Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения (нет с.401)

Титульный лист ......Page 1
Аннотация ......Page 2
ОГЛАВЛЕНИЕ ......Page 3
Предисловие ......Page 9
1.1. Комплексное линейное $n$-мерное пространство ......Page 11
1.2. Матрицы и действия над ними ......Page 12
1.3. Определитель и обратная матрица ......Page 17
1.4 Линейно зависимые и независимые векторы. Матрица Грама ......Page 18
1.5. Линейные подпространства ......Page 19
1.6. Системы линейных алгебраических уравнений ......Page 21
1.7. Линейный оператор и его матрица. Преобразование матрицы оператора при изменении базиса ......Page 23
1.8. Собственные значения и собственные векторы. Собственное подпространство. Приведение к диагональному виду ......Page 24
1.9. Приведение матрицы к блочно-диагональному виду. Инвариантные подпространства ......Page 26
1.10. Корневые и простые циклические подпространства. Разложение пространства в прямую сумму простых циклических инвариантных относительно матрицы $A$ подпространств ......Page 27
1.11. Жорданова форма матрицы ......Page 28
1.12. Элементарные делители. Минимальный многочлен ......Page 30
1.13. Корневые подпространства сопряженных матриц ......Page 31
1.14. Эрмитовы, антиэрмитовы, симметрические, антисимметрические (кососимметрические), унитарные и ортогональные матрицы. Приведение эрмитовых и унитарных матриц к диагональному виду ......Page 33
1.15. Неравенства для эрмитовых форм ......Page 34
1.16. Две леммы о разложении $\mathfrac{R}_n$. Критерии простоты элементарных делителей ......Page 35
1.17. Комплексно сопряженные и вещественные подпространства ......Page 37
1.18. Жорданова форма вещественной матрицы ......Page 40
1.19. Примеры ......Page 42
2 1. Голоморфные функции от матриц ......Page 46
2.2. Кусочно аналитические функции от матриц ......Page 50
2.3. Интерполяционные многочлены от матриц ......Page 51
2.4. Свойство мультипликативности ......Page 53
2.5. Лемма о сложной функции ......Page 54
2.6. Логарифм от матрицы ......Page 55
2.7. Логарифм от вещественной матрицы ......Page 56
2.8. Примеры ......Page 58
3.1. Лемма о логарифме аналитической матрицы-функции ......Page 59
3.2. Лемма о радиусе сходимости ......Page 61
3.4. Случаи матрицы второго порядка ......Page 64
1.1. Существование и единственность решения ......Page 67
1.2. Матрицант и фундаментальная система решений ......Page 70
1.3. Аналитическая зависимость матрицанта от параметра ......Page 71
1.5. Системы уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами ......Page 72
1.6. Системы уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами ......Page 76
1.7. Непрерывная зависимость решении от коэффициентов ......Page 79
1.8. Сопряженные системы ......Page 81
2.1. Матрица монодромии. Мультипликаторы ......Page 82
2.2. Теорема Флоке—Ляпунова ......Page 83
2.3. Случаи вещественных коэффициентов ......Page 84
2.4. Приводимость систем с периодическими коэффициентами ......Page 85
2.6. Структура решений системы с периодическими коэффициентами ......Page 87
2.7. Свойства решений, определяемые характеристическими показателями и мультипликаторами ......Page 88
2.8. Замечание о применении второго метода Ляпунова ......Page 89
2.9. $T$-периодические решения неоднородного уравнения в случае, когда соответствующее однородное уравнение не имеет $T$-периодических решении ......Page 90
2.10. $T$-периодические решении неоднородного уравнения в случае, когда соответствующее однородное уравнение имеет $T$-периодические решения ......Page 93
3.1. Основные определения ......Page 98
3.2. Канонические уравнения второго порядка и их сведение к каноническому уравнению первого порядка ......Page 100
3.3. Канонические уравнения с постоянными коэффициентами ......Page 102
3.4. Свойства решении канонического и гамильтонова уравнения ......Page 103
3.5. Теорема Ляпунова — Пуанкаре ......Page 105
3.6. О сохранении свойства устойчивости при малых возмущениях гамильтониана ......Page 106
3.7. Уравнения в вариациях Пуанкаре и их свойства ......Page 109
3.8. Пример: гибкий вал с тяжелым симметрично расположенным шкивом ......Page 112
3.9. Системы линейных дифференциальных уравнений, инвариантные относительно обращения времени ($t$-инвариантные) ......Page 115
