00 Portada 4A
01 Reales 4A
02 proporciones 4A
03 Polinomios 4A
Ana, Antonio y Eduardo han realizado un viaje, y a la vuelta han sumado los gastos efectuados que ascienden a 522 €. El gasto realizado por cada uno ha sido de €, es decir, 174 €.
1. En este ejercicio se va a presentar un truco mediante el cual vamos a adivinar el número que resulta tras manipular repetidamente un número desconocido. Convierte en una expresión algebraica las sucesivas alteraciones del número desconocido y justi...
2. En este otro ejercicio vamos a adivinar dos números que ha pensado un compañero. Construye una expresión algebraica que recoja todos los pasos y, finalmente, descubre el truco.
3. Estudia si hay números reales en los que las siguientes expresiones no pueden ser evaluadas:
4. Una persona tiene ahorrados 2 500 euros y decide depositarlos en un producto bancario con un tipo de interés anual del 2 %. Si decide recuperar sus ahorros al cabo de dos años, ¿cuál será la cantidad total de la que dispondrá?
5. Generalicemos el ejercicio anterior: Si ingresamos euros en un depósito bancario cuyo tipo de interés es del % anual, ¿cuál será la cantidad que recuperaremos al cabo de años?
6. Construye un polinomio de grado 2, , tal que .
7. Consideremos los polinomios , y . Realiza las siguientes operaciones:
8. Calcula los productos:
9. Efectúa las divisiones de polinomios:
10. Calcula los cocientes:
11. Realiza las operaciones entre las siguientes fracciones algebraicas:
12. Construye un polinomio de grado 2 tal que el número sea raíz suya.
13. Determina un polinomio de grado 3 tal que sus raíces sean , y .
14. Determina un polinomio de grado 4 tal que sus raíces sean , , 2 y .
15. Construye un polinomio de grado 4 tal que tenga únicamente dos raíces reales.
16. Determina un polinomio de grado 5 tal que sus raíces sean , , 2, 4 y 5.
17. Encuentra un polinomio tal que al dividir entre se obtenga como polinomio resto .
18. Halla las raíces enteras de los siguientes polinomios:
19. Obtén las raíces racionales de los polinomios del ejercicio anterior.
20. Descompón los siguientes polinomios como producto de polinomios irreducibles:
21. Calcula las potencias:
22. Analiza si los siguientes polinomios han surgido del desarrollo de potencias de binomios, o trinomios, o de un producto suma por diferencia. En caso afirmativo expresa su procedencia.
23. Descompón en factores:
24. Con este ejercicio se pretende mostrar la conveniencia a la hora de no operar una expresión polinómica que tenemos factorizada total o parcialmente.
25. Factoriza numerador y denominador y simplifica:
26. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica todo lo posible:
27. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica todo lo posible:
28. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica todo lo posible:
29. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica todo lo posible:
30. Confecciona una hoja de cálculo que te permita dividir un polinomio usando la Regla de Ruffini.
04 Ec 2 grado4A
05 geometria 4A
1. Calcula el volumen de un tetraedro regular de lado 7 cm.
2. Calcula la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 m.
3. Calcula la longitud de la diagonal de un rectángulo de base 15 cm y altura 6 cm.
4. Dibuja un paralelepípedo cuyas aristas midan 4 cm, 5 cm y 6 cm que no sea un ortoedro. Dibuja también su desarrollo.
5. Si el paralelepípedo anterior fuera un ortoedro, ¿cuánto mediría su diagonal?
6. Un vaso de 11 cm de altura tiene forma de tronco de cono en el que los radios de las bases son de 5 y 3 cm. ¿Cuánto ha de medir como mínimo una cucharilla para que sobresalga del vaso por lo menos 2 cm?
7. ¿Es posible guardar en una caja con forma de ortoedro de aristas 4 cm, 3 cm y 12 cm un bolígrafo de 13 cm de longitud?
8. Calcula la diagonal de un prisma recto de base cuadrada sabiendo que el lado de la base mide 6 cm y la altura del prisma 8 cm.
9. Si un ascensor mide 1.2 m de ancho, 1.6 m de largo y 2.3 m de altura, ¿es posible introducir en él una escalera de 3 m de altura?
