Este libro acerca la teoría de la elasticidad al estudiante de pregrado de Ingeniería Civil o Mecánica, mediante la introspección física-matemática y la deducción paso a paso de cada una de las ecuaciones fundamentales de la elasticidad. De hecho, lo que el libro clásico de Timoshenko y Goodier trata en sesenta páginas aquí se desglosa en cerca de trescientas. Todo esto con miras a dar al estudiante una fundamentación sólida para posteriores cursos sobre el método de los elementos finitos, la mecánica computacional o la plasticidad. La presente obra recoge la experiencia docente de más de doce años del autor; su escritura se llevó a cabo con la retroalimentación permanente de los estudiantes. El texto hace uso del programa libre de álgebra simbólica Maxima, para deducir la mayoría de las ecuaciones complejas, y presenta códigos de Matlab que sirven para ilustrar numéricamente los ejemplos. La traducción de estos códigos a Python se encuentra en la página web del autor, en formato Jupyter Notebooks. Asimismo, el contenido se complementa con videos de su autoría, disponibles en YouTube.
Author(s): Diego Andrés Alvarez Marín
Edition: 1
Publisher: Editorial Universidad Nacional de Colombia
Year: 2023
Language: Spanish
Pages: 412
City: Bogotá
Tags: esfuerzos y deformaciones -- fundamentos; elasticidad; mecánica; ecuaciones diferenciales -- problemas; ejercicios; etc.; MATLAB (lenguaje de programación de computadores); álgebra computacional
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Contenido
Prefacio
1. Conceptos básicos
1.1. ¿Qué es la mecánica de sólidos?
1.2. ¿Qué es un sólido?
1.3. Propiedades del sólido elástico isótropo
1.4. Diferenciales de primer, segundo y tercer orden
1.5. Fuerzas que actúan sobre un sólido
1.6. Preguntas de control de lectura
2. Estudio de los esfuerzos en un punto
2.1. Tensiones o esfuerzos
2.2. Estudio de las tensiones en un punto bidimensional
2.2.1. Análisis de un elemento infinitesimal rectangular
2.2.2. Análisis de un elemento infinitesimal triangular
2.3. Estudio de las tensiones en un punto tridimensional
2.3.1. Análisis de un paralelepípedo infinitesimal
2.3.2. Análisis de un elemento tetraédrico infinitesimal
2.4. Notación indicial
2.5. Cambio de base
2.6. Matriz de esfuerzos expresada en otro sistema de coordenadas
2.6.1. Caracterización de la matriz de tensiones en el caso tridimensional
2.6.2. Particularización de la matriz de tensiones al caso bidimensional
2.7. Esfuerzos normales y tangenciales sobre un plano
2.8. Esfuerzos y direcciones principales
2.8.1. Tensiones y direcciones principales en dos dimensiones
2.8.2. Tensiones y direcciones principales en tres dimensiones
2.8.3. Método de Newton-Raphson para encontrar las raíces del polinomio característico de la matriz de tensiones utilizando una calculadora científica
2.8.4. Ortogonalidad de las direcciones principales
2.9. Círculo de Mohr en problemas bi- y tridimensionales
2.9.1. Círculo de Mohr en dos dimensiones
2.9.2. Gráfica e interpretación del círculo de Mohr en dos dimensiones
2.9.3. La función atan2
2.9.4. Círculo de Mohr en tres dimensiones
2.10. La analogía del bombillo y la caja y el concepto de tensor
2.11. Ejercicios propuestos
2.12. Preguntas de control de lectura
3. Estudio de los desplazamientos y las pequeñas deformaciones
3.1. Campo vectorial de desplazamientos de un sólido
3.2. Componentes de la deformación en un punto
3.2.1. Deformación lineal (o deformación longitudinal)
3.2.2. Deformación angular
3.3. Las galgas extensométricas
3.4. Especificación de la deformación en otras direcciones
