principes généraux
2.3.1 Existence et unicité des solutions
2.3.2 Indépendance linéaire et Wronskien
2.3.3 La solution générale d'une équation différentielle linéaire homogène du deuxième ordre
2.3.4 La solution générale d'une équation différentielle linéaire non homogène du deuxième ordre
2.3.5 Problèmes avec conditions initiales
2.3.6 Problèmes avec conditions aux limites
2.3.7 Obtention d'une deuxième solution d'une équation différentielle linéaire homogène du deuxième ordre
2.3.8 La méthode de Lagrange : cas non homogène
2.4 Les équations différentielles linéaires du deuxième ordre à coefficients constants
2.4.1 Le cas de l'équation homogène
2.4.2 La méthode des coefficients indéterminés (équation non homogène)
2.4.3 Exemples d'équations différentielles linéaires du deuxième ordre
2.4.4 Les oscillations linéaires
2.5 Les équations différentielles linéaires d'ordre n
2.5.1 Le cas général
2.5.2 Le cas d'une équation différentielle homogène à coefficients constants
2.5.3 Le cas d'une équation différentielle non homogène à coefficients constants
2.6 Les équations différentielles linéaires de type Euler-Cauchy
2.7 Résumé
Exercices
3 LE CALCUL DIFFÉRENTIEL DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
3.1 Représentation géométrique
3.1.1 Définitions
3.1.2 Représentation géométrique d'une fonction de deux variables
3.1.3 Courbes et surfaces de niveau
3.2 Dérivées partielles et différentielle totale
3.2.1 Dérivées partielles
3.2.2 Le plan tangent à une surface z = f(x,y) au point (x₀, y₀, f(x₀, y₀))
3.2.3 Différentielle totale et calculs d'erreurs
3.3 Dérivées des fonctions composées
3.4 Dérivées d'ordre supérieur
3.5 Dérivée directionnelle, gradient et plan tangent
3.5.1 Dérivée directionnelle
3.5.2 Le gradient d'une fonction de plusieurs variables
3.5.3 Les fonctions de trois variables et le plan tangent
3.6 Le théorème de Taylor et le calcul approché
3.6.1 Le théorème de Taylor
3.6.2 Le calcul approché
3.7 Extremums libres et extremums liés
3.7.1 Extremums libres
3.7.2 La droite des moindres carrés
3.7.3 La recherche d'extremums sur un domaine fermé
3.7.4 Extremums liés et la méthode des multiplicateurs de Lagrange
3.8 Les fonctions implicites et leurs dérivées
3.9 Les équations différentielles exactes
3.9.1 L'équation différentielle d'une famille f(x,y) = c
3.9.2 Équations différentielles exactes et méthode de résolution
3.9.3 Facteur intégrant
3.9.4 Différentielle exacte
3.10 Résumé
Exercices
APPENDICE A : Aide-mémoire
Réponses aux exercices
Chapitre 1
Chapitre 2
Chapitre 3
Index