Grundwissen Mathematikstudium – Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen

Vorwort zur 2. Auflage
Vorwort
Die Autoren
Inhaltsverzeichnis
Verzeichnis der Übersichten
1. Mathematik – eine
Wissenschaft für sich
1.1 Über Mathematik, Mathematiker und
dieses Lehrbuch
1.2 Die didaktischen Elemente
dieses Buchs
1.3 Ratschläge zum Einstieg in
die Mathematik
1.4 Eine kurze Geschichte der
Mathematik
2. Logik, Mengen, Abbildungen – die
Sprache der Mathematik
2.1 Junktoren und Quantoren
2.2 Grundbegriffe aus der
Mengenlehre
2.3 Abbildungen
2.4 Relationen
Zusammenfassung
Aufgaben
3.
Algebraische Strukturen – ein Blick hinter die Rechenregeln
3.1 Gruppen
3.2 Homomorphismen
3.3 Körper
3.4 Ringe
Zusammenfassung
Aufgaben
4.
Zahlbereiche – Basis der gesamten Mathematik
4.1 Der Körper der reellen
Zahlen
4.2 Die Anordnungsaxiome für
die reellen Zahlen
4.3 Ein Vollständigkeitsaxiom
4.4 Natürliche Zahlen und
vollständige Induktion
4.5 Ganze Zahlen und rationale
Zahlen
4.6 Komplexe Zahlen
4.7 Vertiefung: Konstruktiver
Aufbau der reellen Zahlen
Zusammenfassung
Aufgaben
5.
Lineare Gleichungssysteme – ein Tor zur linearen Algebra
5.1 Erste Lösungsversuche
5.2 Das Lösungsverfahren von
Gauß und Jordan
5.3 Das Lösungskriterium und
die Struktur der Lösung
Zusammenfassung
Aufgaben
6. Vektorräume – von
Basen und Dimensionen
6.1 Der Vektorraumbegriff
6.2 Beispiele von Vektorräumen
6.3 Untervektorräume
6.4 Basis und Dimension
6.5 Summe und Durchschnitt
von Untervektorräumen
Zusammenfassung
Aufgaben
7.
Analytische Geometrie – Rechnen statt Zeichnen
7.1 Punkte und Vektoren im
Anschauungsraum
7.2 Das Skalarprodukt im
Anschauungsraum
7.3 Weitere Produkte von Vektoren im
Anschauungsraum
7.4 Abstände zwischen Punkten,
Geraden und Ebenen
7.5 Wechsel zwischen kartesischen
Koordinatensystemen
Zusammenfassung
Aufgaben
8.
Folgen – der Weg ins Unendliche
8.1 Der Begriff einer Folge
8.2 Konvergenz
8.3 Häufungspunkte und
Cauchy-Folgen
Zusammenfassung
Aufgaben
9. Funktionen und
Stetigkeit – ε trifft auf δ
9.1 Grundlegendes zu
Funktionen
9.2 Beschränkte und monotone
Funktionen
9.3 Grenzwerte für Funktionen
und die Stetigkeit
9.4 Abgeschlossene, offene,
kompakte Mengen
9.5 Stetige Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich, Zwischenwertsatz
Zusammenfassung
Aufgaben
10.
Reihen – Summieren bis zum Letzten
10.1 Motivation und Definition
10.2 Kriterien für Konvergenz
10.3 Absolute Konvergenz
10.4 Kriterien für absolute
Konvergenz
Zusammenfassung
Aufgaben
11. Potenzreihen – Alleskönner unter
den Funktionen
11.1 Definition und Grundlagen
11.2 Die Darstellung von Funktionen
durch Potenzreihen
11.3 Die Exponentialfunktion
11.4 Trigonometrische
Funktionen
11.5 Der Logarithmus
Zusammenfassung
Aufgaben
12.
Lineare Abbildungen und Matrizen – Brücken zwischen Vektorräumen
12.1 Definition und Beispiele
12.2 Verknüpfungen von
linearen Abbildungen
12.3 Kern, Bild und die
Dimensionsformel
12.4 Darstellungsmatrizen
12.5 Das Produkt von Matrizen
12.6 Das Invertieren von
Matrizen
12.7 Elementarmatrizen
12.8 Basistransformation
12.9 Der Dualraum
Zusammenfassung
Aufgaben
13. Determinanten – Kenngrößen von
Matrizen
13.1 Die Definition der
Determinante
13.2 Determinanten von
Endomorphismen
13.3 Berechnung der
Determinante
13.4 Anwendungen der
Determinante
Zusammenfassung
Aufgaben
14. Normalformen – Diagonalisieren und
Triangulieren
14.1 Diagonalisierbarkeit
14.2 Eigenwerte und
Eigenvektoren
14.3 Berechnung der Eigenwerte
und Eigenvektoren
14.4 Algebraische und
geometrische Vielfachheit
14.5 Die Exponentialfunktion
für Matrizen
14.6 Das Triangulieren von
Endomorphismen
14.7 Die Jordan-Normalform
14.8 Die Berechnung einer Jordan-Normalform und
Jordan-Basis
14.9 Das Minimalpolynom einer
Matrix
Zusammenfassung
Aufgaben
15.