3.5. Rotación
3.6. Deformaciones principales
3.6.1. Expresión de las deformaciones principales en el caso bidimensional utilizando maximización y minimización de funciones
3.6.2. Expresión de las deformaciones principales utilizando valores y vectores propios
3.7. Ejercicios propuestos
3.8. Preguntas de control de lectura
4. Relaciones entre los esfuerzos y las deformaciones
4.1. Materiales frágiles y materiales dúctiles
4.2. Comportamiento elástico y plástico de los materiales dúctiles
4.3. La ley de Hooke y los módulos de Young y Poisson
4.3.1. Deformación de un sólido sometido a esfuerzos normales en las direcciones x, y y z
4.3.2. Deformación de un sólido sometido a esfuerzos tangenciales
4.3.3. Ley de Hooke generalizada para materiales isótropos
4.3.4. Ley de Hooke generalizada para materiales anisótropos
4.3.5. Ley de Hooke generalizada para materiales ortótropos
4.4. Relación entre las direcciones principales asociadas a los esfuerzos y a las deformaciones para materiales isótropos u ortótropos
4.5. Cambios de volumen y la dilatación cúbica
4.6. Entendiendo el cambio de volumen de un sólido mediante el teorema de la divergencia
4.7. Módulo de expansión volumétrica o módulo de compresibilidad
4.8. Particularización de tres a dos dimensiones
4.8.1. Tensión plana
4.8.2. Deformación plana
4.8.3. Relación entre los esfuerzos principales obtenidos en el análisis bidimensional y tridimensional
4.9. Interpretación de los gráficos de colores de esfuerzos y deformaciones
4.9.1. Interpretación de los gráficos de esfuerzos
4.9.2. Interpretación de los gráficos de las deformaciones
4.9.3. Interpretación de los gráficos de los esfuerzos principales y del esfuerzo cortante máximo
4.9.4. Relación de los diagramas de colores de una viga con sus diagramas de fuerza cortante y momento flector
4.9.5. Disposición de los flejes si la viga estuviera hecha con concreto reforzado
4.9.6. Código de Matlab empleado para generar las figuras
4.10. Modificación de la ley de Hooke para tener en cuenta los efectos térmicos en el caso de materiales isótropos
4.10.1. Deformaciones térmicas en el caso de tensión plana
4.10.2. Deformaciones térmicas en el caso de deformación plana
4.11. Ejercicios propuestos
4.12. Preguntas de control de lectura
5. Ecuaciones diferenciales fundamentales de la teoría de la elasticidad
5.1. Ecuaciones diferenciales de equilibrio
5.2. Ecuaciones de compatibilidad
5.2.1. Ecuaciones de compatibilidad en dos dimensiones expresadas en términos de deformaciones
5.2.2. Ecuaciones de compatibilidad en tres dimensiones expresadas en términos de deformaciones
5.2.3. Ecuación de compatibilidad para el caso de tensión plana expresada en términos de esfuerzos
5.2.4. Ecuación de compatibilidad para el caso de deformación plana expresada en términos de esfuerzos
5.2.5. Ecuación de compatibilidad general para el caso bidimensional expresada en términos de esfuerzos
5.2.6. Ecuaciones de compatibilidad en tres dimensiones expresadas en términos de esfuerzos
5.2.7. Interpretación física de las ecuaciones de compatibilidad
5.3. Condiciones de frontera
5.4. Condiciones de equilibrio en la frontera
5.4.1. Análisis en dos dimensiones
5.4.2. Análisis en tres dimensiones
5.4.3. Nota sobre la nomenclatura
5.5. Equilibrio estático
5.5.1. Ecuaciones integrales de equilibrio
5.5.2. Un enfoque alternativo para deducir las ecuaciones diferenciales parciales de equilibrio
5.6. Cálculo de los desplazamientos a partir de las deformaciones
5.7. Función de tensión de Airy
5.8. Ecuaciones diferenciales parciales de Cauchy-Navier