4.1. Теорема об оценках характеристических показателей ......Page 118
4.2. Системы второго порядка. Пример ......Page 123
4.3. Оценки характеристических показателей для уравнения второго порядка. Пример ......Page 125
4.4. Неограниченная устойчивость динамической системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением второго порядка ......Page 130
4.5. Оценки характеристических показателей системы уравнений второго порядка каждое ......Page 132
Глава III. Гамильтоновы системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами ......Page 136
1.1. Линейное пространство с индефинитной метрикой ......Page 137
1.2. Собственные значения первого и второго рода $G$-унитарных и $G$-гамильтоновых матриц ......Page 140
1.3. Первая теорема о возмущении $G$-унитарных матриц ......Page 141
1.4. Сильная и слабая устойчивость гамильтоновых систем ......Page 142
1.5. Аналитические свойства мультипликаторов гамильтоновых систем ......Page 145
1.6. Сметцение мультипликаторов одного рода при комплексном возмущении гамильтониана ......Page 148
1.7. Движение мультипликаторов при возрастании гамильтониана ......Page 149
2.1. Классификация подпространств в пространстве с индефинитной метрикой ......Page 150
2.2. Матрица Грама ......Page 151
2.3. Лемма о вещественных неособых кососимметрических матрицах ......Page 154
2.4. Лемма о $G$-ортогональности некоторых корневых подпространств $G$-унитарных и $G$-антиэрмитовых матриц ......Page 156
2.5. Канонические разложения $G$-унитарных и $G$-гамильтоновых матриц с простыми элементарными делителями ......Page 158
2.7. Леммы о собственных значениях ......Page 161
2.8. Проекционные операторы инвариантных подпространств $G$-унитарных матриц ......Page 164
2.9. Проекционная матрица суммы корневых подпространств ......Page 165
2.10. Непрерывная зависимость мультипликаторов первого и второго рода от гамильтониана ......Page 167
3.1. Вторая теорема о возмущении $G$-унитарных матриц ......Page 168
3.2. Теорема Крейна — Гельфанда — Лидского о сильной устойчивости ......Page 172
4.1. Гамильтоновы уравнения положительного типа. Самосопряженная краевая задача для гамильтонова уравнения ......Page 173
4.2. Аналитические свойства мультипликаторов гамильтоновых уравнении положительного типа ......Page 180
4.3. Движение мультипликаторов при возрастании гамильтониана (продолжение п.1.7) ......Page 183
4.4. Леммы о логарифмировании $G$-унитарных и симплектических матриц ......Page 185
4.5. Теорема Флоке — Ляпунова для гамильтоновых систем ......Page 187
4.6. Теорема Флоке — Ляпунова для гамильтоновых систем с параметром ......Page 189
5.1. Постановка задачи ......Page 190
5.2. Мультипликаторные типы сильно устойчивых гамильтонианов ......Page 191
5.3. Индекс сильно устойчивого гамильтониана. Теорема Гельфанда — Лидского ......Page 193
5.4. Аргументы симплектических матриц. Другие определения индекса сильно устойчивого гамильтониана ......Page 195
5.5. Структура множества сильно неустойчивых гамильтонианов и некоторых аналогичных множеств ......Page 200
6.1. О методе получения условий устойчивости ......Page 207
6.2. Теорема о направленной широте областей устойчивости ......Page 210
6 3. Теоремы о направленной выпуклости некоторых подмножеств областей устойчивости ......Page 214
6.4. Критерии сильной устойчивости для канонических систем, близких к распадающимся ......Page 220
6.5. Канонические уравнения с постоянными коэффициентами ......Page 227
6.6. Критерии сильной устойчивости для канонических уравнении, близких к уравнениям с постоянными гамильтонианами ......Page 231
6.7. Критерии сильной устойчивости канонических систем порядка $2k$, получаемые из критериев для системы второго порядка ......Page 236
6.8. Оценка значений малого параметра, для которых справедлив метод усреднения в линейных гамильтоновых системах с периодическими коэффициентами ......Page 238
7.1. Критерий В.Б.Лидского — М.Г.Нейгауз ......Page 240
7.2. Критерии сильной устойчивости канонических уравнений ......Page 242
7.3. Критерии сильной устойчивости канонического векторного уравнения второго порядка ......Page 245
Глава IV. Методы теории возмущений (системы с малым параметром) ......Page 248
§ 1. Теория возмущений для матричных уравнений ......Page 250
1.1. Постановка задачи. Общий случай ......Page 251
