Histoires de problèmes - Histoire des mathématiques

Couverture......Page 1
Page de titre......Page 2
Avant-propos......Page 4
Sommaire......Page 6
Michèle GRÉGOIRE, I.R.E.M. de Paris......Page 8
Au pied des pyramides les scribes comptent beaucoup......Page 9
Entre les deux fleuves : les Babylonniens prennent position......Page 12
Croisière en Méditerranée : les Pythagoriciens se figurent que tout est nombre......Page 15
Dans la ville rose : ce n'est pas la descente aux enfers......Page 16
Direction la capitale : le pari de continuer......Page 18
Alexandrie, le phare éclaire-t-il l'infmi ?......Page 20
De Prague à Brunswick : les dieux sont tombés sur la tête......Page 23
Une correspondance Brunswick-Halle : l'infini est dépassé......Page 24
D'Heidelberg nous rentrons en bon ordre......Page 28
Bibliographie......Page 30
Comment faire ?......Page 32
2. Faut-il toujours raison garder ?......Page 34
Une petite enfance sans nuage ?......Page 35
Le nombre prend la tête du trio ... mais trébuche sur un carré !......Page 36
Théon tente une conciliation, mais elle n'en finit pas !......Page 38
Le divorce à l'euclidienne......Page 40
La piste de Proclus......Page 42
La solution d'Eudoxe......Page 44
Omar Khayyam tente de rendre la raison aux nombres......Page 48
Problème de fondement ?......Page 50
... Une solution : les coupures......Page 51
Bibliographie......Page 55
Comment faire ?......Page 57
3. Comment mesurer la pyramide ?......Page 60
Les calculs élémentaires d'aires et de volumes La "méthode des aires" d'Euclide......Page 61
Les "méthodes manipulatoires" de la Chine ancienne......Page 63
L'équidécomposabilité des figures de même aire ou de même volume......Page 64
Comment éviter toute idée d'infini : la méthode d'Euclide......Page 65
Principes de la démonstration par exhaustion......Page 66
La démarche euclidienne pour comparer deux pyramides de même hauteur......Page 67
Pourquoi s'inquiéter de l'infiniment petit ? La méthode chinoise......Page 69
Les indivisibles sont-ils des infiniment petits ?......Page 70
Calcul du volume de la pyramide grâce au principe de Cavalieri......Page 71
La méthode de Roberval : sommer les indivisibles......Page 73
Les Jésuites contre les indivisibles......Page 74
Les infiniment petits, outils du calcul différentiel et intégral......Page 75
Les fluxions d'Isaac Newton......Page 76
Les différences de Leibniz......Page 77
Le volume de la pyramide par le calcul intégral, selon L. Carré......Page 78
Eviter l'infini et l'arithmétisant......Page 79
Quel est donc le secret de la pyramide ?......Page 82
Bibliographie......Page 84
Comment faire ?......Page 86
4. Pourquoi la règle et le compas ?......Page 88
Procédés "bricolés" mécaniquement et constructions contestées géométriquement......Page 89
Énigmes mécaniques, énigmes géométriques, histoire énigmatique......Page 99
La règle, le compas... et le mouvement......Page 106
Bibliographie......Page 111
Comment faire ?......Page 113
Première journée : définir la ligne courbe et la ligne droite......Page 114
Deuxième journée : le courbe engendré par le droit......Page 117
Troisième journée : la direction du courbe en un point......Page 120
Quatrième journée : le cercle calibreur de courbure......Page 125
Cinquième journée : rectifier le courbe......Page 130
Bibliographie......Page 135
Comment faire ?......Page 137
Inrroduction......Page 140
La construction des tangentes via la composition des mouvements......Page 141
La tangente de la cycloïde (d'après Descartes)......Page 142
Le centre instantané de rotation......Page 144
Le théorème de l'équerre......Page 149
Roulement d'une courbe plane sur une autre......Page 151
La dualité du tourneur......Page 153
Bibliographie......Page 155
Discuter !......Page 156
Revenons à nos calculs......Page 157
Témoins à la barre !......Page 158
Second témoin : Lazare Nicolas Marguerite Carnot......Page 161
Troisième témoin : Michel Chasles......Page 163
Silence, reprise des débats......Page 166
Des témoins de dernière minute......Page 168
Jugement mis en délibéré......Page 171
Bibliographie......Page 177
Comment faire ?......Page 178
Le Problème......Page 180
Galilée et la chute des corps......Page 181
La réflexion/la réfraction......Page 183
La démonstration de Jean Bernouilli......Page 185
Pourquoi la cycloïde est-elle solution de l'équation différentielle sin u / ?y = cste ?......Page 186
La construction newtonniene......Page 187
Analogies avec les énoncés de Galilée......Page 188
Le Calcul des Variations......Page 189
Euler et Lagrange......Page 191
Maupertuis et le principe de moindre action......Page 193
L'Optique et la Mécanique......Page 194
Optique et Mécanique ondulatoires......Page 196
Bibliographie......Page 199
Qu'est-ce-que la lumière ? Euclide : naissance de l'optique géométrique......Page 200
Comment rendre compte de la profondeur ? Vitruve: les premières lois de la représentation......Page 201
Les lignes parallèles qui fuient devant l'oeil ont-elles un point commun, et peut-on leur assigner un lieu unique ? L'émergence du point de concours central au Trecento......Page 206
Quelle est la place du peintre ? Brunelleschi et Alberti : la construction légitime......Page 208
Géométrie ou peinture ? Piero della Franscesca : la mise en forme géométrique......Page 213
D'où vient le point de distance ? Viator : la règle des tiers points, le temps d'une réinvention......Page 218