10. ¿Cuál es la mayor distancia que se puede medir en línea recta en una habitación que tiene 6 m de ancho, 8 m de largo y 4 m de altura(
11. Calcula la longitud de la arista de un cubo sabiendo que su diagonal mide 3.46 cm.
12. Calcula la distancia máxima entre dos puntos de un tronco de cono cuyas bases tienen radios 5 cm y 2 cm, y altura 10 cm.
13. En una pizzería la pizza de 15 cm de diámetro vale 2 € y la de 40 cm vale 5 €. ¿Cuál tiene mejor precio?
14. Vemos en el mercado una merluza de 30 cm que pesa un kilo. Nos parece un poco pequeña y pedimos otra un poco mayor, que resulta pesar 2 kilos. ¿Cuánto medirá?
15. En un día frío un padre y un hijo pequeño van exactamente igual abrigados, ¿Cuál de los dos tendrá más frío?
16. Identifica a qué cuerpo geométrico pertenecen los siguientes desarrollos:
17. ¿Podrá existir un poliedro regular cuyas caras sean hexagonales? Razona la respuesta.
18. ¿Cuántas diagonales puedes trazar en un cubo? ¿Y en un octaedro?
19. ¿Puedes encontrar dos aristas paralelas en un tetraedro? ¿Y en cada uno de los restantes poliedros regulares?
20. Utiliza una trama de cuadrados o papel cuadriculado, y busca todos los diseños de seis cuadrados que se te ocurran. Decide cuáles pueden servir para construir un cubo
21. El triángulo de la figura se ha plegado para obtener un tetraedro. Teniendo en cuenta que el triángulo no está pintado por detrás, ¿cuál de las siguientes vistas en perspectiva del tetraedro es falsa?
22. Un prisma de 8 dm de altura tiene como base un triángulo rectángulo de catetos 3 dm y 4 dm. Calcula las áreas lateral y total del prisma.
23. Dibuja un prisma hexagonal regular que tenga 3 cm de arista basal y 0.9 dm de altura y calcula las áreas de la base y total.
24. Un prisma pentagonal regular de 15 cm de altura tiene una base de 30 cm2 de área. Calcula su volumen.
25. Calcula el área total de un ortoedro de dimensiones 2.7 dm, 6.2 dm y 80 cm.
26. Calcula la superficie total y el volumen de un cilindro que tiene 7 m de altura y 3 cm de radio de la base.
27. Calcula el área total de una esfera de 7 cm de radio.
28. Calcula el apotema de una pirámide regular sabiendo que su área lateral es de 150 cm2 y su base es un hexágono de 4 cm de lado.
29. Calcula el apotema de una pirámide hexagonal regular sabiendo que el perímetro de la base es de 36 dm y la altura de la pirámide es de 6 dm. Calcula también el área total y el volumen de esta pirámide.
30. Un triángulo rectángulo de catetos 12 cm y 16 cm gira alrededor de su cateto menor generando un cono. Calcula el área lateral, el área total y el volumen.
31. Tres bolas de metal de radios 15 dm, 0.4 m y 2 m se funden en una sola, ¿Cuál será el diámetro de la esfera resultante?
32. ¿Cuál es la capacidad de un pozo cilíndrico de 1.50 m de diámetro y 30 m de profundidad?
33. ¿Cuánto cartón necesitamos para construir una pirámide cuadrangular regular si queremos que el lado de la base mida 12 cm y que su altura sea de 15 cm?
34. Calcula el volumen de un cilindro que tiene 2 cm de radio de la base y la misma altura que un prisma cuya base es un cuadrado de 4 cm de lado y 800 cm3 de volumen.
35. ¿Cuál es el área de la base de un cilindro de 1.50 m de alto y 135 dm3 de volumen?
36. El agua de un manantial se conduce hasta unos depósitos cilíndricos que miden 10 m de radio de la base y 20 m de altura. Luego se embotella en bidones de 2.5 litros. ¿Cuántos envases se llenan con cada depósito?
37. Calcula la cantidad de cartulina necesaria para construir un anillo de 10 tetraedros cada uno de los cuales tiene un centímetro de arista.
38. Al hacer el desarrollo de un prisma triangular regular de 5 dm de altura, resultó un rectángulo de un metro de diagonal como superficie lateral. Calcula el área total.