1.2. Случай простых элементарных делителей ......Page 254
1.3. Случай простого собственного значения ......Page 255
1.4. Случай непростых элементарных делителей ......Page 256
2.1. Характеристические показатели невозмущенной системы ......Page 260
2 2. Операторы S и Р; две леммы ......Page 262
2.3. Теорема о вычислении характеристических показателей ......Page 265
2.4. Вычисление характеристических показателей в общем случае ($s\leq r$) ......Page 268
2.5. Пример ......Page 269
2.6. Вычисление характеристических показателей простого типа ($s=r$). Формулы первого приближения ......Page 272
2.7. Вычисление характеристических показателей простого типа ($s=r$). Второе и следующее приближения ......Page 275
2.8. Пример ......Page 279
3.1. Суждение об устойчивости по приближенным значениям характеристических показателей ......Page 283
3.2. Формулы для вычисления характеристических показателей гамильтоновых систем ......Page 285
3.3. Случаи векторного уравнения второго порядка ......Page 286
3.4. Случай векторного уравнения второго порядка с гироскопическим членом ......Page 289
4.2. Сведение особого случая к неособому ......Page 292
4.3. Сведение особого случая к неособому с сохранением вещественности коэффициентов ......Page 294
4.4. Теорема Флоке — Ляпунова для системы, аналитически зависящей от параметра ......Page 297
4.5. Определение коэффициентов разложении (4.25). Первый и второй способы расчета ......Page 300
4.6. Определение коэффициентов разложений (4.28). Третий способ расчета ......Page 303
4.7. О решении неоднородной системы уравнений с периодическими коэффициентами ......Page 307
5.1. Порядок расчета по третьему способу ......Page 309
5.2. Уравнение Хилла; случай $c^2=0$ ......Page 310
5.3. Уравнения Хилла ($c^2>0$) и Матье. Неособый случай ......Page 313
5.4. Уравнения Хилла ($c^2>0$) и Матье. Особый случай ......Page 315
5.5. Пример уравнения третьего порядка ......Page 319
5.6. Вычисление показательной матрицы уравнения в вариациях для периодического движения гибкого вала с тяжелым симметрично расположенным шкивом ......Page 322
6.1. Дифференциальные уравнения порождающего решения и первых поправок. Нерезонансный случай ......Page 325
6.2. Резонансный случай ......Page 326
6.4. Случай различных мультипликаторов невозмущенною уравнения в вариациях ......Page 328
6.5. Сводка окончательных результатов ......Page 329
6.6. Пример ......Page 331
6.7. Пример ......Page 332
1.1. Области динамической неустойчивости для канонических систем. Критические частоты ......Page 335
1.2. Собственные частоты первого и второго рода стационарных канонических систем ......Page 339
1.3. Обозначения. Необходимые вспомогательные результаты ......Page 340
1.4. Характеристические показатели на луче $\vartheta=\vartheta_0+\mu\varepsilon$ ......Page 341
1.5. Случаи двукратного мультипликатора смешанного рода ($\omega_j+\omega_h\neq 0$) ......Page 343
1.6. О формах колебаний в областях неустойчивости ......Page 345
1.7. Случай $r$-кратного мультипликатора смешанного рода ($\omega_j+\omega_h\neq 0$) ......Page 348
1.8. Случай $r$-кратного дефинитного мультипликатора ......Page 349
1.9. Случай, когда $\omega_j+\omega_h=0$ ......Page 350
1.10. Формулы для векторного уравнения второго порядка канонического типа ......Page 351
1.11. Сводка окончательных результатов ......Page 352
1.12. Пример ......Page 355
2.1. Постановка задачи ......Page 357
2.2. Основная теорема ......Page 359
2.3. Формулы для векторного уравнения второго порядка канонического типа ......Page 362
3.1. Общая характеристика рассматриваемых уравнений. Постановка задачи ......Page 365
3.2. Аналитическая зависимость функций $\gamma^{(1,2)}(\varepsilon)$ от параметра $\varepsilon$ ......Page 368
3.3. Расположение мультипликаторов по разные стороны от линий $\gamma=\gamma^{(1,2)}(\varepsilon)$ ......Page 370
3.4. Порядок вычислений ......Page 372
3.5. Формулы второго приближения для границ областей неустойчивости канонической системы ......Page 376
3.7. Пример. Динамическая устойчивость плоской формы изгиба ......Page 381
3.8. Пример. Устойчивость гирокомпаса на корабле, совершающем циркуляции ......Page 382
4.1. Постановка задачи ......Page 384
4.2. Основной и добавочный случай ......Page 385