Peinture ou géométrie ? XVIe siècle : le temps de la diffusion, des remises en cause et des errements......Page 221
A procédés divers, principe identique ? Vignola-Danti : mise en évidence d'une équivalence......Page 224
Y a-t-il diversité d'horizons? Guidobaldo del Monte et Stevin : du point de fuite aux points de concours, vers un espace "feuilleté"......Page 225
Pourquoi parle-t-on de perspective conique ? Perspective linéaire et théorie des coniques : la synthèse arguésienne......Page 229
La perspective linéaire est-elle le seul mode de représentation des objets tridimensionnels ? De la perspective linéaire aux divers types de perspective......Page 234
La perspective affranchie de la contrainte euclidienne......Page 235
Bibliographie......Page 238
Comment faire ?......Page 242
Formes et grandeurs dans l'univers. La terre antique......Page 250
La triangulation : une méthode mathématique utilisée à partir du XVIIe siècle......Page 252
La forme de la terre : une contreverse chez les savants......Page 253
A quelle distance se trouve la lune?......Page 254
La distance terre-soleil dans l'Antiquité......Page 256
L'Almageste, où comment les anciens Grecs comprenaient les mouvements des astres ?......Page 257
Les découvertes à partir du XVIe siècle. Copernic, le novateur......Page 258
Tycho Brahé, l'observateur......Page 259
Képler : quelles sont les lois qui régissent les mouvements des astres ?......Page 260
Des mouvements des astres aux mesures des grandeurs......Page 261
Galilée......Page 262
Newton, l'unificateur......Page 263
Rotation de la terre......Page 265
Mouvement de la terre autour du soleil......Page 266
Einstein et la relativité générale......Page 267
Hubble ou la fuite des galaxies......Page 268
Des géométries pour des modèles d'univers......Page 269
La géométrie de Riemann, ou à courbure positive......Page 270
La géométrie de Lobachevski ou à courbure négative......Page 272
Conclusion......Page 273
Bibliographie......Page 275
Comment faire ?......Page 276
11. La vrai fausse démonstration du Cinquième Postulat......Page 278
La place du Cinquième postulat chez Euclide......Page 279
La question de la définition des parallèles......Page 281
La démonstration d'al-Hayyam......Page 282
La démonstration d'at-Tusi......Page 284
La démonstration de Wallis......Page 286
La démonstration de Saccheri......Page 288
Une démonstration de Legendre......Page 290
La non-démonstration de Lobatchevky......Page 292
La preuve de Klein et Beltrami......Page 295
Bibliographie......Page 298
12. "Recherche inconnue désespérément"......Page 300
La fausse position simple......Page 302
La double fausse position......Page 303
La naissance de l'Algèbre. Calculer avec une inconnue et la représenter: Diophante......Page 305
Classer les équations : Al-Kwarismi......Page 307
Calculer avec des lettres : Viète et Descartes......Page 309
La résolution des équations par radicaux : les degrés 3 et 4......Page 310
La résolution des équations par radicaux : les degrés 5 ou plus......Page 313
Pourquoi l'équation (1) est-elle résoluble par radicaux et plus généralement une équation polynôme quelconque du 4ème degré ?......Page 314
Résolution de l'équation cyclotomique par Gauss......Page 317
L'émergence du concept de groupe......Page 319
Conclusion......Page 323
Bibliographie......Page 324
Comment faire ?......Page 326
13. Quelle réalité pour les imaginaires ?......Page 328
Galois : "Où l'on imagine toutes sortes d'imaginaires"......Page 330
Euclide : "Où l'on recontre déjà un problème quelque fois impossible"......Page 331
Fibonacci : "Où l'on se rend compte que tout n'est pas dans Euclide"......Page 334
Cardan, Girard, Descartes et tant d'autres : "Où l'imaginaire prend peu à peu le pas sur la réalité"......Page 336
La démonstration......Page 340
Gauss......Page 342
Et aujourd'hui ?......Page 348
Bibliographie......Page 351
Comment faire ?......Page 353
14. Les nombres premiers......Page 356
Des nombres... aux nombres premiers......Page 357
L'algorithme des divisions successives......Page 359
Le crible d'Erastosthène......Page 360
L'algorithme de Fermat......Page 361
La suite des nombres premiers est illimitée......Page 362
La répartition des nombres premiers......Page 364
Des formules riches en nombres premiers......Page 365
Les grands nombres premiers et le théorème de Fermat......Page 368
Généralisation et raffinement du théorème de Fermat......Page 369
Les nombres de Fermat......Page 372
Les nombres de Mersenne......Page 374
Cryptographie......Page 377
Bibliographie......Page 379
Comment faire ?......Page 381
Qu'est-ce qu'un nombre parfait ?......Page 386
Une "histoire naturelle" des nombres......Page 387
Des affirmations fortes......Page 389
L'algorithme de Nicomaque......Page 390
Des affirmations non vérifiées......Page 391
1 est-il un nombre parfait ?......Page 393
Une préhistoire des nombres parfaits......Page 394
La raison de l'algorithme......Page 395
La démonstration directe : Euclide......Page 396
Première étape (exposition)......Page 397
Troisième étape......Page 398
La démonstration réciproque : Euler......Page 399
Existe-t-il des nombres parfaits impairs?......Page 401
A suivre......Page 403
Bibliographie......Page 406
Comment faire ?......Page 407
Bibliographie générale......Page 412
Index des noms......Page 416
Index thématique......Page 422