39. Determina la superficie mínima de papel necesaria para envolver un prisma hexagonal regular de 2 cm de lado de la base y 5 cm de altura.
40. El ayuntamiento de Madrid ha colocado unas jardineras de piedra en sus calles que tienen forma de prisma hexagonal regular. La cavidad interior, donde se deposita la tierra, tiene 80 cm de profundidad y el lado del hexágono interior es de 60 cm. C...
41. Una habitación tiene forma de ortoedro y sus dimensiones son directamente proporcionales a los números 2, 4 y 8. Calcula el área total y el volumen si además se sabe que la diagonal mide 18.3 m.
42. Un ortoedro tiene 0.7 dm de altura y 8 dm2 de área total. Su longitud es el doble de su anchura, ¿cuál es su volumen?
43. Si el volumen de un cilindro de 15 cm de altura es de 424 cm3, calcula el radio de la base del cilindro.
44. Han instalado en casa de Juan un depósito de agua de forma cilíndrica. El diámetro de la base mide 2 metros y la altura es de 3 metros. a) Calcula el volumen del depósito en m3. b) ¿Cuántos litros de agua caben en el depósito?
45. Un envase de un litro de leche tiene forma de prisma, la base es un cuadrado que tiene 10 cm de lado. a) ¿Cuál es, en cm3, el volumen del envase? b) Calcula la altura del envase en cm.
46. Una circunferencia de longitud 18.84 cm gira alrededor de uno de sus diámetros generando una esfera. Calcula su volumen.
47. Una puerta mide 1.8 m de alto, 70 cm de ancho y 3 cm de espesor. El precio de instalación es de 100 € y se cobra 5 € por m2 en concepto de barnizado, además del coste de la madera, que es de 280 € cada m3. Calcula el coste de la puerta si sólo se ...
48. El agua contenida en un recipiente cónico de 21 cm de altura y 15 cm de diámetro de la base se vierte en un vaso cilíndrico de 15 cm de diámetro de la base. ¿Hasta qué altura llegará el agua?
49. Según Arquímedes, ¿qué dimensiones tiene el cilindro circunscrito a una esfera de 7 cm de radio que tiene su misma área? Calcula esta área.
50. ¿Cuál es el volumen de una esfera en la que la longitud de una circunferencia máxima es 251.2 m?
51. Calcula el área lateral y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos
52. Calcula el área lateral y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos
53. En la construcción de un globo aerostático esférico de un metro de radio se emplea lona que tiene un coste de 300 €/m2. Calcula el importe de la lona necesaria para su construcción.
54. Calcula el radio de una esfera que tiene 33.51 dm3 de volumen.
55. El Atomium es un monumento de Bruselas que reproduce una molécula de hierro. Consta de 9 esferas de acero de 18 m de diámetro que ocupan los vértices y el centro de una estructura cúbica de 103 m de diagonal, realizada con cilindros de 2 metros de...
56. Se ha pintado por dentro y por fuera un depósito sin tapadera de 8 dm de alto y 3 dm de radio. Teniendo en cuenta que la base sólo se puede pintar por dentro, y que se ha utilizado pintura de 2 €/dm2, ¿cuánto dinero ha costado en total?
57. Una piscina mide 20 m de largo, 5 m de ancho y 2 m de alto.
58. ¿Cuál de las dos campanas extractoras de la figura izquierda tiene un coste de acero inoxidable menor?
59. En una vasija cilíndrica de 3 m de diámetro y que contiene agua, se introduce una bola. ¿Cuál es su volumen si después de la inmersión sube 0.5 m el nivel del agua?
60. El precio de las tejas es de 12.6 €/m2 ¿Cuánto costará retejar una vivienda cuyo tejado tiene forma de pirámide cuadrangular regular de 1.5 m de altura y 15 m de lado de la base?
61. Se enrolla una cartulina rectangular de lados 40 cm y 26 cm formando cilindros de las dos formas posibles, haciendo coincidir lados opuestos. ¿Cuál de los dos cilindros resultantes tiene mayor volumen?
62. Cada uno de los cubos de la figura tiene 2 cm de arista. ¿Cuántos hay que añadir para formar un cubo de 216 cm3 de volumen?