4.3. Об одной особенности комбинационного резонанса: возможность перехода от устойчивости к неустойчивости при увеличении треиия ......Page 387
§ 1. Колебания висячих мостов ......Page 392
1.1. Дифференциальные уравнения изгибно-крутильных колебаний висячих мостов ......Page 393
1.2. Анализ устойчивости в предположении стационарности ветровой нагрузки ......Page 394
1.3. Анализ динамической устойчивости согласно теории параметрического резонанса ......Page 397
2.1. Параметрический резонанс вращающихся дисков ......Page 402
2.2. Явление потери устойчивости формы вертикальных колебаний в плоском однозвенном маятнике ......Page 405
2.3. Явление потери устойчивости формы вертикальных колебаний в плоском двузвенном маятнике ......Page 407
2.4. Орбитальная устойчивость в одном частном случае задачи о трех телах ......Page 409
3.1. Дифференциальные уравнения изгибно-крутильных колебаний тонкостенного стержня ......Page 411
3.2. Случай стержня с двумя осями симметрии в поперечном сечении ......Page 413
3.3. Широкие области неустойчивости во втором приближении ......Page 414
4.1. Дифференциальные уравнения изгибных колебаний соосных валов ......Page 415
4.2. Области динамической неустойчивости ......Page 417
4.3. Случай соосных валов с равносильной динамической жесткостью ......Page 419
5.1. Постановка задачи ......Page 420
5.2. Сведение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений ......Page 421
5.3. Простейшие частные случаи ......Page 424
5.4. Волновод с периодической границей и постоянным волновым числом. Полосы пропускания в первом приближении ......Page 426
5.5. Цилиндрический волновод с периодическим наполнением. Полосы пропускания в первом и втором приближении ......Page 431
5.6. Дисперсионные характеристики. Фазовые и групповые скорости волн ......Page 432
5.7. Приложение. Вычисление некоторых интегралов от цилиндрических функций $J_m(x)$ (функций Бесселя первого рода) ......Page 436
6.1. Постановка задачи ......Page 438
6.2. Сведение краевой задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений ......Page 439
6.3. Исследование периодических волноводов ......Page 442
7.1. Исходная система ......Page 446
7.2. Усечение по Бубнову — Галеркину исходного уравнения — получение конечномерной системы ......Page 451
7.3. Обоснование метода Бубнова — Галеркина в задачах о параметрическом резонансе. Теоремы Дергузова и Фомина ......Page 453
7.4. Проверка условий теорем I—III предыдущего пункта для конкретных систем ......Page 457
Введение ......Page 461
1.1. Определение характеристической функции $A(\lambda)$; условия, накладываемые на матрицу коэффициентов ......Page 463
1.2. Свойства нулей целой функции $A(\lambda)-\alpha$ ......Page 465
1.3. О движении мультипликаторов при возрастании параметра $\lambda$ ......Page 469
1.4. Уравнение Хилла с однородно входящим параметром ......Page 470
1.5. Зоны устойчивости и неустойчивости для уравнения Хилла с однородно входящим параметром ......Page 472
1.6. Зоны устойчивости и неустойчивости для уравнения Хилла с неоднородно входящими параметрами ......Page 474
1.7. Качественная картина расположения областей устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров для уравнения Хилла ......Page 475
2.1. Представление характеристической функции вспомогательного уравнения степенным рядом ......Page 478
2.2. Доказательство основного неравенства ......Page 480
2.3. Двусторонние оценки Ляпунова характеристической постоянной ......Page 482
2.5. Оценка количества необходимых коэффициентов $A_n$ ......Page 484
2.6. Простейшие критерии устойчивости и неустойчивости тривиального решения уравнения Хилла ......Page 486
3.1. Преобразование исходной системы и вычисление характеристической постоянной ......Page 488
3.2. Доказательство основного неравенства ......Page 493
3.3. Приведение исходной системы к каноническому виду. Характеристическая функция канонической системы ......Page 495
3.4. Доказательство усиленного основного неравенства ......Page 498
3.5. Анализ устойчивости ......Page 499
3.6. Достаточные условия устойчивости и неустойчивости в случае, когда функции $a_{12}(t)$ и $a_{21}(t)$ разных знаков ......Page 504
3.7. Механическая система с одной степенью свободы при постоянной диссипации энергии и периодической восстанавливающей силе ......Page 507