Differenzialrechnung – die Linearisierung von Funktionen
15.1 Die Ableitung
15.2 Differenziationsregeln
15.3 Der Mittelwertsatz
15.4 Verhalten differenzierbarer
Funktionen
15.5 Taylorreihen
Zusammenfassung
Aufgaben
16.
Integrale – von lokal zu global
16.1 Integration von
Treppenfunktionen
16.2 Das Lebesgue-Integral
16.3 Stammfunktionen
16.4 Integrationstechniken
16.5 Integration über unbeschränkte Intervalle
oder Funktionen
16.6 Parameterabhängige
Integrale
16.7 Weitere Integrationsbegriffe
Zusammenfassung
Aufgaben
17. Euklidische und unitäre Vektorräume – orthogonales
Diagonalisieren
17.1 Euklidische Vektorräume
17.2 Norm, Abstand, Winkel,
Orthogonalität
17.3 Orthonormalbasen und
orthogonale Komplemente
17.4 Unitäre Vektorräume
17.5 Orthogonale und unitäre
Endomorphismen
17.6 Selbstadjungierte
Endomorphismen
17.7 Normale Endomorphismen
Zusammenfassung
Aufgaben
18.
Quadriken – vielseitig nutzbare Punktmengen
18.1 Symmetrische
Bilinearformen
18.2 Hermitesche
Sesquilinearformen
18.3 Quadriken und ihre
Hauptachsentransformation
18.4 Die Singulärwertzerlegung
18.5 Die Pseudoinverse einer
linearen Abbildung
Zusammenfassung
Aufgaben
19.
Metrische Räume – Zusammenspiel von Analysis und linearer Algebra
19.1 Metrische Räume
und ihre Topologie
19.2 Konvergenz und Stetigkeit
in metrischen Räumen
19.3 Kompaktheit
19.4 Zusammenhangsbegriffe
19.5 Vollständigkeit
19.6 Banach- und Hilbert-Räume
Zusammenfassung
Aufgaben
20. Differenzialgleichungen – Funktionen sind
gesucht
20.1 Begriffsbildungen
20.2 Elementare analytische
Techniken
20.3 Existenz und Eindeutigkeit
20.4 Grundlegende numerische
Verfahren
Zusammenfassung
Aufgaben
21.
Funktionen mehrerer Variablen – Differenzieren im Raum
21.1 Einführung
21.2 Differenzierbarkeitsbegriffe: Totale und partielle
Differenzierbarkeit
21.3 Differenziationsregeln
21.4 Mittelwertsätze und
Schrankensätze
21.5 Höhere partielle Ableitungen und der Vertauschungssatz von H. A. Schwarz
21.6 Taylor-Formel und lokale Extrema
21.7 Der lokale Umkehrsatz
21.8 Der Satz über implizite
Funktionen
Zusammenfassung
Aufgaben
22. Gebietsintegrale – das
Ausmessen von Mengen
22.1 Definition und
Eigenschaften
22.2 Die Berechnung von
Gebietsintegralen
22.3 Die Transformationsformel
22.4 Wichtige Koordinatensysteme
Zusammenfassung
Aufgaben
23. Vektoranalysis – im Zentrum steht
der Gauß’sche Satz
23.1 Kurven im Rn
23.2 Das Kurvenintegral
23.3 Flächen und
Flächenintegrale
Zusammenfassung
Aufgaben
24. Optimierung – aber mit
Nebenbedingungen
24.1 Lineare Optimierung
24.2 Das Simplex-Verfahren
24.3 Dualitätstheorie
24.4 Differenzierbare Probleme
Zusammenfassung
Aufgaben
25. Elementare Zahlentheorie –
Teiler und Vielfache
25.1 Teilbarkeit
25.2 Der euklidische
Algorithmus
25.3 Der Fundamentalsatz der
Arithmetik
25.4 ggT und kgV
25.5 Zahlentheoretische
Funktionen
25.6 Rechnen mit Kongruenzen
Zusammenfassung
Aufgaben
26.
Elemente der diskreten Mathematik – die Kunst des Zählens
26.1 Einführung in die
Graphentheorie
26.2 Einführung in die
Kombinatorik
26.3 Erzeugende Funktionen
Zusammenfassung
Aufgaben
Hinweise zu den Aufgaben
Lösungen zu den Aufgaben
Bildnachweis
Symbolglossar
Sachregister