63. Un tubo de ensayo tiene forma de cilindro abierto en la parte superior y rematado por una semiesfera en la inferior. Si el radio de la base es de 1 cm y la altura total es de 12 cm, calcula cuántos centilitros de líquido caben en él.
64. El lado de la base de la pirámide de Keops mide 230 m, y su altura 146 m. ¿Qué volumen encierra?
65. La densidad de un tapón de corcho es de 0.24 g/cm3, ¿cuánto pesan mil tapones si los diámetros de sus bases miden 2.5 cm y 1.2 cm, y su altura 3 cm?
66. Comprueba que el volumen de una esfera es igual al de su cilindro circunscrito menos el del cono de igual base y altura.
67. Calcula el volumen de un octaedro regular de arista 2 cm.
68. Construye en cartulina un prisma cuadrangular regular de volumen 240 cm3, y de área lateral 240 cm2.
69. El cristal de una farola tiene forma de tronco de cono de 40 cm de altura y bases de radios 20 y 10 cm. Calcula su superficie.
70. Un bote cilíndrico de 15 cm de radio y 30 cm de altura tiene en su interior cuatro pelotas de radio 3.5 cm. Calcula el espacio libre que hay en su interior.
71. Un embudo cónico de 15 cm de diámetro tiene un litro de capacidad, ¿cuál es su altura?
72. En un depósito con forma de cilindro de 30 dm de radio, un grifo vierte 15 litros de agua cada minuto. ¿Cuánto aumentará la altura del agua después de media hora?
73. La lona de una sombrilla abierta tiene forma de pirámide octogonal regular de 0.5 m de altura y 40 cm de lado de la base. Se fija un mástil en el suelo en el que se encaja y el vértice de la pirámide queda a una distancia del suelo de 1.80 m. En e...
74. Una pecera con forma de prisma recto y base rectangular se llena con 65 litros de agua. Si tiene 65 cm de largo y 20 cm de ancho, ¿cuál es su profundidad?
75. En un helado de cucurucho la galleta tiene 12 cm de altura y 4 cm diámetro. ¿Cuál es su superficie? Si el cucurucho está completamente lleno de helado y sobresale una semiesfera perfecta, ¿cuántos cm3 de helado contiene?
76. Calcula la distancia entre los puntos A(7, 3) y B(2, 5).
77. Calcula la distancia entre los puntos A(7, 3, 4) y B(2, 5, 8).
78. Calcula la longitud del vector de componentes u = (4, 5).
79. Calcula la longitud del vector de componentes u = (4, 5, 0).
80. El vector u = (4, 5) tiene el origen en el punto A(3, 7). ¿Cuáles son las coordenadas de su punto extremo?
81. El vector u = (4, 5, 2) tiene el origen en el punto A(3, 7, 5). ¿Cuáles son las coordenadas de su punto extremo?
82. Dibuja un cuadrado de diagonal el punto A(2, 3) y C(5, 6). ¿Qué coordenadas tienen los otros vértices del cuadrado? Calcula la longitud del lado y de la diagonal de dicho cuadrado.
83. Dibuja un cubo de diagonal A(1, 1, 1) y B(4, 4, 4). ¿Qué coordenadas tienen los otros vértices del cubo? Ya sabes, son 8 vértices. Calcula la longitud de la arista, de la diagonal de una cara y de la diagonal del cubo.
84. Sea X(x, y) un punto del plano, y A(2, 4), escribe la expresión de todos los puntos X que distan de A una distancia 3.
85. Sea X(x, y, z) un punto del espacio, y A(2, 4, 3), escribe la expresión de todos los puntos X que distan de A una distancia 3.
86. Escribe la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto A(2, 7) y tiene como vector de dirección u = (4, 5). Represéntala gráficamente.
87. Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, 7) y B(4, 6), de forma explícita, implícita y paramétrica. Represéntala gráficamente.
88. Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, 4, 6) y B(5, 2, 8), de forma explícita, y como intersección de dos planos.
89. En el cubo de diagonal A(1, 1, 1) y B(5, 5, 5) escribe las ecuaciones de los planos que forman sus caras. Escribe también las ecuaciones de todas sus aristas, y las coordenadas de sus vértices.
