El Paraíso de Cantor: La Tradición Conjuntista en la Filosofia Matemática

De Prefacio: Este libro es una historia razonada de la tradición conjuntista, desde los primeros escritos de Cantor hasta la publicación de los teoremas de Cohen (1963) y su impacto inmediato. Hago una que otra alusión a Kronecker y me ocupo, cuando hace falta, de Poincaré, pero la importante oposición de Brouwer y Weyl sólo la menciono al paso, sin analizarla, porque el propio Hilbert, que explícitamente define su empresa filosófica como una defensa de las matemáticas contra ellos, no se dio el trabajo de estudiarlos. Con todo, para el lector curioso, explico brevemente en el Apéndice XIX algunas ideas de Brouwer que preceden y motivan la declaración de guerra de Hilbert. En cambio, no me ha parecido oportuno examinar en el presente contexto la fundamentación constructivista del análisis, propuesta inicialmente por Weyl (1918), poco antes de su conversión al brouwerismo, y desarrollada mucho más tarde por Lorenzen (1965) y Bishop (1967). El libro consta de tres partes, correspondientes a tres etapas en la historia del conjuntismo. El presente volumen contiene las partes 1 y 2. La parte 3 todavía no está escrita. La parte 1, titulada “Conjuntos”, se refiere a la fundación de la teoría de conjuntos por Cantor, las paradojas que se le enrostran, y la axiomatización de la teoría por Zermelo (1908) y sus continuadores. La parte 2, titulada “Cálculos” gira en torno al programa de Hilbert para darle a la teoría de conjuntos un fundamento intuitivo incontestable, garantizando así a los matemáticos el disfrute del paraíso que – según frase del mismo Hilbert – Cantor ha creado para ellos. Estudia los antecedentes de dicho programa en las obras de Frege, Peano, Dedekind, Russell y Whitehead, y Skolem; su desarrollo en la década de 1920 por Hilbert y sus seguidores; y el inesperado escollo que le salió al encuentro con los hallazgos de Gödel. La parte 3, “Modelos”, examinará la contribución al conjuntismo de los métodos semánticos introducidos desde 1930 por Gödel y Tarski. Pienso que el libro puede servir como introducción histórica al tema. Para leerlo, no es preciso tener conocimientos previos al respecto, pero sí el hábito de leer definiciones y demostraciones matemáticas. Cualquiera que haya seguido cursos universitarios de matemáticas por más de un año tiene ese hábito en la medida requerida aquí. Por otra parte, creo que una persona acostumbrada a leer prosa filosófica puede adquirirlo directamente en este mismo libro. Supongo, sí, que el lector filósofo que se interese en él habrá hecho estudios de lógica. Por otra parte, confío en que el lector con educación matemática pero sin estudios de lógica podrá extraer del Apéndice IX (pp. 480-502) toda la información requerida.