3.8. Механическая система с одной степенью свободы при постоянной диссипации энергии и периодической восстанавливающей силе. Достаточные условия устойчивости и неустойчивости. Два примера ......Page 509
3.9. Частный случай $a=0$. Пример ......Page 513
3.10. Достаточные условия устойчивости н неустойчивости в случае, когда функции $a_{12}(t)$ и $a_{21}(t)$ одного знака ......Page 516
3.11. Достаточные условия устойчивости тривиального решения системы (3.1) в случае $\alpha+\beta=0$ ......Page 519
3.12. Непосредственное применение метода Ляпунова сведением системы (3.1) к уравнению Хилла ......Page 520
Глава VIII. Каноническая система двух линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Уравнение Хилла ......Page 522
1.1. Сведение системы общего вида к канонической ......Page 523
1.2. Характеристичное уравнение и теорема Флоке—Ляпунова для канонической системы ......Page 525
1.3. Один случай интегрируемости. Пример ......Page 527
1.4. Лемма о вещественных логарифмах вещественных матриц второго порядка и ее геометрическая интерпретация ......Page 529
1.5. Строение группы симплектических матриц второго порядка ......Page 535
1.6. Строение функционального пространства $\mathfrak{L}^3$ гамильтонианов и трехмерная модель пространства $\mathfrak{L}^3$ ......Page 539
1.7 Строение множества $\{F(t)\}$ ......Page 548
1.8. Области устойчивости и неустойчивости в пространстве гамильтонианов ......Page 551
1.9. Качественное поведение решений уравнений с гамильтонианами из множеств $\mathcal{H}_n$, $\mathcal{O}_n$, $\Pi_n$. Функция углов поворота векторов-решений ......Page 554
1.10. Общий вид гамильтонианов в каждом из множеств $\mathcal{O}_n$, $\mathcal{H}_n$, $\Pi_n^{\ast+}$, $\Pi_n^{\ast-}$, $\Pi_n^{\ast\ast}$. Уравнения с постоянными гамильтонианами ......Page 560
2.1. Критерии устойчивости и неустойчивости, основанные на оценках функции углов поворота векторов-решений ......Page 564
2.2. Сколь угодно точные двусторонние оценки функции углов поворота и соответствующие критерии устойчивости и неустойчивости ......Page 569
2.3. Оценки характеристических показателей ......Page 576
2.4. Теорема сравнения. Свойство направленной выпуклости областей устойчивости и неустойчивости. Пример ......Page 582
3.1. Расположение гамильтонианов, отвечающих уравнению Хилла в пространстве $\mathfrak{L}^3$ ......Page 591
3.2. Характеристики принадлежности областям устойчивости и неустойчивости в терминах нулей решений ......Page 592
3.3. Критерий Жуковского и его обобщение ......Page 595
3.4. Применение результатов пп. 2.1, 2.4 к уравнению Хилла ......Page 599
3.5. Области устойчивости и неустойчивости на плоскости двух параметров. Уравнение Матье ......Page 602
4.1. Сведение задачи о получении критериев устойчивости к задаче определения расстояния от функции $p(t)\equiv c^2\in \mathcal(O)_n$ до множеств $\Pi_n$ и $\Pi_{n+1}$ ......Page 607
4.2. Сведение проблемы к двум специальным вариационным задачам. Лемма Г.Борга ......Page 610
4.3. О решении вариационных задач п. 4.2 ......Page 612
4.4. Критерии устойчивости для уравнения Хилла с оценкой интеграла $\int_0^T |p_c^\pm(t)-c^2| dt$ ......Page 620
4.5. Критерий Г.Борга ......Page 628
4.6. Критерии устойчивости для уравнения Хилла, использующие $\max p(t)$, $\min р(t)$ и $p_{ср}$ ......Page 630
4.7. Оценка характеристических показателей и критерии устойчивости для уравнения $\ddot{x}+P(t)\dot{x}+Q(t)|x=0$ ......Page 634
5.1. Метод установления критериев устойчивости уравнения Хилла, основанный на оценке расстояния между нулями решений ......Page 644
5.2. Обзор некоторых других критериев устойчивости для уравнения Хилла ......Page 647
6.1. Геометрическая интерпретация утверждений осцнлляцнонной теоремы ......Page 651
6.2. Формулировки осцилляционных теорем для разных случаев ......Page 653
6.3. Асимптотические формулы для границ зон устойчивости ......Page 661
6.4. Краевые задачи с нелинейной зависимостью коэффициентов канонического уравнения от параметра $\lambda$ ......Page 665
Приложение 1 ......Page 670
Приложение 2 ......Page 684
Краткие литературные указания ......Page 694
Литература ......Page 699
Предметный указатель ......Page 716
Выходные данные ......Page 719
Обложка ......Page 720