90. Escribe la ecuación del cilindro de eje y radio 3.
91. Escribe la ecuación de la esfera de centro A(2, 7, 3) y radio 4.
92. Escribe la ecuación del cilindro de eje, la recta y radio 2.
93. Escribe la ecuación de la circunferencia en el plano de centro A(3, 7) y radio 3.
94. Al cortar a un cierto cilindro por un plano horizontal se tiene la circunferencia del ejercicio anterior. Escribe la ecuación del cilindro.
95. Transforma la letra L mediante dos isometrías consecutivas. ¿Puedes obtener el resultado final mediante una única isometría? Analiza posibles situaciones.
96. Pliega una tira de papel como un acordeón. Haz algunos cortes y despliégala. Habrás confeccionado un friso. Señala en él todas las isometrías. Ensaya otros diseños de frisos.
97. Determina los ejes y centros de simetría de las siguientes gráficas de funciones. Señala cuáles son pares y cuáles impares. (Dibuja previamente su gráfica).
98. Un tetraedro regular tiene 6 planos de simetría, dibujalos en tu cuaderno e indica la forma de determinarlos.
99. Un prisma recto de base un rectángulo, ¿tiene simetría central? ¿Tiene planos de simetría? ¿Cuántos? Descríbelos. ¿Tiene ejes de giro? Descríbelos. ¿De qué ángulos?
100. Una pirámide regular de base un triángulo equilátero, ¿tiene simetría central? ¿Tiene planos de simetría? ¿Cuántos? Descríbelos. ¿Tiene ejes de giro? Descríbelos. ¿De qué ángulos?
101. Piensa en los poliedros regulares. Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala:
POLIEDRO
102. Estudia las isometrías que dejan invariante a un triángulo equilátero. Nombra sus vértices y sus ejes de simetría. a) Aplica al triángulo un giro de 120( y luego una simetría. ¿Puedes obtener el mismo resultado con una única transformación? b) Re...
103. Al pasear por la ciudad, mirar el aula, en todo lo que nos rodea podemos ver como la Geometría permite explicarlo. Mira este mosaico. Busca un motivo mínimo, es decir, un trozo de mosaico que te permite, mediante movimientos, recomponerlo. En el...
06 Funciones 4A
1. Dibuja en tu cuaderno un sistema de referencia cartesiano y en él, los puntos siguientes, eligiendo una escala en los ejes que permita dibujarlos todos de forma cómoda. Señala en cada caso a qué cuadrante pertenece el punto o, en su caso, en qué ej...
2. Escribe las coordenadas de tres puntos situados en el tercer cuadrante.
3. Sitúa en un sistema de referencia cartesiano los puntos siguientes:
4. Escribe las coordenadas y representa tres puntos del eje de abscisas. ¿Qué tienen en común?
5. Dibuja en tu cuaderno un triángulo rectángulo con un cateto igual a 3, y el vértice del ángulo recto en el origen de coordenadas. Indica las coordenadas de todos los vértices.
6. Indica cuáles de las siguientes correspondencias son funciones:
7. La distancia, d, recorrida por un tren depende del número de vueltas, n, que da cada rueda de la locomotora.
8. Un globo sonda utilizado por el Servicio Meteorológico de los Pirineos para medir la temperatura a distintas alturas lleva incorporado un termómetro. Se observa que cada 180 m de altura la temperatura disminuye un grado. Cierto día la temperatura e...
9. Dibuja la gráfica de la función parte entera: y = E(x), que indica el número entero menor, más próximo a x, así, por ejemplo, E(2.3) = 2.
10. Un rectángulo tiene un perímetro de 100 cm. Llama x a la longitud de uno de sus lados y escribe la fórmula que da el área en función de x. Dibuja su gráfica. ¿Qué tipo de función es?
11. Una caja cuadrada tiene una altura de 20 cm. ¿Cómo depende su volumen del lado de la base? Dibuja la gráfica de la función que resulta.
12. Con una hoja de papel de 32 cm de largo y 22 cm de ancho se recorta un cuadrado de 2 cm de lado en cada una de las esquinas, se dobla y se construye una caja. ¿Cuál es el volumen de la caja? ¿Y si se recortan cuadrados de 3 cm? ¿Cuál es el volumen...