5.8.1. Condiciones de frontera asociadas a las ecuaciones de Cauchy-Navier
5.8.2. Particularización de las ecuaciones de Cauchy-Navier al caso bidimensional
5.9. Unicidad de la solución
5.10. Principio de superposición
5.11. Principio de Saint-Venant
5.12. Resumen
5.13. Ejercicios propuestos
5.14. Preguntas de control de lectura
6. Formulación de la teoría de la elasticidad en coordenadas cilíndricas
6.1. El sistema de coordenadas polares
6.1.1. Una nota sobre el uso de las funciones de Maxima ``depends'' y ``gradef''
6.1.2. Demostración de las ecuaciones (6.2)
6.1.3. Una nota sobre el término 1/r d/dt
6.2. El sistema de coordenadas cilíndricas
6.3. El gradiente, el laplaciano, la divergencia y el rotacional
6.3.1. El gradiente en coordenadas cilíndricas
6.3.2. El laplaciano en coordenadas cilíndricas
6.3.3. La divergencia en coordenadas cilíndricas
6.3.4. El rotacional en coordenadas cilíndricas
6.4. Componentes del esfuerzo en coordenadas cilíndricas
6.5. Ecuaciones diferenciales de equilibrio
6.5.1. Particularizaciones de las ecuaciones de equilibrio en coordenadas cilíndricas
6.5.2. Deducción alternativa de las ecuaciones diferenciales de equilibrio en coordenadas polares
6.6. Componentes de la deformación en coordenadas polares
6.6.1. Método geométrico para el cálculo de las componentes de la deformación en coordenadas polares
6.6.2. Método algebraico para el cálculo de las componentes de la deformación en coordenadas polares
6.7. Componentes de la deformación en coordenadas cilíndricas
6.8. Desplazamiento y deformación en el caso de simetría axial
6.9. Ley de Hooke
6.10. Ecuaciones diferenciales de compatibilidad
6.10.1. Ecuaciones diferenciales de compatibilidad tridimensionales
6.10.2. Ecuaciones diferenciales de compatibilidad bidimensionales
6.11. Ecuaciones diferenciales parciales de Cauchy-Navier
6.12. Funciones de tensión
6.12.1. Función de tensión de Airy
6.12.2. Función de tensión de Love
6.13. Aplicaciones
6.13.1. Cálculo de los discos y arandelas de sección constante sujetos a un estado de tensiones axisimétrico
6.13.2. El problema de Kirsch: concentración de esfuerzos alrededor de huecos circulares
6.13.3. El problema de Flamant: cargas distribuidas lineales en medios seminfinitos
6.13.4. Cargas distribuidas uniformes en medios seminfinitos
6.13.5. El ensayo brasilero o de tracción indirecta
6.13.6. El problema de Boussinesq: cargas puntuales en medios seminfinitos
6.14. Ejercicios propuestos
6.15. Preguntas de control de lectura
A. Suplemento matemático
A.1. Identidades trigonométricas
A.2. Planos
A.3. Función
A.3.1. Función continua
A.4. Campo vectorial
A.5. Notación tensorial de Voigt
A.6. Regla de la cadena
A.7. Expansión en series de Taylor
A.7.1. Expansión en series de Taylor en una variable
A.7.2. Expansión en series de Taylor en varias variables
A.7.3. Aproximación de ángulos pequeños
A.8. Optimización de una función sujeta a una restricción de igualdad
A.9. Ecuaciones paramétricas
A.10. Divergencia
A.11. El teorema de la divergencia
A.12. Producto cruz
A.13. Regla de la mano derecha
A.14. Rotacional
A.15. Espacio vectorial
A.15.1. Definición
A.15.2. Dependencia lineal, independencia lineal y combinación lineal
A.15.3. Espacio normado y norma
A.15.4. Espacio prehilbertiano y producto punto
A.16. Algunos conceptos de álgebra lineal
A.16.1. Valores y vectores propios
A.16.2. Polinomio característico
A.16.3. Cosenos directores
A.16.4. Proyección de un vector sobre otro
B. El sistema de álgebra computacional Maxima
C. El lenguaje de programación Matlab
Referencias
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