13. Se construyen boyas uniendo dos conos iguales por la base, siendo el diámetro de la base de 90 cm. El volumen de la boya es función de la altura “a” de los conos. Si queremos una boya para señalar la entrada de patinetes nos basta con una altura d...
14. El consumo de gasolina de un coche por cada 100 km viene representado mediante la gráfica. Utiliza la gráfica para explicar cómo varia el consumo de gasolina dependiendo de la velocidad del coche.
15. Al estudiar el crecimiento de una planta observamos que durante los primeros 30 días lo hace muy de prisa, en los 15 días siguientes el crecimiento es más lento y después se mantiene con la misma altura. Realiza un esbozo de la gráfica que relacio...
16. Joaquín ha llegado a un acuerdo con su padre para recibir su paga. Cobrará 20 euros al mes el primer año, y 5 euros más por cada año que pase. ¿Cuánto le corresponderá dentro de 7 años? Haz una tabla de valores y representa su gráfica. ¿Es continu...
17. Al entrar en el aparcamiento de un centro comercial encontramos un letrero con los precios que nos indican que 1 hora o fracción cuesta 1.20 € y las dos primeras horas son gratis para los clientes con tarjeta de compra del centro. Haz una tabla qu...
18. Durante un viaje, la velocidad del coche varía dependiendo del tipo de carretera, de las condiciones en que se encuentra, del tiempo meteorológico… La siguiente gráfica refleja la velocidad de un vehículo en cada instante del trayecto que ha segui...
19. Representa gráficamente las siguientes funciones, estudiando en ella todas las características que se han trabajado en el capítulo: continuidad, monotonía, extremos, simetría y periodicidad.
20. Las gráficas siguientes muestran la evolución, un día cualquiera, de la temperatura alcanzada entre las 7 de la mañana y las 4 de la tarde en cuatro ciudades (Madrid, Granada, Valladolid y Sevilla):
21. Un viaje realizado por un tren, en un cierto intervalo del mismo, viene dado de la siguiente forma: Durante las dos primeras horas, la distancia “d” (en kilómetros) al punto de partida es: 2 t + 1, donde “t” es el tiempo (en horas) de duración del...
22. Escribe la ecuación de la recta paralela a y = 5x + 1 de ordenada en el origen 6.
23. Sin representarlos gráficamente, di si están alineados los puntos A(2, 4), B(6, 9) y C(12, 15).
24. Dibuja en tu cuaderno, en un mismo sistema coordenado, las rectas: y = 2x; y = (2x; y = 3x; y = (3x.
25. Dibuja en tu cuaderno, en un mismo sistema coordenado, las rectas: y = 2x + 1; y = 2x + 3; y = 2x ( 1; y = 2x ( 2; y = 2x ( 3. ¿Cómo son?
26. Una empresa de alquiler de vehículos ofrece dos fórmulas diferentes. Fórmula 1: Lo alquila por 300 euros al día con kilometraje ilimitado. Fórmula 2: Lo alquila por 200 euros al día y 7 euros el kilómetro. Queremos hacer un viaje de 10 días y mil ...
27. Halla la ecuación y dibuja la gráfica de las rectas siguientes:
28. Dibuja en tu cuaderno, sin hallar su ecuación, las rectas siguientes:
29. Calcula el vértice, el eje de simetría y los puntos de intersección con los ejes de las siguientes parábolas. Dibuja sus gráficas.
a) y = x2 + 8x – 13 b) y = –x2 + 8x – 13 c) y = x2 – 4x + 2 d) y = x2 + 6x e) y = –x2 + 4x – 7
30. Ajusta una función polinómica a los datos de la tabla:
31. Dibuja las gráficas de: y = 2/x; y = 4 + 2/x; y = 2/(x + 3); y = 4 + 2/(x + 3). Indica en cada caso los puntos de discontinuidad y las asíntotas.
32. Dibuja las gráficas de: y = 3x; y = (1/3)x; y = 3–x; y = (1/3)–x; y = 2 + 3x; y = 3x+2.
07 Derivadas 4A
08 Combinatoria 4A
09 Probabilidad 4A
10 INDICE CUARTO A DE ESO
